基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究.pdf

第44卷第10 期2023年10 月宁夏师范学院学报Journal of Ningxia Normal UniversityVol.44 No.10Oct.2023基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究蔡高明（湄洲湾职业技术学院基础教育学院，福建莆田35 110 0）摘要：利用辅助函数法，得到耦合Shrodinger-KdV方程在参数一1/2 的条件下的一些Jacobi椭圆函数解.根据椭圆函数的性质，将部分椭圆函数解退化为三角函数解和双曲函数解，利用Mathematica对部分波形图模拟，并分析波形图显示空间周期性和爆破性的特点.结果表明，基于辅助函数法得到耦合ShrodingerKdV方程的2 7 组解，其中有15 组椭圆函数解、7 组三角函数解和5 组双曲函数解，它们具有对称性和空间周期性及爆破性的特点。关键词：耦合Schrodinger-KdV方程；辅助函数法；精确行波解；椭圆函数类型中图分类号：0 17 5收稿日期：2 0 2 3-0 6-2 9作者简介：蔡高明（19 7 7 一），男，福建莆田人，讲师，硕士，研究方向：微分方程，文献标识码：A文章编号：16 7 4-1331(2 0 2 3)10-0 0 35-11随着现代科学技术的快速发展，非线性现象已经渗透到自然科学与工程技术的各个领域，越来越引起人们的重视.自然科学中的许多现象可以归结为非线性问题，如孤波混沌、吸引子、分形和逆序结构都是非线性问题1-2 1.对非线性发展方程的研究有着非常重要的价值，也一直都是数学和物理学家所关注的重要对象.在求解非线性发展方程的精确解中，新的求解方法和分析手段不断出现，一些常用的求解方法，如：辅助函数法3、齐次平衡法4、Jacobi椭圆函数展开法5、双曲函数法6 等被广泛应用并不断改进，得到一些非线性偏微分方程的孤波解、扭结波解、尖波解、呼吸子解等.对于耦合Schrodinger-KdV方程，其精确解在等离子体物理中有着广泛的应用，如可以用来描述Laugmuir 波、电磁波等7.郝晓红等8 讨论了Schrodinger-KdV方程的可积性.肖婷婷9 利用椭圆函数展开法求解Schrodinger-KdV方程的一些精确解.徐昌智等10 提出一种基于便映射理论的构造非线性方程行波解的方法，并用该方法求得Schrodinger-KdV方程的行波解.陈贺灵等1I借助计算机符号计算技术，利用F-展开法也求得Schrodinger-KdV方程的精确解，其中包括三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解.在本文中，讨论iut+urr=uo,=1，为实数的情况，=,t）为实函数，表示非线性色散介质中实长波振幅，t为时间，表示横向传播的位移.同时，借助辅助方程研究该方程的Jacobi椭圆函数解，并分析各个解的波形图显示空间周期性和爆破性的特点.其中，u=u(,t）为复函数，表示复短波振幅，(U,+v0+urr=（/u|2)r,361禾利用辅助方程求解耦合Schrodinger-KdV方程1.1辅助方程的原理对于非线性发展方程的求解过程，从数学角度分析，多数是构造解的过程.将不同类型方程的解设为不同的形式，然后利用特定的思想求解具体的方程.本文利用Jacobi椭圆方程作为辅助方程，进而根据该辅助方程来解耦合Schrodinger-KdV方程的Jacobi椭圆函数解.对于给定的非线性偏微分方程(1)做行波变换，=+ct,u(a,t)=U(s),其中c表示波速.将（2)式代入（1)式，方程简化为下列常微分方程G(U,U,U,.)=0.设(3)式具有如下形式的解U(e）=a;t（e)一般地，$(e)满足如下的辅助方程：i=0(g()2=Qo+q1(E)+Q2 2(E)+Q3(E)+q4g*().为获得椭圆函数解，（）满足如下的辅助方程：(g(=)=r+ag()+其中，a；为待定常数，r、a 和b为实数.辅助方程（5)具有Jacobi椭圆函数解.在本文中，做如下记号：sn（)=s n（E,m），c n（s）=c n（E,m），d n（)=d n（E,m）,其中 m(0m-，2 a 3br，把(16)式代人(14)式化简得12蔡高明：基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究pU()+sU()+U()V(=)-U(s)=0,-2U()U(E)+cV(s)+V(3)V(3)+V(E)=0,cU(E)+2pU(E)=0.2-c.设(8)式和(9)式中U()和V(）具有如下形式U(e)=2aig(e),V(e)=2b:s(e),n+2=n+l.Vb(1+2p)(V2aV2a-3br),a1=o,力12122cs=aop+2ar.ao37(8)(9)(10)(11)(13)(14)(15)=aobo-aop+2azrao,a1=0,Ju(e)=VB(1+2pa V2a-3/)(V(E)=3bg?(E),3V6(1+20)d2()，6V2(17)(20)238：其中，=十ct，c=4a 十（1十2)（2 a 4a 6 b r）.所以方程（6)的行波解为u(,t)(0(,t)=3bg2(=),其中，$=+ct，=p+st，c=4a+（1+2)（2 a 4a-6br），1)取r=1,a=-(1+m),b=2m，0 m 1时，()=sm(e)或()=(18)式，可得到方程(6)的解ui=V2+4(-(1+m)V1-m+m3msn(s)em,(ui=6msn(s).uz=2+4g/-(1+m）/1-m+m3m U2=6mcn（e)dn?(E)其中，=+ct，=+，c=4(1+m)+2(1+2)(1+m)1-m+m，=6ms=一p?二(1+m)/1-m+mt一宁夏师范学院学报V6(1+2p)(V2a2a-3br)3/6(1+2)6V23/2br力C，S2.当m0时，由（6)式，ul、U i、u 2、U 2 均退化为常数.当m1时，2023年10 月(18)力士2a/2a-3brcn()把它代人dn()(19)cn?()dn?()由（7)式可知，u和i退化为us和，即ua=2+4(213tanh()e,(21)(U3=6tanh?().1.00.5u0.0-0.5241.020.500.02-1-10-0.5X1图 1ul的三维波形图1.00.50.00-0.5X-1.021图2us 的三维波形图2-1.0第10 期蔡高明：基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究391.0上0.55F43-1.0-0.50.5-0.51.0-1.0-0.50.51.0(22)图3ui在=1时的二维波形图图1和图3选取的参数为m=0.5，=1，c=2.9；图2 和图4选取的参数为m=1，=1，c=2.2)取r=1一m，=2 m一1,b=一2 m，0 m 1时，(）=cm().把它代人(18)式,可得到方程(8)的解us=/2+4(-(2m-1)/1-m+m3mcm()em,Lu4=-6mcn(=),其中,=+c，=p a+,c=-4(2 m-1)+2(1+2)(2m-1)1-m+m,1*2m-1%+m当m 0 时+由(6)式可知,）均温化为常数。当6m(m-1)力一力?2c,5=图4u3在=1时的二维波形图m1时，由（7)式可知，u和退化为us和Us，即us=2+4p(11)3sech()e,(Us=-6 sech?(=).3)取 r=m-1,a=2一m,b=一2,0 m1时,()=d().把它代人(18)式,可得方程(6)的解u=2+4(-(2一m)1m+mdn(=)e,(U=-6dn(s),其中,=+,n=+st,c=-4(2-m)+2(1+2)(2m)V1-m+m,=2C6(1 m)s=一p2-m/1-m+m（7）式可知，u和退化为us和Us.4)取r=m，a=一(m+1),b=2,0m1时，,()=(18)式，可得到方程（8)的解uz=/2+4g/-(1+m)/1-m+m36sn():us=/2+4p/(1+m）/1-m+m3dn?()U7m()元.当m0时，由（6）式可知，u和均退化为常数.当m1时，由把它代入sn()cn()1m?(E)dn?()cm(E)1dn()或()=40其中，=+c，=+，c=4(m+1)+2(1+2)千(m+1)V1-m+m，=-26m2.当m0时，由（6)式可知，u和U退化为ug和Ug；u g 和Ug退化为u1o和U10，即ug=2+4p(113c s c()e,(Ug=6csc(s).u1o=2+4p(-113sec?()e,(U10=6sec?(s).当m1时，由（7)式可知，us和g皆退化为常数，u和退化为u和U，即u1=2+4(-213coth()e,(u11=6coth().1.00.50.0-0.5-1.0100501050-5图5u 的三维波形图宁夏师范学院学报-1.0-0.5t0.00.51.05图6ull 的三维波形图2023年10 月31510550121po806040201412上10F86F-2-4图7 u在t=1时的二维波形图图5 和图7 参数取m=0.1,=0.1,c=0.36；图6 和图8 的参数取m=1，=0.1，=1.6.5)取r=一m，a=2 m-1,b=2(1一m),0m1时,()=（）把它代人（(18)式，可得到方程（8)的解u2=/2+4(2m-1)/1-m+m3(1-m)2cm1U12=6(1-m)cn(E)224图8 uil在t=1时的二维波形图第10 期其中，=+ct，=+s，c=4(2 m-1)+2(1+2)（2 m-1)V1-m+m，.当m0时，由（6)式可知，u12和U12退化为u1o和U10.2c,5=2m-1/1-m+ml当m1时，由（7)式可知，u12和Ui2皆退化为常数.6)取r=-1,a=2-m,b=2(m-1),0m1时,(=)=d1dn()到方程(8)的解u13=/2+4g/(2-m)1-m+m3(1-m)2U13=6(m-1)其中，=十ct，=十st，c=一4(2-m)+2(1+2)(2-m)/1-m+m，6(1 m)s=-p?2一m/1-m+m4数.7)取r=1-m，a=2-m,b=2.0m1时,由附录A可知，(e)=%(Sn(E)式，可得到方程（8)的解uu=/2+4(2-m)1-m+m3”%sn?()蔡高明：基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究6m(m-1)1dn?()1dn(E)元.当m0或m1时，由（6)式和（7）式可知，u13和13皆退化为常把它代人(18)41把它代人（18)式，可得2其中,=+ct，=+st，c=4(2-m)+2(1+2)(2-m)/1-m+m，=26(1 m)s=一p2-mV1-m+mus=2+4p(21)3cot()e,(U1s=6cot2(s).当m1时，由（7)式可知，u14 和U14退化为u16和U16，即u16=2+4p(11)3csch()e,(U16=6csch(3).8)取r=1,a=2-m,b=2(1-m),0m1时，(2)=%(cn()方程(8)的解u=/2+4(2-m)1-m+m3(1-m)cn()01=6(1-m)m(,cm（E)其中，=十ct，=十s，c=-4(2-m)+2(1十2)(2-m)/1-m+m，=.当m0时，由（6)式可知，u14和U14退化为u1s和U1s，即把它代人（18)式，可得到242S当m1时，由（7)式可知，u17和U17皆退化为常数.9)取r=1,a=2m-1,b=2m(m-1)，0 m 1时,(2)-2(dn()得到方程（8)的解n()ug=/2+4/(2 m-1)/1-m+m3m(1-m)dn?()01g=6m(m-1)(dn()其中,=+c，=+，c=-4(2 m-1)+2(1+2)（2 m-1)/1-m+m1力2化为常数.10)取r=m(m-1)，a=2 m-1,b=2,0m1时，g()=得到方程（8)的解u2o=/2+4g/(2 m-1)/1-m+m3U2o=6 dn(e),其中,=+ct，=+,c=-4(2 m 1)+2(1+2)（2 m-1)1-m+m,12cs=-力2m-1V1-m+m即u21=2+4p(11)3csc(s)e,(U21=6csc().当m1时，由（7)式可知，u2o和U2o退化为u16和U16111)取ra4到方程(8)的解u22V22其中,=+c，=p+，c=-2(1-2 m)+(1+2)(1-2m)宁夏师范学院学报6(1 一m).当m0时，由（6)式可知，u17和U17退化为u1s和U18，即2-m/-m+mus=/2+4p(213tan()e,(U1s=6tan?(e).6m(1-m)力士2m-1V1-m+m6m(1-m)1-2m号,0 m1时，g(s)221(1-2m)2312Lsm()2023年10 月把它代人(18)式，可元.当m0或1时，由（6)和(7)式知ug和 1g皆退dn().把它代入(18)式，可sn()dn()sn(E).当m0时，由（6)式可知，u2o和U2o退化为u21和U211把它代入（18)式，可得sn()sn()314m+4mt42Lsn()cn(E)n(E)cn()cn()sn()4m2+4m4第10 期1D2U23，即当m1时，由（7）式，u22和U22退化为u24和U24，即coth()csch(s)2.12)取r一（1一m?)，a=2把它代人（18)式，可得到方程（8)的解u25+/(1+m)2231251m2cn()其中,$=+，n=+s t,c=-2(m+1)+(1+2)2(m+1)V1+14m+m,蔡高明：基于辅助函数法的耦合 Shrodinger-KdV方程的函数解研究3/4(1-2m)/1-16m+16ml+(1)+号Lesc(e)cot(e)U233U232csc(e)cot(e)?,-1)+号Loth(s)csch(s)U24+一23024243当m0时，由（6)式，u22和U22退化为u2a和1(1一m），0 m 1时,可知()=(m+1),b=V1+14m+m3（12Sn()cn()Sn()cn()cm()mcn()2cn(E力土3(1-m)22c,5=4(m+1)2V1+14m+mt和U26,即+(1)+号se()tan(e)u2632sec()tan 2.当m1时，由（7)式可知，u25和U25皆退化为常数.当m0时，由（6)式可知，u25和 2 s退化为u26U22401.0F0.5t0.0-0.5-1.0图9u22的三维波形图4020u2050X-530E20-5图10u22在t=1时的二维波形图544宁夏师范学院学报2023年10 月2454u241.00.50.0-0.5-1.0图11u24的三维波形图图9 和图10 的参数取m=0.1,=0.1,c=1.53；图11和图12 的参数取m=1，=0.1,c=-0.4.13)取r=一m，aa41/sm（),d s（）=d n（)/s n（），把它代人（18)式，可得到方程（8)的解U2732Lsn()310272Lsn(E)其中，=+ct，n=+s t，c=-2(m-2)+（1+2)4上350-5(m-2)，6一2+（m-2)/4-4mdn()72Sm()2图12u24在t=1时的二维波形图,0m-1/2.Based on the properties of lliptic functions,partial elliptic functionsolutions are reduced to trigonometric and hyperbolic function solutions.Mathematica is used to simulate partial waveform diagramsand analyze the characteristics of spatial periodicity and blowup in waveform diagrams.The results show that based on the auxiliaryfunction method,27 sets of solutions for the coupled Shrodinger-KdV equation are obtained,including 15 sets of elliptic function so-lutions,7 sets of trigonometric function solutions,and 5 sets of hyperbolic function solutions,which have the characteristics of sym-metry,spatial periodicity,and blowup.Key words Coupling Schrodinger-KdV equation;Auxiliary function method;Accurate traveling wave solution;Ellipticfunction type责任编辑刘碧蕊