2021-2022学年高中数学-第2章-一元二次函数、方程和不等式-2.2-第2课时-基本不等式的实.docx

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第2课时 基本不等式的实际应用巩固练习新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第2课时 基本不等式的实际应用巩固练习新人教A版必修第一册

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姓名：

第2课时　基本不等式的实际应用
课后训练巩固提升
A组
1.当x<0时,y=12x+4x的最大值为(　　)
A.-4 B.-8 C.-83 D.-16
解析:∵x<0,∴-x>0,
∴y=--12x+(-4x)≤-2-12x·(-4x)=-83.
答案:C
2.函数y=xx+1的最大值为(　　)
A.25 B.12 C.22 D.1
解析:当x=0时,y=0;当x>0时,x+1≥2x>0,则y≤x2x=12,当且仅当x=1时,等号成立.
故函数y=xx+1的最大值为12.
答案:B
3.当a>0时,关于代数式2aa2+1,下列说法正确的是(　　)
A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值
C.有最小值也有最大值 D.无最小值也无最大值
解析:∵a>0,
∴2aa2+1=2a+1a≤22a·1a=1,当且仅当a=1a,即a=1时,取等号,故a>0,代数式2aa2+1有最大值1,没有最小值.
答案:A
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由题意可知,yx=-x+25x+12≤-2x×25x+12,当且仅当x=25x时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.
答案:C
5.若对x>0,y>0,有(x+2y)2x+1y≥m恒成立,则m的取值范围是(　　)
A.m≤8 B.m>8 C.m<0 D.m≤4
解析:∵(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥4+24yx·xy=8,∴m≤8.
答案:A
6.若函数y=x+1x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a=　　　　　. 
解析:y=x+1x-2=x-2+1x-2+2.
∵x>2,∴x-2>0.
∴y=x-2+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=4,
当且仅当x-2=1x-2,即x=3时,“=”成立.
又y在x=a处取最小值,∴a=3.
答案:3
7.已知a>0,b>0,1a+2b=2,则a+2b的最小值为　　　　　. 
解析:∵a>0,b>0,1a+2b=2,
∴a+2b=12(a+2b)1a+2b=125+2ba+2ab≥12(5+4)=92,当且仅当2ba=2ab,且1a+2b=2,即a=b=32时,取等号,∴a+2b的最小值为92.
答案:92
8.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上　　　　　和　　　　　. 
解析:设两数为x,y,即4x+9y=60,
1x+1y=1x+1y4x+9y60=16013+4xy+9yx≥160×(13+12)=512,
当且仅当4xy=9yx,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.
答案:6　4
9.(1)求函数y=14x-5+4xx>54的最小值;
(2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;
(3)已知x>0,y>0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.
解:(1)∵x>54,4x-5>0,
∴y=14x-5+4x=14x-5+(4x-5)+5≥7,
当且仅当4x-5=14x-5,即x=32时,取等号.
∴y的最小值为7.
(2)∵x>0,a>2x,
∴y=x(a-2x)=12·2x·(a-2x)≤12·2x+(a-2x)22=a28,
当且仅当x=a4时取等号,∴y的最大值为a28.
(3)方法一:∵1x+9y=1,
∴x+y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy.
∵x>0,y>0,∴yx+9xy≥2yx·9xy=6.
当且仅当yx=9xy,即y=3x时,取等号.
又1x+9y=1,∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
方法二:由1x+9y=1,得x=yy-9.
∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=yy-9+y=y+y-9+9y-9=y+9y-9+1=(y-9)+9y-9+10.
∵y>9,∴y-9>0,
∴y-9+9y-9+10≥2(y-9)·9y-9+10=16,
当且仅当y-9=9y-9,即y=12时,取等号.
又1x+9y=1,∴x=4.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).

(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=2010x.
则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·2010x+160
=80102x+5x+4160(x>1).
(2)80102x+5x+4160≥8010×22x×5x+4160
=1600+4160=5760.
当且仅当2x=5x,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.
所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.
B组
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.1ab≤14 B.1a+1b≤1 C.ab≥2 D.a2+b2≥8
解析:4=a+b≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),即ab≤2,ab≤4,故1ab≥14,选项A,C不成立;
1a+1b=a+bab=4ab≥1,选项B不成立;
a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.
答案:D
2.已知x,y>0,x+y=1,若4xy<t恒成立,则实数t的取值范围是(　　)
A.t>1 B.t<1 C.t<2 D.t>2
解析:由基本不等式,得4xy≤4·x+y22=1,当且仅当x=y=12时,等号成立,所以4xy的最大值为1,则t>1.
因此实数t的取值范围是t>1.
答案:A
3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　)
A.245 B.285 C.5 D.6
解析:由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x=95+45+3x5y+12y5x≥135+23x5y·12y5x=135+125=5,当且仅当x=1,y=12时,取等号.
故3x+4y的最小值是5.
答案:C
4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　)
A.1 B.3 C.6 D.12
解析:∵x2+2xy-3=0,∴y=3-x22x,
∴2x+y=2x+3-x22x=3x2+32x=3x2+32x≥23x2·32x=3.
当且仅当3x2=32x,即x=1时,取等号.
答案:B
5.函数y=x2+2x+2x+1(x>-1)的图象的最低点坐标是　　　　　. 
解析:由题意得,y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+1≥2,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐标为(0,2).
答案:(0,2)
6.设a>1,b>0,若a+b=2,则2a-1+1b的最小值为　　　　　. 
解析:由a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0,
则2a-1+1b=2a-1+1b[(a-1)+b]=3+2ba-1+a-1b≥3+22ba-1·a-1b=3+22,
当且仅当2ba-1=a-1b,且a+b=2,即a=3-2,b=2-1时取得最小值3+22.
答案:3+22
7.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.
解:∵x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayx≥a+b+2ab=(a+b)2,∴(a+b)2=18.
又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.
8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?
解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为32Q+3Q×150%+xQ×50%,
所以年销售收入为
32Q+3Q×150%+xQ×50%·Q=32(32Q+3)+12x.
所以年利润
W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x=12(32Q+3-x)=-x2+98x+352(x+1)(x≥0).
(2)令x+1=t(t≥1),则W=-(t-1)2+98(t-1)+352t=50-t2+32t.
因为t≥1,所以t2+32t≥2t2·32t=8,即W≤42,当且仅当t2=32t,即t=8时,W有最大值42,此时x=7.
故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元.