2022年高中数学知识过关复习之三角函数,解三角和平面向量一.pdf

精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载高中数学知识过关复习之三角函数、解三角和平面向量（一）题型一：利用三角函数的定义解题2/c 兀1.(重庆卷)已知 sin a=-，二 Wa Wn,则 tana=5 252.a是第四象限角，tana -,则sma=()121 1 5 5A.-B.一 C.D.-5 5 13 13店 43.已知sina=，则sin4a-cos4a的值为()51 T4.（上海卷）如果COS a=一，且a是第四象限的角，那么 cos（a+上）=5 25 45.在 ABC 中，cosB=，cosC=-.13 5（I）求sin A的值；（H）设ZiABC的面积Sa ABC=,求BC的长.26.（江苏卷15）.如图，在平面直角坐标系 xoy中，以ox轴为始边做两个锐角 a,6,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点，已知A,B的横坐标分别为x 2 2x510 5(I)求 tan(a+P)的值;(H)求a+2P的值.题型二：同角的基本关系21.（湖北卷）若ABC的内角A满足sin2A=一，则sinAT 3-COSA=A而 b 任 5 DH.-D.-。.一 U3 3 35 32.已知 sin 8-cosB=一，且二 W8W 一,则 cos20 的值是5 2 4第1页，共18页精品pdf资料欢迎Ha学习必备 欢迎下载3.已知一二 x O,sin x+cosx=.2 5求 sinx cosx 的值；JT 44.(安徽卷)已知 0a0,aR),旦f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为6(I)求3的值；(H)如果f(x)在区间1一巴,至1上的最小值为求a的值.(36题型四：非齐次型三角函数问题2 41.求函数y=7-4sin xcosx+4cos x-4cos x的最大值与最小值。第3页，共18精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载2.已知向量 m=(sinA,cosA),h=(、后,-1),*rr|Jn=1,且 A 为锐角.(I)求角 A 的大小；(II)求函数 f(x)=cos2x+4cos Asin x(xe R)的值域.题型五：诱导公式1.(陕西卷1)sin3300 等于()A.B.C.D.V3121222.tan690 的值为()A.3 B.正3 33.sin 21 Oc=()D.一点打、/1 1A.-B.-C.-D.2 2 2 24.cos330c=()1 1 V3 73A.-B.C.-D.-2 2 2 21-0,8 0,00,0 0,0 0)在一个周期内的图象.(i)试根据图象写出y=Asin(cot+9)的解析式.(ii)在任意一段 与秒的时间内，电流I既能取得最 100大值A,又能取得最小值一 A吗？第5页，共18页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载7（江苏卷）为了得到函数y=2sin（）+2）,xw R的图像，只需把函数y=2sin x,xe R的图像 3 6上所有的点(A)向左平移2个单位长度，6再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍 3（纵坐标不变）(B)向右平移1个单位长度，6再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍3（纵坐标不变）(C)向左平移三个单位长度，6再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(D)向右平移4个单位长度，6再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）8.（全国二8）若动直线x=a与函数f（x）=sin x和g（x）=cosx的图像分别交于M,N两点，贝i”MN的最大值为（）A.1 B.握 C.V3 D.2题型七：和差公式以及等角替换1.（重庆卷）若巴眦（0二），cos-）=,sin（-P）=-1,则 cos（a+B）的值等于 2 2 2 2 2(A)(B)-(C)-(D)2 2 2 22.(江苏卷)cot 20 0cos 10+3 sin 10 0tan 70 0-2 cos40 0=_3.(陕西卷)cos43 cos77+sin43 cos 167 的值为(3 九、3,tv、24.(重庆卷)已知 a,B e 1 i,sin(a+P,sin P-1=,则U)5 V 4；13“a+：卜-.35.若 cos(a+B)=-，cos(a-P)=-,则 tanal l tan。.5 5第6页，共18页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载高中数学知识过关复习之工角函数、解三角和平面向量（一）题型一：利用三角函数的定义解题2/51.（重庆卷）已知sma=-5JTa ,则 tan a=2初,.2xf5 兀解：由 sin a=-,an5 2 AB AC-sin A=,2 2 233由(I)知sin A=65故 ABxAC=65,5分8分又ACAB xsin Bsin C20“c=AB13 20 2故AB=65,13132所以BC=AB x sin A sin C11210分第7页，共18精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载6.(江苏卷15).如图，在平面直角坐标系 xoy中，以ox轴为始边做两个锐角 a,0,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B两点，已知A,B的横坐标分别为巫，延.10 5(I)求 tan(a+P)的值；(H)求a+2B的值.【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.由条件的cosa=10,cos P=3,因为 a,P 为锐角，所以 sina=乂2,sin B=510爽5因此 tana=7,tan P=-2/t、，,上 r、tana+tan B (1)tan(a+P)=-=-31-tana tan P,“、2tan P 4 匚，cC、tana+tan20(II)tan2P=-=-，所以 tan(a+2P)=-1-tan P 3 1-tana tan2Pa,B 为锐角，0a+2P 0,32.已知 sinO+cos。=一，且上 W8W，则 cos20 的值是.5 2 4725.J15。65A.-B.-C3 3解：由 sin2A=2sinAcosA 0,可知 A2 5(Sl Al+cA)S=)+1 就选 A又71 13.已知 一一 x 0,sin x+cosx=.2 5求 sinxcosx 的值;解:由sin x+cosx=)，平方得 5sin2 x+2 sin x cos x cos2 x=，2524即 2 sin xcos x=-252v(sin x-cosx)=1-2sin xcosx=4925第8页，共18页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载九 7又；一二 x 0,sin x O,sin x-cosx 0,故 sin x-cosx=2 5TT 44.(安徽卷)已知 0 ot ,sin ot=2 52/t、3 sin a+sin 2a _()求2-的值；cos a+cos2a(II)求 tan(a-)的值。4m/t、八 兀，4,3 sin a+sin 2ot解：(I)由 0 a 一,sin a=,得 cosa=一，所以-2 5 5 cos a+cos 2a2sin a+2sin a cosa-2-=20 3cos a-1sina 4 x,5n、tana-1(II).tana=-=-,tan(a-)=-cosa 3 4 1+tana5.(北京卷)已知tan=2,求2,.n.6sin a+cosa(I)tan(a+)的值；(h)-的值.4 3sin a-2cosa“a解：(I)v tan=2,tana=22tan 5 2*22 a 1 _ 41-tan-1 今2_ tana+tan所以 tan(a+)=-4 1-tan tan4I Itan。+1 31-tana _ 434(II)由(I),tan 0=-所以36sin ct-cosa 6 tana+13sinot-2cosa 3tanct-24 6(-)+134 3(-勺-2 J6.（20XX年湖南高考数学文史第17题，本小题满分12分）437776已知 tan(N+a)=2,求-的值.4 2sin a coset+cos a解：由 tan(三+a)=-tan-=2,得 tana=-.4 1-tana 3.2,2 _ sin a+cos a 2sina cosa+cos2 a 2sina coset+cosa2atan2 a+1-(3)1=22tana+1 _.1 3d-13题型三：齐次型二角函数问题1.（江苏卷）已知aR函数f(x)=sin x-|a x w R为奇函数，则 a=(A)0(B)1(C)-1(D)1【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，角函数 sinx的奇偶性的判断，本题是一道送分的第9页，共18精品pdf资料欢迎Fffi学习必备欢迎下载概念题【正确解答】解法1由题意可知，f(x)=_f(x)得a=0解法2：函数的定义域为 R,又f(x)为奇函数，故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0,解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出 f(x)=sin x-耳，xw R的图象选A2.(湖南卷)若 f(x)=asin(x+2I)+3sin(x_E)是偶函数，则 a=4 4-解析：f(x)=asin(x+)+3sin(x)=a(sin x+cosx)+3(sinx-cosx)是 4 4 2 2 2 2偶函数，取a=-3,可得f(x)=-3vcosx为偶函数。n it3.(湖南卷)若f(x)=asin(x+)+bsin(x)(ab=0)是偶函数，则有序实数对(a,b)可以是.(注：只要填满足a+b=0的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即 可).解析.ab#0,f(x)=asin(x+-)+bsin(x-)=a(sinx+cosx)+b(sinx-cosx)4 4 2 2 2 2是偶函数，只要 a+0即可，可以取 a=1,b=-1.4.(江西卷)函数y=4sin(2x+；J+1的最小正周期为()A.B.K C.2江 D.4兀解：T=71,故选B25.(全国II)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是JI JT(A)2 n(B)4n(C)(D)1 2 兀 71解析：y=sin2xcos2x=-sin 4x所以最小正周期为 T=一，故选D2 4 26.(辽宁卷)已知函数f(x)=:(sin x+cosx)卜in x-cosx,则f(x)的值域是1 11 cosx(sin xcosx)【解析】f(x)=-(sin x 4cosx)-sin x-cosx=42 2 sin x(sin x cosx)即等价于sin X,COSXmin，故选择答案Co第10页，共18页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载*|27.（浙江卷）函数y=sin2x+sin x,x 6 R的值域是22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2【考点分析】本题考查三角函数的性质，基础题。解析：y=-sin2x+sin2*4 x=-sin2x-cos2x+-=-sin 2x-!+-,故选择 C。2 o9.(辽宁卷)已知函数 f(x)=sin x+2sin xcosx+3cos x,xw R.求：（I）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量 x的集合;(II)函数f(x)的单调增区间.【解析】(I)解法一：1-cos2x 3(1+cos2x)/兀f(x)=-+sin 2x+-=1+sin 2x+cos2x=2+V2 sin(2 x+)2 2 4K 7T K r.当 2x+=2k兀+-,即 x=k兀+(ke Z)时，f(x)取得最大值 2+V2.4 2 8n函数f(x)的取得最大值的自变量 x的集合为x/xE R,x=k兀+永亡Z).8解法二：2 2 4 2 2f(x)=(sin x-cos x)+2sin xcosx+2cos x=2sin xcosx+1+2cos x=sin 2x-cos2x+2=2+V2 sin(2 x+)7T 7T 7T p-.当 2x+=2kn+,即 x=k兀+(kw Z)时，f(x)取得最大值 2、2.4 2 82 2 2 2 2 V 4 J 28.（全国卷I）函数f（X）=tan x+1的单调增区间为A.kir ,k兀+I,k u Z2 2 J 3 万 k)C.k汗-,kn+I,k u Z4 4B.(kir,(k+1);r),kwZD/T、7T K K解：函数f(x)=tan x 1的单调增区间满足-x 一 +一,f V 4 J 2 4 2.单调增区间为 kJT,kK+-i,kw z，选C.I 4 4；第11页，共18页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载函数f(x)的取得最大值的自变量 X的集合为x/xw R,x=k7r+-(k Z).8(II)解：f(x)=2+应 sin(2x+三)由题意得：2kir 2 W2x+E W2k;t+上(kw Z)4 2 4 23 兀即：kirWxWk;r+j(kwZ)因此函数 f(x)的单调增区间为k;r-，kk+(k w Z).8 8 8 8 10(陕西卷)已知函数 f(x)=V3sin(2x-)+2sin2(x-)(x f R)(I)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解:(I)f(x)=3sin(2x-)+1 cos2(x瓦)l3 n 1 n=2 2 sin2(x-花)-2 cos2(x话)+1=2sin(2 x-)+1JI(II)当 f(x)取最大值时，sin(2x-3)=1,有 2x=2k”手5 n 5 n即*=口+否(ke Z)所求 x 的集合为 xe R|x=kn+瓶，(ke Z).11.(重庆卷)设函数 f(x)=0,aw R),月.f(x)的图象在 y轴右解：(侧的第一个高点的横坐标为-.6(I)求3的值；o S 2+2(H)如果f(x)在区间 三%】上的最小值为、力，求a的值.I 3 6 一+a依题意得解之得2sCa2第12页，共18页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载(II)由(1)知,f(x)=sin(x+为+又当X_；兀 5k时，X+C3l04 6 1故.1一 T sin(x+-)1,从而f(X)在卜9江6 J上取得最小值+2因此，由题设知1一 2+正+a 2=J 故 a=r:2 r+1-2题型四：非齐次型三角函数问题1.(四川卷17).(本小题满分12分)求函数y=7-4sin xcosx+4cos2x-dcosx的最大值与最小值。2 4【解】：y=7-4sin xcosx+4cos x-4cos x2 2=7-2sin 2x+4cos x(1-cos x)2 2=7-2sin 2x+4cos xsin x2=7-2sin 2x-sin 2x2=(1-sin 2x)-6由于函数z=(u 一1 f+6在-11中的最大值为2Zm ax=(二 一1)坨=1。最小值为2Zmin=。-1)6=6故当sin2x=-1时y取得最大值10,当sin2x=1时y取得最小值62.(福建卷17)(本小题满分12分)已知向量 Tfl=(sinA,cosA),6=(3,-1),才_|n=1,月.A 为锐角.(I)求角 A 的大小；(H)求函数 f(x)=cos2x+4cos Asin x(xw R)的值域.本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.解：(I)由题意得 mLn=V5 sin A-cos A=1,7T 71 12sin(A-)=1,sin(A-)=-.6 6 2第13页，共18页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载由A为锐角得A-=-,A=-.6 6 3(H)由(I)知 cosA=l,2j q所以 f(x)=cos2x+2sin x=1-2sin1 2 x+2sin s=-2(sin x-)2.1 _J55.已知 sin198 =,!HiJsin(-558o)=4 3因为xg R,所以sin xe-1,11,因此，当sin x=-时，f(x)有最大值-.2 2当sinx=-1时，f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是L 2_题型五：诱导公式1.(陕西卷1)sin3300等于(B)吏2Q1-2C1-2-B%一 2-A2.tan690的值为(A)A.史 B.更 C,V33 33.sin 21 Oc=(D)D.-v;3囱 B _V3 2 24.COS330：=(C)旦21 1A.-B.2 2_7|27.已知 cos(-a)=m(E W1),求62+ct)Usin(-a)的值。8.已知 sin f =工，求sin +a l+cos2(-a)的值。16 J 4 O,co 0,080.+=2,A=2.QjX 71又.其图象相邻两对称轴间的距离为 2,co 0./.-()=2,co=-.2 2s 42 2K 7T/.f(x)=-cos(x+智)=1-cos(x+2).y=f(x)过(1,2)点，cos(1+29)=-1.TT 小 小 TV 小 TT二 一+于=2k兀+x,kw Z,.20=2k兀+-,kw Z,.=|n+一,kw Z,2 2 4又.0-,.=-2 4.八 几 兀 H 兀(II)解法一：，=一,.y=1-cos(x+)=1+sin x.4 2 2 2第15页，共18页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.又；y=f(x)的周期为 4,2008=4x502,二 f(1)+f(2)+.+f(2008)=4x502=2008.解法二：7 f(x)=2sin2(-x+0,0 v 2兀)的部分图象如图，则5.如图，某地一天从 6时到14时的温度变化曲线 近似满足函数 y=Asin(ox+9)+b,试求这段曲 线的函数解析式.6.如图，它表小电流I=Asin(cot+(P)(A0,o 0)在一个周期内的图象.(i)试根据图象写出 y=Asin(cot+)的解析式.(ii)在任意一段 2 秒的时间内，电流I既能取得最100大值A,又能取得最小值一A吗？7(江苏卷)为了得到函数y=2sin()+3),xC R的图像，只需把函数y=2sin x,xw R的图像 3 6上所有的点(A)向左平移 三个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1倍(纵坐标不变)6 3第16页，共18页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载（B）向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 6（C）向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 6（D）向右平移4个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 6倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。【正确解答】先将 y=2sinx,xc R的图象向左平移 二个单位长度，6得到函数y=2sin（x+土），xw R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3倍6（纵坐标不变）得到函数 y=2sin（乙+土），xc R的图像，选择 C。8.（全国二8）若动直线x=a与函数f（x）=sin x和g（x）=cosx的图像分别交于M,N两点，贝U|MN|的最大值为(B)A.1 B.J2 C.展 D.2题型七：和差公式以及等角替换1.(重庆卷)若 a,B w(0,-),cost-)=,sin(-P)=,则 cos(a+P)的值等于 2 2 2 2 2(A)一(B)(C)(D)2 2 2 2,Q,“、B 兀兀 a n 兀兀解：由 ct,P c(0,),则 a-e(-,一),-P e(-,一),又2 2 4 2 2 2 4P V3,a n 1 P 7T a ncos(a-)=,sin(-h)=,所以 a-=一,-P=-2 2 2 2 2 6 2 6IT 1解得 a=P=一,所以 cos(a+B)=-一，故选 B3 22.(江苏卷)cot20ocos10o+v3sin10otan70o-2cos40=_ 【思路点拨】本题考查工角公式的记忆及熟练运用：角公式计算求值cot 20cos10+x/3sin10 tan70-2cos 40cos20cos10 vz3sin10 sin70 仁“-o=-5+-o-2cos 40【正确解答】sin 20 cos70cos20cos10+Vssinl O0 cos20=-x-2cos 40sin 20第17页，共18页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载cos20(cos10+/3sin1O0)sin 20-2cos402cos20(cos10 sin 30+sin10 cos30)sin 20-2cos402cos20 sin 40-2sin 20 cos402J%一 2 I np+a12一,13=兀一 4一 np sin3-5P COS(0t+P)=-,cos(P-)-,4 2 4 5 4 13则 cos(a+)=cos+B)_(B-)=cos&+P)cos(P-)+sin(a+B)sin(B-)4 4 4 44 5 3 12 56=7.(f)JR.而 羡5 13 5 13 65 35.若 cos(a+P)=-，cos(a-P)=-，则 tana|Jtan。=.5 515.一2第18页，共18页sin 20=2 3.(陕西卷)cos43 cos77+sin43 cos 167 的值为 解析：cos430cos770+sin43 0cos167=cos43Ocos77-sin 430sin77 0=cos1200=-.2/3兀,3 i 124.(重庆卷)已知 a,B Wi I f sin(a+B)=)sin B i=,则4 1 2*4 5 4 1 13