2021-2022学年高中数学-第2章-一元二次函数、方程和不等式-2.2-第2课时-基本不等式的应.doc

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第2课时 基本不等式的应用学案 新人教A版必修第一册2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第2课时 基本不等式的应用学案 新人教A版必修第一册年级：姓名：第2章 一元二次函数、方程和不等式第2课时基本不等式的应用学 习 任 务核 心 素 养1熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点) 2会用基本不等式求解实际应用题(难点)1通过基本不等式求最值，提升数学运算素养2借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？知识点用基本不等式求最值已知x，y都是正数，(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.(2)若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大x的最小值是2吗？提示不一定如当x0时，x0，则yx的最小值为_4x0，yx24.当且仅当x时等号成立2.已知0x1，则函数yx(1x)的最大值为_0x1，01x1，x(1x)2，当且仅当x1x，即x时等号成立 类型1利用基本不等式求最值【例1】(对接教材P45例题)(1)已知x，求y4x2的最大值；(2)已知0x，求yx(12x)的最大值解(1)x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.(2)0x0，y2x(12x)2.当且仅当2x12x，即x时，ymax.利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章3.2函数的基本性质求解1(1)已知x0，求y的最小值；(2)已知0x0)的最小值为9.(2)法一：0x0.yx(13x)3x(13x)2.当且仅当3x13x，即x时，等号成立当x时，yx(13x)取得最大值.法二：0x0.yx(13x)3x32，当且仅当xx，即x时，等号成立当x时，yx(13x)取得最大值. 类型2利用基本不等式求条件最值【例2】已知x0，y0，且满足1.求x2y的最小值解x0，y0，1，x2y(x2y)1010218，当且仅当即时，等号成立，故当x12，y3时，(x2y)min18.若把“1”改为“x2y1”，其他条件不变，求的最小值解x0，y0，(x2y)821010218.当且仅当时取等号，结合x2y1，得x，y，当x，y时，取到最小值18.常数代换法求最值常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商2已知a0，b0，a2b1，求的最小值解法一：1(a2b)1233232，当且仅当即时等号成立的最小值为32.法二：12332，当且仅当即时，等号成立，的最小值为32. 类型3利用基本不等式解决实际问题【例3】(对接教材P46例题)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？引入每间虎笼的长和宽的参数x，y，建立等式2x3y18.由此思考每间虎笼面积xy最值的求法解设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即Smax，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxyyy(6y)0y0.S2.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大应用基本不等式解决实际问题的思路与方法(1)理解题意，设出变量(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值(4)根据实际背景写出答案3.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解设隔墙的长度为x(x0) m，总造价为y元，则隔墙造价为2x248496x元，池底造价为2008016 000元，四周围墙造价为400800元因此，总造价为y496x80016 0001 296x16 000216 00028 80016 00044 800.当1 296x，即x时，等号成立这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元1已知ab1，a0，b0，则ab的最小值为()A1B2C4D8Ba0，b0，ab22，当且仅当ab1时取等号，故ab的最小值为2.2若实数a，b满足ab2，则ab的最大值为()A1B2 C2D4A由基本不等式得，ab21.当且仅当即ab1时，等号成立ab的最大值为1.3已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()AB4 CD5Cab2，1.2，当且仅当即时，等号成立故y的最小值为.4若x0，则x的最小值是_2x22，当且仅当x时，等号成立5某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元58由题意可知，平均利润x18182188.当且仅当x，即x5时，年平均利润最大，为8万元回顾本节知识，自我完成以下问题：1利用基本不等式求最值时，必须满足哪三个条件？提示一正、二定、三相等2应用基本不等式求最值的依据是什么？提示ab2和ab2，即“和定积最大，积定和最小”3利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？提示直接法、配凑法、常数代换法等