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2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修第一册

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第2章 一元二次函数、方程和不等式
第2课时　一元二次不等式的应用
学 习 任 务
核 心 素 养
1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)
2．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
1．通过不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．
2．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养.

类型1　一元二次不等式的实际应用
【例1】　(对接教材P53例题)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解]　(1)依题意得
y＝[12×(1＋0.75x)－10×(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)．整理，得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．
∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
当且仅当
即解得0<x<，
所以为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x应满足0<x<.

求解一元二次不等式应用问题的步骤

1．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解]　设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．
依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2.
类型2　不等式的恒成立问题
【例2】　若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

对应的不等式是不是关于x的一元二次不等式？其对应函数的图象有何特征？如何用数学语言表述？

[解]　当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1.
①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．
②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知
得
即－<m<3.
综上所述，实数m的取值范围是.

不等式恒成立的情况
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或

2．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，得
解得1<m<19.综合①②得，实数m的取值范围为{m|1≤m<19}．

1．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　)
A.　 B．
C. D．
D　[二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要.]
2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．－4≤a≤4 B．－4<a<4
C．a≤－4或a≥4 D．a<－4或a>4
A　[依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.]
3．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
C　[由题设，产量x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C.]
4．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
{k|－3<k≤1}　[(1)当k－1＝0，即k＝1时，－1<0恒成立，符合题意．
(2)当k－1≠0时，由题意可知

解得－3<k<1.
综上可知－3<k≤1.]
5．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2 000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为________元．
4　[设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y＝x，
整理得y＝－20 000x2＋130 000x，
因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，
所以y＝－20 000x2＋130 000x≥200 000，
解得≤x≤4，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．解一元二次不等式应用题的关键是什么？
[提示]　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
2．试简述不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件．
[提示]　
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0