[高等教育]数学建模与数学技术的应用介绍.ppt

数学建模与数学技数学建模与数学技术应用介用介绍20112011年年5 5月月2727日于南日于南华大学大学 衡阳衡阳郑洲洲顺1.提提 纲 数学模型与数学建模数学模型与数学建模过程程 科学科学计算与数学模型求解算与数学模型求解 科学科学计算与数学算与数学软件系件系统的使用的使用 数学技数学技术的的应用用差分方法建模差分方法建模 掌握数学技掌握数学技术迎接迎接时代代发展的挑展的挑战 我我们团队的的应用数学研究之路用数学研究之路2.Mathematical Model&Mathematical Modeling模型模型是是为了一定目的，了一定目的，对客客观事物的一部分事物的一部分进行行简缩、抽象、提抽象、提炼出来的出来的原型的替代物原型的替代物,它集中反映了它集中反映了原型原型中中人人们需要的那一部分特征。需要的那一部分特征。数学模型数学模型是是对客客观事物的部分、方面或特性，根据其内在事物的部分、方面或特性，根据其内在规律，律，作出必要的作出必要的简化、假化、假设，运用数学符号、，运用数学符号、语言等数学工具描述言等数学工具描述的作的作为原型替代物的一个原型替代物的一个数学数学结构构。数学建模数学建模是建立数学模型的全是建立数学模型的全过程，包括程，包括对客客观事物事物进行分析、行分析、简化、假化、假设、运用适合数学工具表述、求解、解、运用适合数学工具表述、求解、解释、检验等。等。数学建模是数学建模是应用数学技用数学技术解决是解决是问题的的关关键步步骤和和核核心内容心内容。3.现实问题的信息的信息数学模型数学模型现实问题的解答的解答数学模型的解答数学模型的解答求解求解解解释验证实践践现实世世界界数数学学世世界界理理论实践践求解方法求解方法演演绎法法数数值法法数数值解解解析解解析解？表述表述数学建模数学建模现实世界与数学世界世界与数学世界联系的系的桥梁梁4.数学建模的一般步数学建模的一般步骤与意与意义分析分析问题提出假提出假设应用与推广用与推广求解模型求解模型解的分析解的分析检验和和验证建立模型建立模型 作作为用用数数学学方方法法解解决决实际问题的的第第一一步步，数数学学建建模模自自然然有有着着与与数数学学同同样悠悠久久的的历史史。进入入2020世世纪以以来来，随随着着数数学学以以空空前前的的广广度度和和深深度度向向一一切切领域域的的渗渗透透，以以及及计算算机机的的出出现与与飞速速发展展，数数学学建建模模越越来来越越受受到到人人们的的重重视，数数学学建建模模在在解解决决现实世世界界的的实际问题中有着重要意中有着重要意义。在在传统工程技工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地域，数学建模仍然大有用武之地 在高新技在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具域，数学建模几乎是必不可少的工具5.美国科学院一位院士美国科学院一位院士总结了将数学了将数学转化化为生生产力力过程中程中的成功和失的成功和失败，得出了，得出了“数学是一种数学是一种关关键的、普遍的、可的、普遍的、可以以应用的用的技技术”的的结论，认为数学数学“由研究到工由研究到工业领域的域的技技术转化，化，对加加强经济竞争力是有重要意争力是有重要意义”，而，而“计算算和建模重新成和建模重新成为中心中心课题，它，它们是数学科学技是数学科学技术转化的主化的主要途径要途径”。数学建模技数学建模技术是数学建模的相关知是数学建模的相关知识、方法和技巧。、方法和技巧。科学科学计算算和和数学建模技数学建模技术是是数学技数学技术的核心内容，的核心内容，数学技数学技术的的应用依用依赖于于计算机技算机技术的的发展。展。6.科学科学计算与数学模型求解算与数学模型求解算法：算法：是指将所欲求解的数学模型（数学是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化化成一系列成一系列算算术运算运算和和逻辑运算运算，以便在，以便在计算机上求出算机上求出问题的数的数值解，并解，并对算法的收算法的收敛性、性、稳定性及其定性及其误差差进行分析、行分析、计算算。(1)(1)科学科学计算与数学建模求解关系算与数学建模求解关系求解方法求解方法演演绎法法数数值法法数数值解解解析解解析解(2)(2)模型的数模型的数值求解与求解与误差差7.（3）误差的种差的种类及其来源及其来源误差的种差的种类模型模型误差差观测误差差截断截断误差差舍入舍入误差差误差分析差分析例例1 18.1 2 3 4序序 号号 算算 式式计 算算 结 果果 19.按不同算式和近似按不同算式和近似值计算出的算出的结果各不相同果各不相同初始初始误差和算法的差和算法的选定定对计算算结果的精确度影响很大果的精确度影响很大大小相近的同号数相减大小相近的同号数相减数数值计算中算中应避免避免除数接近于零除数接近于零乘数的乘数的绝对值很大很大数数值算法的构造、算法的收算法的构造、算法的收敛性和性和稳定性定性量量级级差很大的数直接相加减差很大的数直接相加减10.科学科学计算与数学算与数学软件系件系统的使用的使用常用算法常用算法1)蒙特卡蒙特卡罗算法算法:该算法又称随机性模算法又称随机性模拟算法，是通算法，是通过计算机仿真来解决算机仿真来解决问题的算法，同的算法，同时可以通可以通过模模拟可以可以来来检验自己模型的正确性，是一种常用的方法自己模型的正确性，是一种常用的方法.2)数据数据拟合、参数估合、参数估计、插、插值等数据等数据处理算法理算法:在在实际问题中通常会遇到大量的数据需要中通常会遇到大量的数据需要处理，而理，而处理数理数据的关据的关键就在于就在于这些算法，通常使用些算法，通常使用Matlab作作为工具工具.3)线性性规划、整数划、整数规划、多元划、多元规划、二次划、二次规划等划等规划划类问题:大多数大多数问题属于最属于最优化化问题，很多，很多时候候这些些问题可以用数学可以用数学规划算法来描述，通常使用划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件件实现.11.4)图论算法算法:这类算法可以分算法可以分为很多种，包括最短路、很多种，包括最短路、网网络流、二分流、二分图等算法，涉及到等算法，涉及到图论的的问题可以用可以用这些些方法解决方法解决.5)动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算机算法算法:这些算法是算法些算法是算法设计中比中比较常用的方法，很多常用的方法，很多场合都会用到合都会用到.6)最最优化理化理论的三大非的三大非经典算法：典算法：模模拟退火法、神退火法、神经网网络、遗传算法算法（是用来解决一些（是用来解决一些较困困难的最的最优化化问题的算的算法，法，对于有些于有些问题非常有帮助，但是算法的非常有帮助，但是算法的实现比比较困困难.7)网格算法和网格算法和穷举法法:网格算法和网格算法和穷举法都是暴力搜索法都是暴力搜索最最优点的算法，在很多点的算法，在很多实际问题中有中有应用，当重点用，当重点讨论模型本身而模型本身而轻视算法的算法的时候，可以使用候，可以使用这种暴力方案，种暴力方案，最好使用一些高最好使用一些高级语言作言作为编程工具程工具.12.8)一些一些连续离散化方法离散化方法:很多很多实际问题的数据的数据可能是可能是连续的，而的，而计算机只算机只认的是离散的数据，的是离散的数据，因此将其离散化后因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代行差分代替微分、求和代替替积分等思想是非常重要的分等思想是非常重要的.9)数数值分析算法分析算法:数数值分析中常用的算法比如分析中常用的算法比如方程方程组求解、矩求解、矩阵运算、函数运算、函数积分等算法分等算法.10)图象象处理算法理算法:一些一些问题与与图形有关，即使形有关，即使与与图形无关，形无关，图形如何展示以及如何形如何展示以及如何处理就是需理就是需要解决的要解决的问题，通常使用，通常使用Matlab进行行处理理.13.常用常用软件件Maple V 系系统 MATLAB 系系统 MathCAD 系系统 Mathematica 系系统 LINDO和和LINGO SAS系系统SPSS系系统14.数学技数学技术的的应用用差分方法建模差分方法建模15.一、抵押一、抵押贷款款买房房问题相相关关背背景景名流花园 用薪金用薪金,买高品高品质住房住房 对于于大大多多数数工工薪薪阶层的的人人士士来来说,想想买房房,简直直是是天天方方夜夜谭.现在在有有这样一一栋:自自备款款只只需需七七万万人人民民币,其其余余由由银行行贷款款，分分五五年年还清清.相相当当于每月只需付于每月只需付1200人民人民币。那么。那么,这对于您于您还有什么有什么问题呢呢?谁都希望有一套属于自己的住房，但又没有足都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的的资金一次金一次买下，下，这就就产生了生了贷款款买房的房的问题。下面是下面是1991年年1月月1日某大城市晚日某大城市晚报上登的一上登的一则广告广告.任任何何人人看看了了这则广广告告都都会会产生生许多多疑疑问，且且不不谈广广告告上上没没有有谈住住房房面面积、设施等，人施等，人们关心的是：关心的是：如果一次付款如果一次付款买这套房要多少套房要多少钱呢？呢？银行行贷款的利息是多少呢？款的利息是多少呢？为什么每个月要付什么每个月要付12001200元呢？元呢？是怎么算出来的？是怎么算出来的？16.分分析析与与建建模模需要借多少钱，用 记;月利率用记R（贷款通常按复利计）;每月还多少钱用x记；借期记为N个月。而一开始的借款为 ，所以该问题可用数学表达式表示如下 （1.1）因因为我我们都都知知道道，若若知知道道了了一一次次付付款款买房房的的价价格格，如如果果自自己己只只能能支支付付一一部部分分款款，那那就就要要把把其其余余的的款款项通通过借借贷方方式式来来解解决决，只只要要知知道道利利息息，就就可可以以算算出出5 5年年还清清，每每月月要要付付多多少少钱才才能能按按时还清清贷款款，从从而而也也就就可可以以对是是否否要要去去买该广广告告中中所所说的房子做出决策了。的房子做出决策了。若用 记第k个月时尚欠的款数，则一个月后（加上利息）欠款 ，不过又还了x元所以总的款数为17.由 递推得推得 故这就是 ，x，R 之间的显式关系，是迭代关系（1.1）的解。18.针对广广告告中中的的情情形形，N=5N=5年年=60=60个个月月，每每月月还款款x=1200 x=1200元元，已已知知 。但但 即即一一次次性性付付款款购买价价减减去去7000070000元元后后剩剩下下的的要要另另外外去去借借的的款款，并没有告并没有告诉你你.此外此外银行行贷款利率款利率R R也没有告也没有告诉你，你，这造成决策的困造成决策的困难.然而，由（然而，由（1.21.2）可知）可知6060个月后个月后还清，即清，即 =0=0，从而得，从而得 （1.31.3）例例如如，若若R=0.01R=0.01，则由由（1.31.3）式式子子可可算算得得=52946=52946元元。如如果果该房房地地产公公司司说一一次次性性付付款款的的房房价价小小于于70000+53946=12394670000+53946=123946元元的的话，你你就就应自自己己去去银行行贷款。款。事事实上上，利利用用MapleMaple等等数数学学软件件可可把把（1.31.3）式式的的图形形画画出出来来，从从而可而可进行估算决策。行估算决策。（1.31.3）式式表表示示N=60N=60，x=1200 x=1200给定定时 和和R R之之间的的关关系系式式，如如果果我我们已已经知道知道银行的行的贷款利息款利息R R，就可以算出，就可以算出 。19.例1 某校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱，25年后就可以还清，假设这对夫妇每月可有节余700元，是否可以去买房呢？解：解：现在的在的问题就是要求使得就是要求使得 =0的的x，由（，由（1.2）式）式知知现在在 =60000，R=0.01，k=300，利用，利用Maple等数学等数学软件，容易算得件，容易算得x=632元元0（订购Q双鞋），那么双鞋），那么购买费用用为k+cQ元，元，为了得到每周期的了得到每周期的贮存存费用，注意到一个周期内的平均存用，注意到一个周期内的平均存储水平水平为（Q+0）/2=Q/2双。因此相双。因此相应的的贮存存费用用为每每单位位时间hQ/2元，因元，因为周周期期长度度为Q/a月，所以每个周期的月，所以每个周期的贮存存费用用为 元。于是，每个周期的元。于是，每个周期的总费用用为 元，而每双写的元，而每双写的总费用用为:对于于这种特定的鞋，零售商种特定的鞋，零售商应该隔多隔多长时间向批向批发商去商去订一次一次货，每次每次订货多少才能使他在多少才能使他在单位位时间内的花内的花费最少？不妨最少？不妨设1个月（个月（30天）作天）作为时间单位；零售商从批位；零售商从批发商商处一次一次订购Q件，件，设以以单位位时间a双的速率双的速率销售售这些商品。因些商品。因为缺缺货是不容是不容许的，所以的，所以连续两次两次订货的的时间间隔隔为Q/a时间单位，即位，即订购周期周期为Q/a，以月，以月计。3.3.模型的建立与求解模型的建立与求解25.由于由于 解得使得解得使得T最小的最小的Q为 ，为了达到所希望的目的，了达到所希望的目的，连续两次两次订购的的时间间隔隔为 因此，因此，为了达到在了达到在单位位时间内的花内的花费最小，最小，对于所考于所考虑的特定的特定类型的型的鞋，鞋，零售商店每隔零售商店每隔 月向批月向批发商商订购 双双，其，其中中k为每次每次订购的的组织费，h为每月每件商品的每月每件商品的贮存存费用，而用，而a是零售商售是零售商售出商品的不出商品的不变速率。速率。用一个特定的数用一个特定的数值例子来例子来说明前述内容，假定所考明前述内容，假定所考虑的特定的特定类型的鞋是一型的鞋是一种全年都种全年都销售的女鞋，并且售的女鞋，并且预期将期将继续流行足流行足够长的的时间以保以保证如下分析中的如下分析中的考考虑之合理性。零售商估之合理性。零售商估计每次定每次定货的的组织费为20元；每双鞋的元；每双鞋的购买费4.60元元和和0.10元的运元的运费。零售商将。零售商将这种鞋的种鞋的贮存存费估估计为每双每月每双每月0.84元，零售商以元，零售商以每月平均每月平均90双的速率双的速率销售售这种鞋。种鞋。4.4.模型的模型的应用（一个数用（一个数值例子）例子）26.利用前面的利用前面的记号，有号，有k=20元，元，c=4.70元，元，h=0.84元，而元，而a=90双双/月。月。所以使得每月所以使得每月总费用最小的用最小的这种鞋的种鞋的订购量量为这样便有两个便有两个问题：首先，首先，订购65.47双鞋是荒唐的；双鞋是荒唐的；其次，批其次，批发商向零售商向零售商出售鞋，按商出售鞋，按惯例例总是以箱是以箱为单位，且每箱装有的双数按箱的位，且每箱装有的双数按箱的规格不同而格不同而不同。不同。为确定起确定起见，假定从批，假定从批发商商处订购的特定的特定类型的鞋是型的鞋是18双一箱的。双一箱的。为了解决上面提到的了解决上面提到的问题，我，我们首先首先检查函数函数 的特性：在可的特性：在可行行 集集 上，当上，当 时，是减少的，而当是减少的，而当 时，是增加的，此是增加的，此处 =65.47，因，因为54和和72是是18的倍数中最接近于的倍数中最接近于65.47的两个数，一个小于它，的两个数，一个小于它，一个大于它，容易算出：一个大于它，容易算出：元元/月，而月，而 元元/月，于是零售商月，于是零售商应该订购 双双这样的鞋，且的鞋，且应每隔每隔 月，即月，即24天天订购72双鞋（即四箱）双鞋（即四箱）这样的鞋。的鞋。27.库存存论是运筹学的重要是运筹学的重要组成部分，有成部分，有许多存多存储模型我模型我们这里没有提到。例如。里没有提到。例如。在各种各在各种各样的的贸易中，易中，销售者将售者将视购买商品的量而商品的量而给予减价予减价优惠也是常惠也是常见的。此外，的。此外，这里考里考虑的两种模型都是确定性的也就是一个周期内的需求量是已知的。如果一个的两种模型都是确定性的也就是一个周期内的需求量是已知的。如果一个周期内的需求量是一个已知的随机周期内的需求量是一个已知的随机变量，量，则合适的合适的 模型将是随机的。关于此模型将是随机的。关于此处未予未予考考虑的模型可以从运筹学的的模型可以从运筹学的书中找到。中找到。这里，我里，我们 将仿照上例解决下面的将仿照上例解决下面的问题。（1）美国一个葡萄酒批美国一个葡萄酒批发商从法国商从法国进口一种特定的葡萄酒。根据以往的口一种特定的葡萄酒。根据以往的经验，批批发商知道她必商知道她必须容容许脱脱销。在国外生。在国外生产这种葡萄酒的葡萄欠收的年份里就很种葡萄酒的葡萄欠收的年份里就很难有法国葡萄酒运到她在美国的有法国葡萄酒运到她在美国的仓库里，里，还有其他原因可能有其他原因可能导致致仓库中中这种葡种葡萄酒的短缺。萄酒的短缺。批批发商从葡萄园商从葡萄园购买的葡萄酒只有的葡萄酒只有12瓶一箱装的。可是她凭瓶一箱装的。可是她凭经验知道以瓶知道以瓶为单位位卖给零售商生意才零售商生意才兴隆，因隆，因为零售商希望零售商希望买到各种不同葡萄酒的混装箱。到各种不同葡萄酒的混装箱。于是批于是批发商的一件物品意味着一瓶葡萄酒，而商的一件物品意味着一瓶葡萄酒，而单位位时间是指一个月（是指一个月（30天）。天）。假定假定3项费用用k、c和和h与前述的一与前述的一样；此外，短缺被；此外，短缺被认为 是容是容许的；零售商的；零售商对她所不能她所不能满足的每瓶葡萄酒的需要足的每瓶葡萄酒的需要视为损失每失每单位位时间p元；元；Q和和a具有前述相具有前述相同的意同的意义。5.5.模型的推广（模型的推广（评注）注）28.设S为所考所考虑的葡萄酒在一个周期内开始的葡萄酒在一个周期内开始时仓库里的里的库存量。存量。现在的目的是决定在的目的是决定S和和Q应该取什么値才能使批取什么値才能使批发商在商在单位位时间的的费用最小。用最小。提示：提示：(a)计算每个周期的算每个周期的购买费用是多少？用是多少？(b)每个周期的每个周期的贮存存费用是多少（注意在用是多少（注意在长为Sa 的一段的一段时间内存内存储量量是是 正的，且正的，且这段段时间内的平均存内的平均存储量是（量是（S+0）2S2瓶）瓶）？(c)每个周期的短缺每个周期的短缺损失失费是多少（注意是多少（注意长为（QS）a的一段的一段时间内短缺，且在内短缺，且在这个个时间段的平均段的平均损失失为0+（QS）2）（）（QS）2瓶）瓶）？(d)将（将（a）（）（c）中的）中的结果相加得到每个周期的果相加得到每个周期的总消消费是。是。(e)利用（利用（d）的）的结果写出果写出单位位时间内的内的总消消费（注意：（注意：Qa 是一个是一个单位位时间）。）。29.(f)观察两个察两个变量量S和和Q的函数的函数T，确定，确定T的（局部）最小的（局部）最小值。作。作为第一步，第一步，计算算(g)令（令（f）中）中计算出的算出的为零，第零，第S和和Q解解这个个联立方程立方程组。将得到的解。将得到的解分分别记作和。作和。(h)用用检验二元函数极限的方法，二元函数极限的方法，证明和明和 是真正的最是真正的最优。(i)计算最有周期（作算最有周期（作为k、a、k和和P的函数）的函数）(j)画出存画出存储量量对时间的曲的曲线（注意存（注意存储量量变化范化范围从从0到到S；因；因为短缺短缺是容是容许的的,订购的数量的数量Q可以超可以超过S，杂一个周期中存一个周期中存储量量为正的正的时间长度是度是Sa）。）。(2)采用下列采用下列值：k40元，元，c6.8元，元，h0.27元，元，p0.15元，而元，而a 426瓶月。不要忘瓶月。不要忘记批批发商从法国商从法国买这种葡萄酒种葡萄酒时是是18瓶一箱装的，而她瓶一箱装的，而她卖给零售商零售商则是一瓶一瓶地是一瓶一瓶地卖。重。重读1）在数学）在数学软件平台上件平台上进行数行数值计算。算。30.问题的背景与分析的背景与分析自然自然资源可以分源可以分为两大两大类，一，一类叫做消耗性叫做消耗性资源，比如煤、源，比如煤、铁、石、石油等油等矿产，随着人，随着人类的开采，它不断被消耗，的开采，它不断被消耗，贮存量越来越少，一直到存量越来越少，一直到被消耗完被消耗完为止；另一部分叫做可再生止；另一部分叫做可再生资源，比如森林、源，比如森林、渔场和各种野生和各种野生动物等物等资源，在人源，在人们利用其中一部分以后，能利用其中一部分以后，能够通通过资源群的自我更新源群的自我更新而得到恢复，从而达到多次利用的目的。例如一片森林，在砍伐其中一而得到恢复，从而达到多次利用的目的。例如一片森林，在砍伐其中一部分以后，它就能部分以后，它就能够经过自我更新再自我更新再长起来，当然恢复的起来，当然恢复的时间随随树种和种和林型的不同而不同。林型的不同而不同。三、森林三、森林问题的深入探的深入探讨 以往由于人以往由于人们对可再生可再生资源缺乏科学的源缺乏科学的认识，错误地以地以为资源是取之不尽、源是取之不尽、用之不竭的，因而用之不竭的，因而对资源利用源利用过度，即利用的量超度，即利用的量超过了了资源的更新和恢复的能力。源的更新和恢复的能力。从而使从而使资源源蕴藏量越来越少，藏量越来越少，严重的重的毁灭了了资源。当然，如果源。当然，如果归于可再生于可再生资源不源不加利用或者不充分利用，任其自生自加利用或者不充分利用，任其自生自灭，这也是不符合人也是不符合人类利益的，事利益的，事实上，上，这也是一种也是一种资源的浪源的浪费。比如，。比如，青海湖中的湟青海湖中的湟鱼的利用就是一个例子。的利用就是一个例子。31.解放前当地藏民受宗教影响，把湟解放前当地藏民受宗教影响，把湟鱼当作当作“神神”来供奉，使得来供奉，使得这种种鱼类资源未能很好的开源未能很好的开发利用。利用。因此，在人因此，在人类利用可再生利用可再生资源中，利用源中，利用过度固然是一种度固然是一种损失和危失和危险，相反，不利用或者未充分利用也是一种相反，不利用或者未充分利用也是一种损失，亦未失，亦未对生物生物资源不利用或者源不利用或者不充分利用，并不一定能使不充分利用，并不一定能使资源增加。那么到底源增加。那么到底应该怎怎样利用才算合理、利用才算合理、科学呢？从人科学呢？从人类的利益角度来的利益角度来讲，应该是既要使生物是既要使生物资源能源源不断地被源能源源不断地被利用，利用，维持在一定持持在一定持续产量水平上，有要使量水平上，有要使这种持种持续产量保持最大。如果量保持最大。如果结合合经济成本和收成本和收获量来考量来考虑，也就是要确定最佳持，也就是要确定最佳持续产量，即在量，即在维持收持收获的前提下，的前提下，获得最大的得最大的经济效益。效益。现在，来考在，来考虑一种可再生一种可再生资源源森林。森林。显然，森林中的数然，森林中的数树木每年木每年都要有一批被砍伐出售，都要有一批被砍伐出售，为了使了使这片森利不被耗尽而且每年都有所收片森利不被耗尽而且每年都有所收获，我我们要求：每当砍伐掉一棵要求：每当砍伐掉一棵树木，就在原地木，就在原地补种上一棵幼苗，从而使得森种上一棵幼苗，从而使得森林中林中树木的木的总数保持不数保持不变，我，我们希望能找到一种方案，使得在希望能找到一种方案，使得在维持每年都持每年都有收有收获的前提下，去砍伐的前提下，去砍伐树木，使得被砍伐的木，使得被砍伐的树木木获得最大的得最大的经济效益。效益。32.模型的建立及求解模型的建立及求解1.假假设（1）被出售的树木，其价值取决于树木的高度，因此，将树木按高度来分级hi-1,hi)不同高度级的树木对应着不同的经济价值，下表给出个确定的高度区域价格之间的对应关系：树木价格与高度区木价格与高度区间级别价格（元）价格（元）高度区域高度区域1幼苗幼苗 0 2 3N33.表示收获群体（或称采伐向量）。其中第一级是幼苗，它的高度区间是一般认为用幼苗作木材，没有任何经济价值，用表示第i机的树木数，pi表示第i级树木的价值，用yi表示收获地i级的树木数，因此表示森林群体（或称未采伐向量），（2）对森林进行收获时，要求是砍一棵，种一棵，因此森林中的树木的总数为一固定值，记为s，即可以由占有土地的总面积和每棵树所需要的空间的大小而预定给定。（3）两次收获之间是森林的生长期，假设在一个生长期内，数目至多只能生长一个高度级，即第i级中的树木可能进入第i+1级，也可能因某种原因而仍然停留在第i级，并且假设同级的树木的生长速度相同，因此记qi为1年内第i级树木进入第i+1级的比例，称qi为生长参数。显然，1-qi为第一年内第i级的树仍停留在第i级的比例。34.（4）除砍伐外，树木不会死掉，即认为每一棵幼苗都可以生长到被收获。2.建模建模过程程 即 首先根据假设（3）可得出树木的生长情况。记 为k+1年第i级中的树木数，则有35.记，则上述关系就可以写成，其中 称为生生长矩矩阵。36.其次，我们来考虑一下收获情形，根据假设（2），砍伐的总数和补种的幼苗数相等。设是收获群体，则在每次砍伐时，移去树木的总数是这也是每次砍伐后加到第一级（栽下新的树苗）的树的总数。记n*n阶矩阵R为则 是每次收获后新种幼苗的分布状况，称R为替替换矩矩阵。根据维持收获的原则，则有（生（生长期开始的状期开始的状态）=（生（生长期末的状期末的状态）（收（收获）+（新种（新种树苗）苗）37.因此有收获模型其中I为n阶单位矩阵。3.模型分析与求解模型分析与求解根据收获模型 如果要保证对森林进行持续收获的话，就相当于要求y是常向量，即定常收获。这实际上就相当于要求森林中每生长期的树木分布状况都相同，换言之，即存在x，使得 x(k+1)=x(k)。这时，y才能实现持续收获，x称为收收获模型的平衡解模型的平衡解。如果存在平衡解x，则有 即 （4.1）把方程（4.1）称为能持能持续收收获条件条件。38.而39.仍以满足这个矩阵方程，具有非负元素的向量x，y，决定森林的一个持续收获方案。应该指出，这里将假设y1=0，表明收获了没有经济价值的树苗，没有实际意义。于是方程组（4.1）就可以化为 （4.2）这个方程组的第一个方程是后面n-1个方程之和。40.由于必须有 所以方程组（2）中要求（4.3）反之，如果x满足条件（4.3），则由方程组（4.2）定义了一列向量y，且x，y满足持续收 获条件（4.1）。因此，一个非负向量 x为收获模型平衡解的充要条件是它的元素满足条件（4.3）。4.最最优持持续产值 我们的问题就是在持续收获的前提下，使得收获的经济价值最大。设收获的总价值为Q，根据假设1），则有（4.4）将（4.2）式中的yi代入，得（4.5）41.这是一个线性规划问题，利用线性规划可以解得：只要从某一种高度集中收获全部树 木，而不用收获其他高度级中的树木，就可以得到最大持续收获。我们现在不用线性规划的理论来证明这一结论。设Qk是采伐时所有的树木都属于第k级而不采伐其他级的树所得的产量。因此有（4.6）另外，既然第k级中所有的树木都已砍去，没有树剩下，也就没有树存在于高于第k级的高度级中，因此将（4.6）和（4.7）式代入持续收获条件（4.2）中，得42.（4.8）43.由此方程组可得（4.9）即（4.10）将（4.7）和（4.10）式代入x1+x2+xn=s，得44.于是得解得 （4.11）（4.12）因此，只要生长参数是已知的，就可以求出的值，k=2,3,n，再比较k取不同值时 的值，从中确定维持收获的最大经济收入。45.实际应用用 现在，我们已知某处森林具有6年的生长期，通过实地测量，得到其生长矩阵为：假设5个高度级的树木价格分别为为了得到最优持续产量，问哪一级的树应该全部采伐掉？其产量是多少？46.解 在这里，我们假设森林中的树木总数为s，从生长矩阵G可知通过上述模型分析并利用数学软件计算求解，可得到：只收获第二高度级：只收获第三高度级 只收获第四高度级 47.只收获第五高度级 只收获第六高度级 比较五个值，可知 最大。因此，砍伐第三高度级的全部树木可使收益最大，最有持续产量是14.7s元。48.由上述模型分析知，持续收获x从理论上确实是存在的，但由于实际问题将导致按持续收获进行砍伐树木时困难较大，甚至可能成本较高，这当然是不“合算”的。另外，在森林中，要真正区分树木的等级也比较困难。假设中，我们认为树木是逐级按比例进入上一级高度的，其实现实中的树木生长 存在着竞争问题，增长率会随时间而发生变化，并不是恒定的。另外在计算最大收益 值时也没有考虑利率、税收、成本等问题。下面的问题值得大家进一步思考：设 表示年龄为t的树木的价值，对于年龄很长的树种（100200年），考虑树木的价值时必须同时考虑到现金的时间贴现，称r为贴现率，即时间t的单位现金只相当于 当前的 1）若已知树木价值，试讨论单株树木最优砍伐的时间 2）如果已知 试给出最优砍伐时间的计算公式。3）道格拉斯（Dauglas）冷杉的树木价值如下：49.年年龄i2030405060708090100110120价价值004314330349765080591310001075如果贴现率r=0.1，计算道格拉斯冷杉的最优砍伐时间。50.四、人口按年四、人口按年龄结构的构的总体增体增长问题本节介绍人口学家最常用的莱斯利（Leslie）人口增长模型，了解莱斯利矩阵的性质及其应用，了解人口按年龄结扣总体增长问题，并学会讨论极限状态。人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预测。你可能注意不到不同的报刊对同一地区同一时间人口的预测数字常有较大的差别，这是因为用了不同的人口模型进行预测的结果，且影响人口的因素很多。对于人口问题已有从不同的角度来进行研究而得到的模型和方法，这些方法请读者参阅其他相关的书籍。本节介绍的是人口学家最常用的莱斯利人口增长模型。51.莱斯利模型年龄组年龄区间10,N/n2(N/n,2N/n)3(2N/n,3N/n)n-1(n-2)N/n,(n-1)N/n)N(n-1)N/n,N)假定在总体中任意一个女性的最大年龄是N岁，这里的总体仅指女性人口总体，并将其当做按不同年龄分组的个体的集合。52.将总体分成n个期限相等的年龄组，于是每组的期限为N/n年，按下表来记下各个年龄组：假设已知在时刻t=0时每一个组中的女性人数，令在第i组中有 个女性，则记为 这个向量称为初始年初始年龄分布向量分布向量。现在来考虑这n个组中每组的女性人数随时间的推移而变化的情况。设任意两个连续的观察时间间隔和年龄区间的期限相等，即令这样，在时刻 时于第（i+1）组中的所有女性在时刻是均在第i组中。53.在两次连续的观察时间之间的出生和死亡过程，用下述人口学参数来描述：表示每一个女性在第i年龄组期间生育儿女的平均数。表示第i年龄组的女性可望活到第（i+1）年龄组的分数。显然 不允许任何bi等于0，否则就没有一个没有女性会活到超过第i年龄组。同样，至少有一个 是正的，这样就保证有n个女儿出生了。与正的 对应的年龄组称为生育年龄组。54.记 是在时刻个 年龄组中的女性数目，则称为在时刻 时年龄分布向量。在时刻 ，第一个年龄组中的女性数恰好就是在 和 之间出生的女孩数，即 （5.1）（5.2）55.将（5.1）式和（5.2）用矩阵表示即得（5.3）简记为（5.4）56.其中称为莱斯利矩莱斯利矩阵。由（5.4）式可得（5.5）因此，如果已知初始年龄分布 及莱斯利矩阵L，就能求出在以后任何时间的女性年龄分布。57.极限状态（5.5）式给出了在任意时间的年龄分布，但是它并不能直接反映增长过程动态的情况。为此我们需要考虑莱斯利矩阵L的特征值和特征向量，L的特征根是它的特征多项式的根，这个特征多项式为为了求这个多项式的根，引入函数（5.6）利用这个函数，特征多项式 可写为（5.7）58.由于所有的 和 为非负的，可以看作 对于大于零是单调减少的。另外，在 处有一条垂直渐近线，而当趋于无穷大时则趋于零。因此，存在唯一的一个 ，使得 。即矩阵L有一个唯一的正特征值，是单根，对于 的一个特征向量是满足：的非零向量。解得 （5.8）由于 是单根，它相应的特征空间是一维的，因而任意它所对应的特征向量 是某个倍数，则有定理59.定理1 一个莱斯利矩阵L有一个唯一的正特征值 ，并且有一个所有元素均为正的特征向量。总体年龄分布的长期行为是由正的特征值 及它的特征向量 来决定的。实际应用中，由数学软件很容易求出矩阵的特征值与特征向量。定理2 如果 为莱斯利矩阵L的唯一的正特征值，是L的特征值，它可以是任意实数或复数，则 。称为L的主特征值。如果对L的所有其他特征值有 ，那么 称为L的严格主特征值。并不是所有的莱斯利矩阵都满足这个条件，例如 请读者利用数学软件验证L的唯一正特征值不是严格主特征值，并且有 （单位矩阵）。60.于是对于任意选择初始年龄分布 ，都有 因此年龄分布向量以三个时间单位为周期而摆动，如果 是严格主特征值，这种摆动（也称人口波）就可能不会发生。下面价格叙述关于 是严格主特征值的必要和充分条件。定理3 如果莱斯利矩阵的第一行有两个连续的元素 和 不等于零，则L的正特征值就是严格主特征值。因此，如果女性总体有两个相继的生育年龄组，它的莱斯利矩阵就是一个严格主特征值。只要年龄组的期限足够小，现实中的总体总是这中情况。61.假设L是可对角化的，此时L有n 个特征值 与它们相对应的n个线性无关的特征向量为 。将其中严格主特征值排在第一，建立一个矩阵P，其余个列就是L的特征向量。于是L的对角化就由下式给出 62.则因此，对于任意初始年龄分布向量 就有63.此等式两边除以 ，就得出（5.9）由于 是严格主特征值，所以 当 时 这样就得到（5.10）64.如果将列向量 的第一个元素用常数C来表示，则可以证明（5.10）式右端为 ，C是一个只与初始年龄分布向量 有关的正常数，于是得到 （5.11）对于足够大的k值，由（5.11）式给出近似式（5.12）由（5.12）式还可得出（5.13）比较（5.12）和（5.13）式可知对于足够大的k值，有（5.14）65.这说明对于足够大的时间值，每个年龄分布向量是前一个年龄分布向量的一个数量倍数，这个数量就是矩阵的正特征值。因此，在每一个年龄组中的女性比例据变为常量。由给出常时期人口的年龄分布向量（5.12）式根据正特征值 的数值，会有三种情况：）如果 ，总体最终是增长的；）如果 ，总体整体是减少的；）如果 ，总体整体是不变的。的情形有特殊意义，因为它决定了一个具有零增长的总体。对于任何初始年龄分布，总体趋于一个是特征向量的某个倍数66.由（5.6）和（5.7）式可看出，当且仅当（5.15）时才有 。表达式（5.16）称为总体的体的净繁殖率繁殖率。因此，总体的净繁殖率为1时，一个总体有零总体增长。67.一个实例考虑一个没有多少移民迁入与外界隔绝的部落。假设该部落中没有年龄大于60的女性，将该部落中的女性分分成期限为20年的3个年龄组，并知其赖斯利矩阵是如果开始时在这3个年龄组中每组有1000名女性，于是由（5.3）式，得到68.因此60年后，年龄从0到20岁的女性有14375名；20到40岁的女性有1375名；40到60岁之间的女性有875名。69.由于L的特征多项式是严格主特征值是，故由（5.8）式，相应的特征向量是 对于足够大的k值（即多年后），由（5.14）式得因而每隔20年，3个年龄组中的女性和女性总数都将增长50。70.由（5.12）式得 这说明到最后，女性将按1：13：118的比例分配在3个年龄组中，这相当于72的女性分布在第一年龄组，24的女性分布阿第二年龄组，4的女性分布在第三年龄组中。这里仅分析了一个“特殊”的例子。事实上，要预测某地区未来人口的数量及人口年龄分布规律，同行需要考虑男性的情况，则需要对莱斯利模型做一些必要的修改还需要从人口普查资料中得到人口参数。分组的年限往往是一年，这样莱斯利矩阵L的阶就相当高，且假定出生率与死亡率是固定的，对于人口的长期预测来说，其合理性是有争议的。当L的阶数较高时，可使用第四章I 介