人教版初中数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点.pdf

第十四章第十四章 整式乘除与因式分解整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法整式的乘法14.1.1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：（都是正整数）mnm naaanm,同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.例 1在横线上填入适当的代数式：，.614_xx26_xx【答案】，8x4x【解析】试题分析：根据同底数幂的乘除法法则即可得到结果.，6814xxx.246xxx考点：本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例 2计算：；743aaa【答案】14a【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.743aaa.14a考点：本题考查的是同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.14.1.2 幂的乘方幂的乘方幂的乘方法则：（都是正整数）mnnmaa)(nm,幂的乘方，底数不变，指数相乘.幂的乘方法则可以逆用：即 mnnmmnaaa)()(例 1对于非零实数，下列式子运算正确的是（）mA B923)(mm623mmmC D532mmm426mmm【答案】D【解析】试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果.A，B，C无法合并，故错误；632mm523mmm32mm 与D，本选项正确.426mmm考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例 2计算：3223()()aa【答案】12a【解析】试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.32236612()()().aaaaa 考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例 3计算：；9543()aaa【答案】2a【解析】试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则即可得到结果.954314122().aaaaaa考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例 4计算：；nmaa3)(【答案】nma3【解析】试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.nmaa3)(nmaa3.3nma考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.14.1.3 积的乘方积的乘方积的乘方法则：（是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积.nnnbaab)(n例 1计算23()a b的结果是A.33a b B.63a b C.36a b D.66a b【答案】B【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，求解即可（a2b）3=（a2）3b3=a6b3=a6b3故选 B例 2计算（2a)3的结果是【】A.6a3 B.6a3 C.8a3 D.8a3【答案】D.【解析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算后作出判断：.故选 D.33332a)=2a=8a（例 3计算：.332)(yx【答案】69x y【解析】试题分析：积的乘方法则：积的乘方等于它的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.332)(yx69x y考点：本题考查的是积的乘方点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握积的乘方法则，即可完成.例 4计算：；423)1(a【答案】8a【解析】试题分析：先计算，再计算幂的乘方即可.3)1(423)1(a42a.8a考点：本题考查的是幂的乘方点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.14.1.4 整式的乘法整式的乘法1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.例 1单项式 4x5y 与 2x2（-y）3z 的积是（）A8x10y3z B8x7（-y）4z C-8x7y4z D-8x10y3z【答案】C【解析】试题分析：直接根据单项式乘以单项式的法则计算即可得到结果.由题意得，zyxzyyxxzyxyx473253258)(24)(24故选 C.考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例 2 .cbacab532243【答案】328ba【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则即可得到结果.328bacbacab532243考点：本题考查的是单项式乘单项式，同底数幂的乘法点评：解答此题需熟知以下概念：（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；（2）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加例 3计算：x2y3xyz=_；25516【答案】x3y4z18【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.x2y3xyz=x2xy3yz=x3y4z.255162551618考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例 4计算：2ab2a3=_；23【答案】a4b243【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.2ab2a3=2aa3b2=a4b2.232343考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例 5 .22xxy【答案】yx24【解析】试题分析：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.22xxyyx24考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握单项式乘单项式法则，即可完成.2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式).mcmbmacbam)(cbam,例 1计算：；)()(abbbaa【答案】22ba【解析】试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.)()(abbbaaabbaba22.22ba 考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例 2计算：；3211()(12)63xx yxy【答案】23442yxyx【解析】试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.3211()(12)63xx yxy.42234yxyx考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例 3计算：；23(4)(31)aaba b【答案】ababa4124422【解析】试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.)13()4(32baaba.4124422ababa考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例 4计算：._)(32yxxyx【答案】yxyx3233【解析】试题分析：根据单项式乘多项式的法则即可得到结果.)(32yxxyxyxyx3233考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例 5计算：.)1(2)12(322xxxxx【答案】xxx3423【解析】试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.)1(2)12(322xxxxx232322363xxxxx.3423xxx考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加.例 1计算：（a+2b）（a-b）=_；【答案】a2+ab-2b2【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可（a+2b）（a-b）=a2-ab+2ab-2b2=a2+ab-2b2考点：本题考查的是多项式乘以多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项例 2计算：（3x-y）（x+2y）=_【答案】3x2+5xy-2y【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可（3x-y）（x+2y）=3x2+6xy-xy-2y=3x2+5xy-2y考点：本题考查的是多项式乘以多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项例 3计算：（x+1）（x2-x+1）=_ _ _【答案】13x【解析】试题分析：根据多项式乘多项式法则化简即可.（x+1）（x2-x+1）=1223xxxxx13x考点：本题考查的是多项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且nmnmaaanma,0)mn同底数幂相除，底数不变，指数相减.例 1计算：=，=.26aa 25)()(aa【答案】，4a3a【解析】试题分析：根据同底数幂的除法法则即可得到结果.，26aa4a25)()(aa.)(33aa考点：本题考查的是同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.例 2计算：m3m2 .【答案】m【解析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可：原式=32mm5、零指数：，即任何不等于零的数的零次方等于 1.10a例 1=012 A2B2C1D1【答案】D.【解析】零指数幂.根据任何非 0 数的 0 次幂等于 1 解答即可：.故选 D.01=12 例 2计算：|2|+（3）0=【答案】1【解析】此题考查绝对值的运算、幂的运算性质和二次根式的化简，即；02,(0),(0)|,1(0),|,(0),(0)a aa aaaaaaa aa a解：原式；2121 例 3计算：（-0.5）0（-）-312【答案】-18【解析】试题分析：根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，即可得到结果.原式.81)8(1考点：本题考查了零指数幂，负整数指数幂点评：解答本题的关键是熟练掌握任意非 0 数的 0 次幂均为 0，负整数指数幂的运算法则：（a0，p 是ppaa1正整数）6、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.即：cbamcmmbmmammcmbmam)(14.2 乘法公式乘法公式14.2.1 平方差公式平方差公式平方差公式：注意平方差公式展开只有两项22)(bababa公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方.例 1下列能用平方差公式计算的是（）A、B、)yx)(yx()x1)(1x(C、D、)xy2)(yx2()1x)(2x(【答案】B【解析】A、应为（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2，故本选项错误；B、（x-1）（-1-x）=-（x-1）（x+1）=-（x2-1），正确；C、应为（2x+y）（2y-x）=-（2x+y）（x-2y），故本选项错误；D、应为（x-2）（x+1）=x2-x-2，故本选项错误故选 B例 2计算的结果是（）xyxy22A、B、C、D、xy 4xy 4224xy 222xy【答案】C【解析】平方差公式的应用，原式=，故选 C224xy 例 3若 ab=2011，ab=1，则 a2b2=_.【答案】2011【解析】考点：平方差公式分析：先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可解：a+b=2011，a-b=1，a2-b2=（a+b）（a-b）=20111=2011故答案为：2011例 4(a3)(3a)_【答案】9a2【解析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2填空解：（a+3）（3-a）=（3+a）（3-a）=32-a2=9-a2故答案是：9-a214.2.2 完全平方公式完全平方公式完全平方公式：2222)(bababa完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾 2 倍中间放，符号和前一个样.公式的变形使用：（1）；abbaabbaba2)(2)(222222()()4ababab；222)()()(bababa222)()()(bababa（2）三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(2222例 1若，则的值是（）3ab,5ba2)ba(A.25 B.19 C.31 D.37【答案】D【解析】解：，故选 D.37)3(454)()(222abbaba例 2计算：.23229【答案】.91880【解析】试题分析：化，再根据完全平方公式计算即可.313032299120900)3130()3229(22.91880考点：题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.2)(222bababa例 3计算：（1）199.92=_；（2）512=_；（3）1-251+512=_【答案】（1）39960.01；（2）2601；（3）2500【解析】试题分析：根据完全平方公式依次分析各小题即可.（1）199.92=（200-0.1）2=2002-22000.1+0.12=40000-40+0.01=39960.01；（2）512=（50+1）2=502+2501+12=2500+100+1=2601；（3）1-251+512=（1-51）2=（-50）2=2500考点：本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：（ab）2=a22ab+b214.3 因式分解因式分解14.3.1 提公因式法提公因式法1、会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；2、提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项3、注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的14.3.2 公式法公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：1、平方差公式：a2b2（ab）（ab）2、完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2例 1已知，则2226aabbab【答案】6【解析】由题意得（a-b）2=6，则ab6例 2因式分解：244xx【答案】2)2(x【解析】试题分析：根据完全平方公式即可得到结果.244xx2)2(x考点：本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(2222bababa