练习册P37-40第1合集至第1合集期中交P37-40市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性n教学目的n理解齐次线性方程组基础解系概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解结构。掌握向量空间基概念与求法作业重点重点n基础解系及其求法、向量空间基练习册P3740第13题 至第19题，期期中交：中交：P37P374040难点难点n方程组解结构n讲授办法媒体与投影媒体与投影n讲授内容主线n齐次解基础解系概念基础解系求法举例非齐次通解求法向量空间封闭与生成性基与坐标向量内积与长度。内容概括内容概括n齐次方程组基础解系由n-r个无关解向量构成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成含有封闭线性运算向量空间。向量内积事实上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。班级：时间：年 月 日；星期 第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间1第1页第1页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间 本次课讲第四章第四节第五节，本次课讲第四章第四节第五节，方程组解结构与向量空间，方程组解结构与向量空间，下次课讲第五章第一二节，下次课讲第五章第一二节，下次上学时交作业下次上学时交作业P37P37P40P402第2页第2页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、齐次线性方程组解结构：二、齐次线性方程组解结构：1.复习齐次线性方程组解秩鉴定定理复习齐次线性方程组解秩鉴定定理2.解向量概念解向量概念设有齐次线性方程组（1）设）设A=x=则（则（1）式可写成向量方程）式可写成向量方程 Ax=0（2）称为方程组（称为方程组（1）解向量，）解向量，它也是向量方程（它也是向量方程（2）解）解.第十讲第十讲 向量组秩与方程组解结构向量组秩与方程组解结构3第3页第3页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组秩与方程组解结构向量组秩与方程组解结构2.解向量性质解向量性质性质性质1 1 若若 为为齐次方程组齐次方程组解解，则则 也是也是相应齐次方程组相应齐次方程组解解.证证性质性质2 2 若若 为为齐次方程组齐次方程组解解，k为实数，则为实数，则 k 也是也是相应齐次线性方程组相应齐次线性方程组解解.证：3.AX=0基础解系基础解系4第4页第4页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组秩与方程组解结构向量组秩与方程组解结构4.4.求求AXAX=0=0基础解系基础解系AXAX0 0通解：通解：事实上，上一章我们已经学会了用矩阵秩求线性方程组事实上，上一章我们已经学会了用矩阵秩求线性方程组通解办法：假定通解办法：假定AXAX=0,A=0,A秩为秩为R(A)=r,R(A)=r,求解环节下列求解环节下列5第5页第5页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性化化A 为行最简形矩阵为行最简形矩阵为为与与 A 相应方程组同解方程组为相应方程组同解方程组为令自由未知数令自由未知数则：第十讲第十讲 向量组秩与方程组解结构向量组秩与方程组解结构6第6页第6页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组秩与方程组解结构向量组秩与方程组解结构7第7页第7页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 巧得很，巧得很，AX=0AX=0通解正好是通解正好是n-rn-r个解向量线性组个解向量线性组合，假如这合，假如这n-rn-r个解向量就是解集最大无关组，个解向量就是解集最大无关组，我们就等于找到了我们就等于找到了AX=0AX=0基础解系。事实上，我们基础解系。事实上，我们有下列定理：有下列定理：（2 2）定理：设）定理：设n n元齐次方程组元齐次方程组AX=0AX=0系数矩阵秩系数矩阵秩R(A)=rR(A)=r,解集（解向量组）为解集（解向量组）为S S,则则R(S)=n-rR(S)=n-r第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间8第8页第8页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理：设定理：设n元齐次方程组元齐次方程组AX=0系数矩阵秩系数矩阵秩R(A)=r,解集解集（解向量组）为（解向量组）为S,则则R(S)=n-r证：证：第一步：和以前同样，将第一步：和以前同样，将系数矩阵化成行最简形：系数矩阵化成行最简形：第二步：仍然是写出与第二步：仍然是写出与 A A 相应齐次线性方程组同解方程组相应齐次线性方程组同解方程组第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间9第9页第9页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性代入同解方程组依次可得：代入同解方程组依次可得：第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间10第10页第10页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第四步：整理得出齐次线性方程组一组解向量第四步：整理得出齐次线性方程组一组解向量:第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间11第11页第11页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性该定理论证阐明了两点：该定理论证阐明了两点：第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间12第12页第12页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间13第13页第13页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.4.齐次线性方程组求解结论：齐次线性方程组求解结论：依据以上齐次线性方程组通解求解过程和定理及其推论，我依据以上齐次线性方程组通解求解过程和定理及其推论，我们能够得到下列结论：们能够得到下列结论：（4）由此还能够推断：齐次线性方程组基础解系不是）由此还能够推断：齐次线性方程组基础解系不是唯一唯一.齐次线性方程组通解形式也是不唯一齐次线性方程组通解形式也是不唯一.（3）齐次线性方程组）齐次线性方程组(1)任何任何 n-r 个线性无关解向量都个线性无关解向量都可作为它基础解系可作为它基础解系.（1）当）当 R(A)=n 时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(1)只有零解只有零解,无基础解系无基础解系;（2）当）当 R(A)n 时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(1)基础解系含有基础解系含有n r 个解向量个解向量.第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间14第14页第14页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间15第15页第15页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间16第16页第16页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间17第17页第17页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（二）非齐次线性方程组通解（二）非齐次线性方程组通解1.非齐次线性方程组解向量性质非齐次线性方程组解向量性质设有非齐次线性方程组（4）它也可写作向量方程它也可写作向量方程（5）性质性质3 3齐次线性方程组齐次线性方程组解解.（6）设设 及及 都是都是（5）解解，则则 为相应为相应第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间18第18页第18页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性证证因此 满足方程（6）.证证即 满足方程（5）.性质性质4 4 设设 是方程（是方程（5 5）解，）解，是方程（是方程（6 6）解，）解，仍是方程（仍是方程（5 5）解）解.则则称上式为非齐次方程组称上式为非齐次方程组AX=b通解通解第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间19第19页第19页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间20第20页第20页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间21第21页第21页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间22第22页第22页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、向量组概念拓展二、向量组概念拓展空间概念空间概念封闭：封闭：设设 V 是一个集合，是一个集合，若若 V,则则 V；V,则称则称 V 对于加法及数乘运算是对于加法及数乘运算是封闭封闭.定义定义1 1：设设 V 为为 n 维非空维非空 向量集合，向量集合，及乘数两种运算封闭，及乘数两种运算封闭，且集合且集合 V 对于加法对于加法则称集合则称集合 V 为为向量空间向量空间.1.向量空间定义向量空间定义定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 V1 及及 V2，若若V1 V2，就称就称 V1 是是 V2 子空间子空间.例例1:齐次线性方程组解集齐次线性方程组解集是一个向量空间是一个向量空间.(解空间解空间)第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间23第23页第23页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例2:非齐次线性方程组解集非齐次线性方程组解集,不是向量空间不是向量空间当当 解集解集 S 为空集时为空集时,不是向量空间不是向量空间;当当 解集解集 S 非空时非空时,也不是向量空间也不是向量空间.结论：等价向量组所生成向量空间相同。结论：等价向量组所生成向量空间相同。证：证：设 V1,则 可由 线性表示，例例3:设向量组 与向量组 等价，记试证试证第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间24第24页第24页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性又可由 线性表示，则 可由 线性表示，因此即若V1,则V2,因此 V1 V2；同理可证：若V2,则V1，因此 V2 V1.V1=V2.2.向量空间最大无关组向量空间最大无关组基概念基概念（1 1）基定义）基定义设设 V 为向量空间，假如为向量空间，假如 r 个向量个向量 V,满足满足（i）线性无关线性无关；（ii）V 中中 任任 一一 向量都由向量都由 线性表示，线性表示，那么，向量组那么，向量组 称为称为向量空间向量空间 V 一个基一个基,r 称为向量空间称为向量空间 V 维数维数，并称并称 V 为为 r 维向量空间维向量空间.尤其地：尤其地：假如向量空间假如向量空间 V 没有基没有基则则 V 维数为维数为0。0 维向量空间只含一个零向量 0.（2）结论）结论1：任何任何 n 个线性无关个线性无关 n 维向量都是向量空间维向量都是向量空间 Rn 一个基，由此可知一个基，由此可知 Rn 维数为维数为 n.第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间25第25页第25页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 分析：由于任意分析：由于任意n n1 1个个n n维向量线性相关，因此按照维向量线性相关，因此按照线性相关线性表示定理，任意一个无关向量以外线性相关线性表示定理，任意一个无关向量以外n n维向量维向量都能由这都能由这n n个线性无关个线性无关n n维向量线性表示。显然，维向量线性表示。显然，n n个无关个无关向量可本身表示，故以上结论成立。向量可本身表示，故以上结论成立。（4）向量由基线性表示系数）向量由基线性表示系数坐标坐标数组 称为向量 b 在基 中坐标坐标.（3）过渡矩阵概念：）过渡矩阵概念：第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间26第26页第26页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例4:设设验证验证 是是 R3 一个基，并求一个基，并求 在这个基中坐标在这个基中坐标.解解因 R(A)=3，故 为 R3 一个基，第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间27第27页第27页线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性且第十一讲：方程组解解构与向量空间第十一讲：方程组解解构与向量空间28第28页第28页