2014陕西高考数学文科.doc

2014高考（陕西文）
一、选择题：
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3．复数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．根据右边框图，对大于2的整数，输出的数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
开始
输入

输出
结束
是
否

5．将边长为的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A． B． C． D．
8．原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
9．某公司位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A．， B．， C．， D．，
10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）. 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
湖面
O
x（千米）
y（千米）
2

二、填空题：
11．抛物线的准线方程为________．
12．已知，，则= _______．
13．设，向量，，若，则_______．
14．已知，，若，，，则的表达式为_______．
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．(不等式选做题)设，且，则的最小值为 ．
B．（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则 ．
A
B
C
E
F

C．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 ．
三、解答题：
16．的内角所对的边分别为．
（1）若成等差数列，证明：；
（2）若成等比数列，且，求的值．
17．四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱，，，于点，，，．
（1）求四面体的体积；
（2）证明：四边形是矩形．
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
2
主视图
左视图
俯视图

18．在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且（）
（1）若，求；
（2）用表示，并求的最大值．
19．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）

车辆数（辆）

（1）若每辆车的投保金额均为元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
20．已知椭圆（）经过点，离心率为，左右焦点分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，与以，为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程．

21．设函数，．
（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意，恒成立，求的取值范围．

参考答案
一、选择题
1．D
解析：.
考点：（1）7.2.1一元二次不等式的解法；（2）1.1.3集合的基本运算．
难度：A
备注：高频考点
2．B
解析：.
考点：4.3.2三角函数的单调性与周期性．
难度：A
备注：高频考点
3．A
解析：.
考点：（1）11.2.1复数的概念；（2）11.2.2复数的代数运算．
难度：A
备注：高频考点
4．C
解析：由框图知识可知：是以为首项，为公比的等比数列 ；也可
以逐步写出归纳.
考点：（1）11.1.3程序框图的识别及应用；（2）6.3.1等比数列的基本量的计算．
难度：B
备注：高频考点
5．C
解析：由题意可知旋转体是底面半径为，高为的圆柱，所以侧面积为.
考点：9.2.1几何体的表面积．
难度：A
备注：高频考点
6．B
解析：记正方形的四个顶点分别为中心为，从这5个点中任取两共有共10种结果，两点间的距离小于边长分别为共4种结果，所以．
考点：10.5.2古典概型的概率问题．
难度：B
备注：高频考点
7．B
解析：由可知指数函数满足此关系，又要求函数单调递增，所以.
考点：（1）2.2.1函数单调性的判断；（2）2.7.1抽象函数的性质及应用．
难度：B
备注：高频考点
8．A
解析：由可得：所以递减，所以原命题成立，故逆否命题成立；由递减可知所以，故逆命题成立，由互为逆否命题的等价性知否命题成立.
考点：（1）1.2.1四种命题的关系及真假判断；（2）6.5.3数列与函数的综合应用．
难度：B
备注：高频考点、易错题
9．D
解析：不妨记员工工资增加后的平均工资为方差为由平均数及方差计算公式可知 ，

.
考点：10.2.3用样本的数字特征估计总体的数字特征．
难度：B
备注：高频考点、易误点
10．A
解析：由已知设所求三次函数为所以，由给出图像可知所求三次函数过点且在这两点处的切线分别为，所以有 即 解得
所以；
也可根据题意设 再根据求出
，.
考点：（1）3.1.3导数的几何意义；（2）2.1.7求函数的解析式；（3）13.2.10待定系数法；（4）13.1.1函数与方程思想．
难度：C
备注：高频考点、易错题
二. 填空题
11．
解析：由已知可知准线方程为.
考点：8.7.2抛物线的标准方程及几何形状．
难度：A
备注：高频考点
12．
解析：由可得，所以有.
考点：（1）2.4.1指数式与根式的计算问题；（2）2.5.1对数式的化简与求值．
难度：A
备注：高频考点、易错题
13．
解析：由得，
.
考点：（1）5.3.1平面向量的数量积运算；（2）4.2.1同角三角函数的基本关系式的应用；（3）4.5.3倍角、半角公式的应用．
难度：B
备注：高频考点、易错题
14．
解析：方法1：由已知可得：

可归纳
方法2：由可得， ，所以
.
考点：11.3.1归纳推理．
难度：C
备注：高频考点、易错题
15．
A．
解析：由柯西不等式有即，.
考点：12.3.4柯西不等式与排序不等式的简单应用．
难度：A
备注：高频考点
B．
解析：由圆内接四边形对角互补可知：,又
所以 .
考点：（1）12.1.7圆内接四边形性质的应用；（2）12.1.2相似三角形的判定．
难度：B
备注：高频考点
C．
解析：由将点直线化成直角坐标为，
由点到直线距离公式有.
考点：（1）12.2.1极坐标和直角坐标的互化；（2）8.2.3距离公式的应用．
难度：B
备注：高频考点
三、解答题：
16．（1）见解析；（2）.
解析：（1）因为成等差数列，所以，由正弦定理得
因为 ，所以；
（2）由成等比数列有，又，，
由余弦定理有.
考点：（1）6.2.3等差数列的性质及应用；（2）6.3.3等比数列的性质及应用；（3）4.6.3正、余弦定理的综合应用；（4）13.1.4化归与转化思想.
难度：B
备注：高频考点
17．（1）；（2）见解析.
解析：（1）由该四面体的三视图可知
所以平面,所以四面体的体积；
（2） 平面,平面平面,平面平面,
同理
四边形为平行四边形，又因为平面,
四边形为矩形．
考点：（1）9.2.3由三视图求几何体的表面积、体积；（2）9.5.1直线与平面垂直的判定与性质；（3）9.4.1直线与平面平行的判定与性质；（4）13.1.4化归与转化思想.
难度：B
备注：高频考点
18．（1）；（2）1.
解析：（1），，，
；
（2）， 两式相减，得，令，由图可知当直线过时， 所以的最大值为.

考点：（1）5.2.2向量坐标的基本运算；（2）5.3.2向量的夹角与向量的模；（3）7.4.2求线性目标函数的最值问题；（4）13.1.2数形结合思想.
难度：B
备注：高频考点
19．（1）；（2）.
解析：（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，
以频率估计概率得，由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为.
（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有辆，所以样本中新司机车主获赔的金额为4000元的频率为，以频率估计概率得
考点：（1）10.4.3互斥事件、对立事件的概率；（2）10.1.1简单随机抽样；（3）13.1.3分类与整合思想.
难度：B
备注：高频考点、易错题
20．（1）；（2）或.
解析：（1）由题设知，解得∴椭圆的方程为；
（2）由题设，以为直径的圆的方程为，
∴ 圆心的直线的距离，由得．（*）
∴ ．
设由，得，
由求根公式可得．
∴ ．
由得，解得，满足（*）．
∴ 直线的方程为或．
考点：（1）8.5.2椭圆的标准方程；（2）8.5.3椭圆的几何性质；（3）8.3.1求圆的方程；（4）8.2.3距离公式的应用；（5）8.6.4直线与双曲线的位置关系；（6）8.8.8圆锥曲线与圆结合问题；（7）13.1.1函数与方程思想；（8）13.1.4化归与转化思想.
难度：C
备注：高频考点、易错题
21．（1）2；（2）见解析；（3）.
解析：（1）由题设，当时，，则，
∴当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
∴时，取得极小值，
∴的极小值为；
（2）由题设（），
令 ，得（）．
设（），则，
当时，，在上单调递增，
当，，在上单调递减．
∴ 是的唯一极值点，且是极大值点，因此也是的最大值点，
∴ 的最大值为．
又，结合的图像（如图），可知

① 当时，函数无零点；
② 当时，函数有且只有一个零点；
③ 当时，函数有两个零点；
④ 当时，函数有且只有一个零点．
综上所述，当时，函数无零点；
当或，函数有且只有一个零点；
当时，函数有两个零点．
（3）对于任意的，恒成立，等价于恒成立．（*）
设（）， ∴ （*）等价于在上单调递减．
由在恒成立，得（）恒成立，
∴ （对，仅在时成立），∴ 的取值范围是．
考点：（1）3.1.2导数的运算；（2）3.2.2导数与函数单调性；（3）3.2.3导数与函数极值；（4）3.2.4导数与函数最值；（5）3.2.5导数与不等式；（6）3.2.6导数与函数零点、方程的根；（7）13.1.1函数与方程思想；（8）13.1.4化归与转化思想；（9）13.1.2数形结合思想；（10）13.1.3分类与整合思想.
难度：D
备注：高频考点、易错题