2021-2022学年高中数学-第8章-立体几何初步-8.3-第1课时-棱柱、棱锥、棱台的表面积和体.docx

2021-2022学年高中数学 第8章 立体几何初步 8.3 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积训练新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第8章 立体几何初步 8.3 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积训练新人教A版必修第二册

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8.3　简单几何体的表面积与体积
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课后·训练提升
1.如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1,则四棱锥C-AA'B'B的体积是(　　)

A.13 B.12 C.23 D.34
解析因为VC-A'B'C'=13V柱=13,
所以VC-AA'B'B=1-13=23.
答案C
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是面A1B1C1D1内任意一点,则四棱锥P-ABCD的体积为(　　)
A.16 B.13 C.12 D.23
解析因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面A1B1C1D1内任意一点,
所以点P到平面ABCD的距离d=AA1=1,
S正方形ABCD=1×1=1,所以四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD=13×AA1×S正方形ABCD=13×1×1=13.
答案B
3.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为V,点P,Q分别在侧棱AA'和CC'上,AP=C'Q,则四棱锥B-APQC的体积为(　　)

A.V2 B.V3
C.V4 D.V5
答案B
4.正三棱锥的底面边长为a,高为66a,则此棱锥的侧面积等于(　　)
A.34a2 B.32a2 C.334a2 D.332a2
解析侧棱长为66a2+33a2=22a,斜高为22a2-a22=a2,故S侧=12×3×a×a2=34a2.
答案A
5.已知正六棱台的两底面边长分别为1 cm和2 cm,高是1 cm,则它的侧面积是(　　)
A.972 cm2 B.97 cm2 C.322 cm2 D.32 cm2
解析作出正六棱台的一部分如图所示,由题意可知,四边形ABB1A1为等腰梯形,OO1为高,且OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm.取AB和A1B1的中点C,C1,连接OC,CC1,O1C1,则C1C为正六棱台的斜高,且四边形OO1C1C为直角梯形.根据正六棱台的性质,可得OC=32 cm,O1C1=3 cm,故CC1=OO12+(O1C1-OC)2=72 cm.又上、下底面的周长分别为c=6AB=6 cm,c'=6A1B1=12 cm.故正六棱台的侧面积S正六棱台侧=12(c+c')h'=12×(6+12)×72=972 (cm2).

答案A
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,F为线段B1C上的一点,则三棱锥F-DED1的体积为　　　　　. 

答案16
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4 cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则截去的三棱锥的体积为　　　　cm3,剩余部分的体积为　　　　cm3. 

答案6　24
8.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积)、V2的两部分,则V1∶V2=　　　　　. 

解析设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.
因为E,F分别为AC,AB的中点,所以S△AEF=14S.
所以V1=13hS+14S+S·S4=712Sh,V2=V-V1=512Sh.所以V1∶V2=7∶5.
答案7∶5
9.如图,已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的表面积.

解如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h',取AB的中点E,连接SE,OE,则SE⊥AB,SE=h'.

∵S侧=2S底,∴12×3a·h'=2×34a2.∴a=3h'.
∵SO⊥OE,
∴SO2+OE2=SE2,
即32+36×3h'2=h'2,
∴h'=23,
∴a=3h'=6.
∴S底=34a2=34×62=93,S侧=2S底=183.
∴S表=S侧+S底=183+93=273.
10.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高.
解如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O',O分别为上、下底面的中心,D,D'分别为BC,B'C'的中点,则DD'是等腰梯形BCC'B'的高,

所以S侧=3×12×(20+30)·DD'=75DD'.
又A'B'=20 cm,AB=30 cm,所以上、下底面的面积之和为
S上+S下=34×(202+302)=3253(cm2).
由S侧=S上+S下,得75DD'=3253,
所以DD'=1333 cm.
又O'D'=36×20=1033(cm),OD=36×30=53(cm),
所以棱台的高为
O'O=DD'2-(OD-O'D')2
=13332-53-10332
=43(cm).