2020年深圳市普通高中高三年级三月线上统一测试数学(理科)试题参考答案及评分细则(一模)【高清版】.pdf

深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当462时，即83时，max()13f x，解得3；当462时，即803时，max()sin()463f x，令()sin()46g，()3h，如图，易知()yg，()yh的图象有两个交点11(,)Ay，22(,)By，所以方程sin()463有两个实根12，又888()1()393gh，所以易知有1283，所以此时存在一个实数1满足题设，综上所述，存在两个正实数满足题设，故应选 C.二、填空题：13.314.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设mn，易知线段MN所在直线的方程为12yx，又21122xxx，点P必定不在曲线C上，不妨设1(,)2P t t，()mtn，且过点P的直线l与曲线C相切于点20001(,)2Q xxx，易知0|x xPQyk，即2000011()()221xxtxxt，整理得200210 xtx，（法一）显然00 x，所以0012txx，令1()f xxx，1,0)(0,3x U，绝绝密密启启封封并并使使用用完完毕毕前前试试题题类类型型：A优享文档深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 2 页 共 16页如图，直线2yt和函数()yf x的图象有两个交点，又(1)0f，且8(3)3f，8023t，即403t，403mn，|mn的最大值为43，故应填43（法二）由题意可知013x，令2()21f xxtx，函数()f x在区间 1,3上有两个零点，则2(1)20(3)86013440ftfttt V，解得403t，403mn，|mn的最大值为43，故应填43三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，222+2abcS.（1）求cosC；（2）若cossinaBbAc，5a，求b.解：（1）2221=sin22SabCabcS，222sinabcabC，2 分在ABC中，由余弦定理得222sinsincos222abcabCCCabab，sin=2cosCC，4 分又22sin+cos C=1C，255cos C=1cosC=5，由于(0,)C，则sin0C，那么cosC0，所以5cosC=5.6 分（2）（法一）在ABC中，由正弦定理得sincossinsinsinABBAC，7 分sinsin()sin()sincoscossinCABABABAB，8 分sincossinsinsincoscossinABBAABAB，即sinsincossinBAAB，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 3 页 共 16页又,(0,)A B，sin0B，sin=cosAA，得4A.9 分sinsin()sin()BACAC，10 分2522 53 10sinsincoscossin252510BACAC，11 分在ABC中，由正弦定理得3 105sin103sin22aBbA.12 分（法二）cossinaBbAc，又coscosaBbAc，cossincoscosaBbAaBbA，8 分即sincosAA，又(0,)A，4A.9 分在ABC中，由正弦定理得2 55sin52 2sin22aCcA.10 分coscosbCAaC，252 25325c.12 分（法三）求A同法一或法二在ABC中，由正弦定理得2 55sin52 2sin22aCcA，10 分又由余弦定理2222coscababC，得2230bb，解得1b 或3b.所以3b.12 分（余弦定理2222 cosabcbA，得2430bb，解得1b 或3b.因为当1b 时，222+-20abc，不满足cosC0(不满足222+22abcS )，故舍去，所以3b）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 4 页 共 16页EGMDN1D1C1B1ACBAGEMDN1D1C1B1ACBAMDN1D1C1B1ACBA（第 18 题图）18（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱1CC，1A A上，且12C MMC，12A NNA.（1）求证：1/NC平面BMD；（2）若1322AAABAD，3DAB，求二面角NBDM的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC交BD于点G，连接MG设1C M的中点为E，连接AE2 分,G M是在ACE边,CA CE的中点，/MG AE，3 分又12C MMC，12A NNA，11/AACC，四边形1ANC E是平行四边形，故1/NC AE，1/NC GM，4 分GM 平面BMD，1/NC平面BMD.5 分（法二）如图，设E是1BB上一点，且12BEBE，连接1EC.设G是BE的中点，连接GM.1 分11/BEMCBE MC，四边形1BECM是平行四边形，故1/EC BM，2 分又BM 平面BMD，1/EC平面BMD，3 分同理可证/NE AG，/AG DM，故/NE DM，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 5 页 共 16页MDN1D1C1B1ACBA/NE平面BMD，4 分又1ECNE，平面1NEC，且1NEC EE，平面1/NEC平面BMD，又1NC 平面1NEC，所以1/NC平面BMD.5 分（2）（法一）设二面角NBDM为，二面角NBDA为，根据对称性，二面角MBDC的大小与二面角NBDA大小相等，故2，sinsin(2)sin2.下面只需求二面角MBDC的大小即可.7 分由余弦定理得2222cos3BDADABAD ABDAB，故222ABADBD，ADBD.8 分四棱柱1111ABCDABC D为直棱柱，1DD 底面ABCD，1DDBD，9 分又1,AD D D 平面11ADD A，1ADD DD，BD平面11BDD B，10 分ND平面11ADD A，NDBD，所以二面角NBDA的大小为NDA，即NDA，在RtNAD中，12sin22ANND，11 分4，2，二面角NBDM的正弦值为1.12 分（法二）由余弦定理得2222cos3BDADABAD ABDAB，故222ABADBD，ADBD.6 分以D为坐标原点O，以1,DA DC DD分别为,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系.深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 6 页 共 16页zyxMDN1D1C1B1ACBA依题意有(0,0,0)D，(0,3,0)B，(1,3,1)M，(1,3,1)N，(0,3,0)DB ，(1,3,1)DM ，(1,3,1)DN，7 分设平面MBD的一个法向量为(,)nx y z，00n DBn DM ，3030yxyz，令1x，则1z，0y，(1,0,1)n，9 分同理可得平面NBD的一个法向量为(1,0,1)m，10 分所以0cos,0|22m nm nmn ，11 分所以二面角NBDM的大小为2，正弦值为1.12 分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19（本小题满分 12 分）已知以F为焦点的抛物线2:2(0)C ypx p过点(1,2)P，直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且OMOPOFuuuruu u ruuu r.（1）当=3时，求点M的坐标；（2）当12OA OBuur uuu r时，求直线l的方程.解：（1）因为(1,2)P在22ypx上，代入方程可得2p，所以C的方程为24yx，焦点为(1,0)F，2 分设00(,)M xy，当=3时，由3OMOPOFuuuruu u ruuu r，可得(2,2)M，4 分（2）（法一）设11(,)A x y，22(,)B xy，00(,)M x y，由OMOPOFuuuruu u ruuu r，可得00(1,2)(,0)xy，所以0=2y，所以l的斜率存在且斜率121212042=1yykxxyyy，7 分可设l方程为yxb，联立24yxbyx得22(24)0 xbxb，2244=16 160bbb（2），可得1b，9 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 7 页 共 16页则1242xxb，212x xb，2121212()4y yx xb xxbb，所以21212=412OA OBx xy ybbuur uuu r，11 分解得6b ，或2b（舍去），所以直线l的方程为6yx.12 分（法二）设l的方程为xmyn，11(,)A x y，22(,)B xy，00(,)M x y，联立24xmynyx得2440ymyn，216160mn，6 分则124yym，124y yn，21212()242xxm yynmn，所以2(2,2)Mmnm，7 分由OMOPOFuuuruu u ruuu r，得2(21,22)(,0)mnm，所以1m，8 分所以l的方程为xyn，由16160n 可得，1n，9 分由124y yn 得221212()16y yx xn，所以21212=412OA OBx xy ynnuur uuu r，11 分解得6n，或2n （舍去），所以直线l的方程为6yx.12 分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20（本小题满分 12 分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）2,04,2(6,4(8,6(10,8(12,10(14,12(人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 8 页 共 16页潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：)(02kKP0.050.0250.0100k3.8415.0246.635)()()()(22dbcadcbabcadnK，其中dcban.解：（1）5.45131511130925073105205385110001）（x天.2 分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）653510050 岁以下5545100总计12080200则212510001080120200)35554565(22K2.083，5 分经查表，得3.8412.0832K，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.6 分（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为521000400，7 分设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为X，则)52,02(BX,kkkCkXP02025352)(，0k，1，2，20，8 分由)1()()1()(kXPkXPkXPkXP得kkkkkkkkkkkkCCCC121102020291110202025352535253525352，10 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 9 页 共 16页化简得kkkk3)12(2)02(2)1(3，解得542537 k,又Nk,所以8k,即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人.12 分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21（本小题满分 12 分）已知函数()eln(1)xf xax.（其中常数e=2.718 28，是自然对数的底数）（1）若aR，求函数()f x的极值点个数；（2）若函数()f x在区间(1,1+e)a上不单调，证明：111aaa.解：（1）易知(1)e()1xxafxx，1x，1 分若0a，则()0f x，函数()f x在(1,)上单调递增，函数()f x无极值点，即函数()f x的极值点个数为0；2 分若0a，（法一）考虑函数(1)e(1)xyxa x，Q1(1)e0ayaaaaa，(1)0ya，函数(1)e(1)xyxa x有零点0 x，且011xa，Qe0 xyx，函数(1)e(1)xyxa x为单调递增函数，函数(1)e(1)xyxa x有唯一零点0 x，(1)e()1xxafxx亦存在唯一零点0 x，4 分当0(1,)xx时，易知()0fx，即函数()f x在0(1,)x上单调递减，当0(,)xx时，易知()0fx，即函数()f x在0(,)x 上单调递增，函数()f x有极小值点0 x，即函数()f x的极值点个数为1，5 分综上所述，当0a时，函数()f x的极值点个数为0；当0a时，函数()f x的极值点个数为1.（法二）易知函数exy 的图象与1ayx(0)a 的图象有唯一交点00(,)M x y，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 10 页 共 16页00e1xax，且01x，3 分当0(1,)xx时，易知()0fx，即函数()f x在0(1,)x上单调递减，当0(,)xx时，易知()0fx，即函数()f x在0(,)x 上单调递增，函数()f x有极小值点0 x，即函数()f x的极值点个数为1，4 分综上所述，当0a时，函数()f x的极值点个数为0；当0a时，函数()f x的极值点个数为1.（注：第（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过分，即总分不得超过 4 分）分）（法三）对于0a，必存在*nN，使得2lnana，即2lnnaa，Qe1na，1e2lneee0nananaaaaa，1 eee(1e)0enanananaaf，又11e(1)=e10aaaafaa，函数(1)e()1xxafxx有零点，不妨设其为0 x，显然()e(1)1xafxxx为递增函数，0 x为函数()fx的唯一零点，4 分当0(1,)xx时，易知()0fx，即函数()f x在0(1,)x上单调递减，当0(,)xx时，易知()0fx，即函数()f x在0(,)x 上单调递增，函数()f x有极小值点0 x，即函数()f x的极值点个数为1，5 分综上所述，当0a时，函数()f x的极值点个数为0；当0a时，函数()f x的极值点个数为1.（2）Q函数()f x在区间(1,1+e)a上不单调，存在0(1,1+e)ax为函数()f x的极值点，6 分由（1）可知0a，且1+eee(1+e)0eaaaaaf，即1+eeaaa，两边取对数得1+elnaaa，即1+elnaaa，7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页 共 16页（法一）欲证111aaa，不妨考虑证111+eln1aaaa，先证明一个熟知的不等式：e1xx，令g()e1xxx，则g()e1xx，g(0)0，不难知道函数g()x的极小值（即最小值）为g(0)0，e10 xx，即e1xx，8 分（思路 1：放缩思想）11e=e1aaa，即1e1aa，9 分又111eaa，11eaa，11lnaa，即11 lnaa，11 分111+eln1aaaa，111aaa.12 分（思路 2：构造函数）令1()ln1aaa，则22111()aaaaa，不难知道，函数()a有最小值(1)0，()0a，10 分当0a 时，1e1e01(1)eaaaaaa，11 分11ln1e01aaaa，即111+eln1aaaa，111aaa.12 分（法二）令()1+elnxF xxx，则1()e10 xF xx ，函数()F x为单调递减函数，显然(2)2ln220F，且()0F a，02a，若01a，则1111aaaa，即111aaa成立；8 分若12a，只需证111+eln1aaaa，不难证明1114173aaa，只需证明141+eln73aaa，9 分令14()eln173aG aaa，12a，则22198198()e(73)(73)aG aaaaa，当12a时，22219849569(73)(73)aaaaaa，显然函数249569yaa在1,2上单调递增，且(1)20y，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页()0G a，即函数()G a为单调递增函数，10 分当12a时，212e5()(1)05e5eG aG，即()0G a，11 分141+eln73aaa，即111aaa，综上所述，必有111aaa成立.12 分（法三）同（法二）得02a，若01a，则1111aaaa，即111aaa成立；8 分若12a，只需证111+eln1aaaa，令11()eln11aG aaaa，12a，则222111()ee(1)(1)aaaG aaaa，下证当12a时，21e0(1)aa，即证2e(1)aa，即证2e1aa，9 分令2()e1aH aa，12a，则21()e12aH a，当2ln2a 时，()0H a，不难知道，函数()H a在1,2ln2)上单调递减，在(2ln2,2上单调递增，函数()H a的最大值为(1)H，或(2)H中的较大值，显然(1)e20H，且(2)e30H，函数()H a的最大值小于0，即()0H a，亦即2e1aa，10 分21e0(1)aa，即()0G a，函数11()eln11aG aaaa，12a单调递增，易知11(1)02eG，()0G a，即111+eln1aaaa，11 分当12a时，有111aaa成立，综上所述，111aaa.12 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为,sin,cos32tytx（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin4（1）求2C的直角坐标方程；（2）直线1C与2C相交于FE,两个不同的点，点P的极坐标为(2 3,)，若PFPEEF2，求直线1C的普通方程解：（1）由题意得，2C的极坐标方程为sin4，所以sin42，1 分又sin,cosyx，2 分代入上式化简可得，0422yyx，3 分所以2C的直角坐标方程4)2(22 yx4 分（2）易得点P的直角坐标为)0,32(，将,sin,cos32tytx代入2C的直角坐标方程，可得012)sin4cos34(2tt，5 分22(4 3cos4sin)48=8sin()4803，解得3sin()32，或3sin()32，不难知道必为锐角，故3sin()32，所以2333，即03,6 分设这个方程的两个实数根分别为1t，2t，则sin4cos3421tt，1221tt，7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页所以1t与2t同号，由参数t的几何意义可得，12128 sin()3PEPFtttt，2212121 2()44 4sin()33EFttttt t，8 分所以224 4sin()38 sin()33，两边平方化简并解得sin()13，所以2 6k，kZ,因为03，所以6，9 分所以直线1C的参数方程为,21,2332tytx消去参数t，可得直线1C的普通方程为0323yx10 分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知,a b c为正数，且满足1.abc证明：（1）1119abc；（2）8.27acbcababc证明：（1）因为111111abcabcabc3bacacbabacbc 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页3222=9b ac ac ba ba cb c（当且仅当13abc时，等号成立）.5 分（2）（法一）因为,a b c为正数，且满足1abc，所以1cab，且10a，10b，10c，所以acbcababc()abab cab()1abababab（）(1)(1)()baab(1)(1)(1)abc3(1)(1)(1)8327abc，所以8.27acbcababc（当且仅当13abc时，等号成立）.10 分（法二）因为,a b c为正数，且满足1abc，所以1cab，且10a，10b，10c，1acbcababcabcacbcababc1111ab ac abca11abcbc111abc338327abc 所以8.27acbcababc深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 16 页 共 16页（当且仅当13abc时，等号成立）.10 分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察