2021-2022学年高中数学-第2章-一元二次函数、方程和不等式-2.3-第2课时-一元二次不等式.doc

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

第2章 一元二次函数、方程和不等式
第2课时　一元二次不等式的应用
学 习 任 务
核 心 素 养
1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)
2．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
1．通过不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．
2．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养.

类型1　一元二次不等式的实际应用
【例1】　(对接教材P53例题)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0解]　(1)依题意得
y＝[12×(1＋0.75x)－10×(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解]　设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(02　不等式的恒成立问题
【例2】　若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

对应的不等式是不是关于x的一元二次不等式？其对应函数的图象有何特征？如何用数学语言表述？

[解]　当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1.
①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．
②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知
得
即－0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或

2．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，得
解得14
A　[依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.]
3．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
C　[由题设，产量x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C.]
4．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
{k|－30(<0)恒成立的条件．
[提示]　
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0