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2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第2课时 基本不等式的应用学案 新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第2课时 基本不等式的应用学案 新人教A版必修第一册

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第2章 一元二次函数、方程和不等式
第2课时　基本不等式的应用
学 习 任 务
核 心 素 养
1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)
1．通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．
2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.

某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？
知识点　用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
x＋的最小值是2吗？
[提示]　不一定．如当x<0时，x＋<0.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
1.若x>0，则y＝x＋的最小值为________．
4　[∵x>0，∴y＝x＋≥2＝4.
当且仅当x＝时等号成立．]
2.已知0<x<1，则函数y＝x(1－x)的最大值为________．
　[∵0<x<1，∴0<1－x<1，∴x(1－x)≤2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．]

类型1　利用基本不等式求最值
【例1】　(对接教材P45例题)(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值．
[解]　(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵0<x<，
∴1－2x>0，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.

利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章3.2函数的基本性质求解．

1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值．
[解]　(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0.
∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)
≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值.
法二：∵0<x<，∴－x>0.
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2
＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值.
类型2　利用基本不等式求条件最值
【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.

若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
[解]　∵x>0，y>0，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.

常数代换法求最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．

2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
[解]　法一：＋＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
法二：＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即时，等号成立，
∴＋的最小值为3＋2.
类型3　利用基本不等式解决实际问题
【例3】　(对接教材P46例题)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

引入每间虎笼的长和宽的参数x，y，建立等式2x＋3y＝18.由此思考每间虎笼面积xy最值的求法．

[解]　设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝y(6－y)．
∵0<y<6，∴6－y>0.
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．

应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．

3.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[解]　设隔墙的长度为x(x>0) m，总造价为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，池底造价为200×80＝16 000元，
四周围墙造价为×400＝800×元．
因此，总造价为y＝496x＋800＋16 000＝1 296x＋＋16 000
≥2＋16 000
＝28 800＋16 000
＝44 800.
当1 296x＝，即x＝时，等号成立．
这时，污水池的长为18 m.
故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．

1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　)
A．1　　　 B．2　　　　　
C．4　　　 D．8
B　[∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
A　[由基本不等式得，ab≤2＝1.
当且仅当即a＝b＝1时，等号成立．
∴ab的最大值为1.]
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A． B．4
C． D．5
C　[∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋≥＋2＝，
当且仅当即时，等号成立．
故y＝＋的最小值为.]
4．若x>0，则x＋的最小值是________．
2　[x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]
5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5　8　[由题意可知，平均利润＝－x－＋18＝－＋18≤－2＋18＝8.
当且仅当x＝，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用基本不等式≤求最值时，必须满足哪三个条件？
[提示]　一正、二定、三相等．
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
[提示]　a＋b≥2和ab≤2，即“和定积最大，积定和最小”．
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？
[提示]　直接法、配凑法、常数代换法等．