高中数学一元二次函数方程和不等式全部重要知识点.pdf

1 (每日一练每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式全部重要知识点高中数学一元二次函数方程和不等式全部重要知识点 单选题 1、已知命题“R，42+(2)+14 0”是假命题，则实数的取值范围为（）A(,0 4,+)B0,4 C4,+)D(0,4)答案：A 分析：先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.若“R，42+(2)+14 0”是真命题，即判别式=(2)2 4 4 14 0，解得：0 0”是假命题，则实数的取值范围为：(,0 4,+).故选：A.2、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：生产 1 单位试剂需要原料费 50 元；支付所有职工的工资总额由 7500 元的基本工资和每生产 1 单位试剂补贴 20 元组成；后续保养的费用是每单位(+600 30)元（试剂的总产量为单位，50 200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A60 单位 B70 单位 C80 单位 D90 单位 答案：D 2 分析：设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可 解：设每生产单位试剂的成本为，因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为50元，职工的工资总额为7500+20元，后续保养总费用为(+600 30)元，则=50+7500+20+230+600=+8100+40 2 8100+40=220，当且仅当=8100，即=90时取等号，满足50 200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为 90 单位 故选：D 3、已知=2，=7 3，=6 2，则，的大小关系为（）A B C D 答案：B 分析：通过作差法，=2+3 7，确定符号，排除 D 选项；通过作差法，=22 6，确定符号，排除 C 选项；通过作差法，=(7+2)(6+3)，确定符号，排除 A 选项；由 =2+3 7，且(2+3)2=5+26 7，故 ；由 =22 6且(22)2=8 6，故 ；=(7+2)(6+3)且(6+3)2=9+218 9+214=(7+2)2，故 .所以 ，3 故选：B.4、已知正实数,满足4+1+1=1，则+2的最小值为（）A6B8C10D12 答案：B 分析：令+2=+1 1，用+1分别乘4+1+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4+1+1=1，且,为正实数 所以+1=(+1)(4+1+1)=4+1+4(+1)+1 5+2+14(+1)+=9，当且仅当+1=4(+1)+即=+2时等号成立.所以+2+1 9,+2 8.故选：B.5、设，为正数，且+=2，则4+1+1+1的最小值为（）A134B94C74D95 答案：B 分析：将+=2拼凑为+14+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.+=2，(+1)+(+1)=4，即+14+14=1，4+1+1+1=(4+1+1+1)(+14+14)=+1+1+14(+1)+54 2+1+1+14(+1)+54=94，当且仅当+1+1=+14(+1)，且+=2时，即 =53，=13时等号成立.4 故选：B.6、已知函数=4+9+1(1)，当=时，取得最小值，则+=（）A3B2C3D8 答案：C 分析：通过题意可得+1 0，然后由基本不等式即可求得答案 解：因为 1，所以9+1 0,+1 0，所以=4+9+1=+1+9+1 5 2(+1)9+1 5=1,当且仅当+1=9+1即=2时，取等号，所以y的最小值为 1，所以=2,=1，所以+=3，故选：C 7、某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度 a 匀速跑，后半程以速度b 匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m s），若 ，则（）A甲先到达终点 B乙先到达终点 C甲乙同时到达终点 D无法确定谁先到达终点 答案：B 解析：设马拉松全程为x，得到甲用的时间为12(+)，乙用的时间为+2=2+，做差比较大小可得答案.设马拉松全程为x，所以甲用的时间为12(+)，乙用的时间为+2=2+，因为 ，5 所以12(+)2+=(+)+(+)42(+)=()2(+)0，所以12(+)2+，则乙先到达终点.故选：B.小提示：比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.8、下列不等式恒成立的是（）A2+2 2B2+2 2 C+2|D+2|答案：B 分析：由基本不等式，可判定A不正确；由2+2+2=(+)2 0，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；由基本不等式可知2+2 2，故A不正确；由2+2 2，可得2+2+2 0，即(+)2 0恒成立，故B正确；当=1,=1时，不等式不成立，故C不正确；当=0,=1时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.9、已知11 0，则下列结论正确的是（）A B+|D 2 答案：B 6 分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为11 0，所以 0，故 A 错误；因为 0，所以+0，所以+，故 B 正确；因为|不成立，故 C 错误；2=()，因为 0，即 2=()0，所以 2成立，故 D 错误.故选：B 10、当0 2时，(2 )的最大值为（）A0B1C2D4 答案：B 分析：利用基本不等式直接求解.0 0，又+(2 )=2 (2 )+(2)24=1，当且仅当=2 ，即=1时等号成立，所以(2 )的最大值为1 故选：B 填空题 11、若关于x的不等式2+(1)+4 0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是_.答案：(3,5)分析：根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式 0对一切实数x恒成立，=(1)2 16 0 4 1 4，解得：3 0的解集为(,1)(3,+)，若对任意 1,2,()2 4恒成立，则实数的取值范围为_.答案：(,2 2,+)分析：先根据不等式的解集求得=1,=3，得到()=2 2 3，再把对任意 1,2，()2 4恒成立，结合二次函数的性质，转化为2 4 0恒成立，即可求解.由函数()=2 2+，且不等式()0的解集为(,1)(3,+)，即1,3是方程2 2+=0两个实数根，可得1+3=21 3=，解得=1,=3，所以()=2 2 3，又由()=2 2 3=(1)2 4，且 1,2，当=1时，函数()取得最大值，最大值为()max=0，因为对任意 1,2,()2 4恒成立，即2 4 0恒成立，解得 2或 2，所以实数的取值范围为(,2 2,+).所以答案是：(,2 2,+).13、已知三个不等式：0，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成_个真命题 答案：3 分析：根据题意，结合不等式性质分别判断、作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得 0 0 0 ；0 ；0 0故可组成 3 个真命题 8 所以答案是：3.14、已知=2 1，=22 ，则 _（填“”或“”）答案：分析：作差判断正负即可比较.因为 =2 1 (22)=2+1=(12)234 0，所以 .所以答案是：0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为_.答案：(3,3)分析：由判别式小于 0 可得 由题意=2 4 2 38 0，3 0，2+1 0，再由+=15(+3 1)+25(2+1)+35，利用基本不等式，即可直接求出最小值.由已知得 0，0，则+3 1 1，2+1 1，因为(+3 1)(2+1)=1，所以+3 1 0，2+1 0，因此+=15(+3 1)+25(2+1)+35 2225(+3 1)(2+1)+35=3+225，当且仅当15(+3 1)=25(2+1)，即+3 1=22+1=22，即=25+210=15+3210 时，等号成立；9 所以+的最小值是3+225.所以答案是：3+225.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17、已知关于的不等式2+0(,)的解集为|3 4，则2+5+的取值范围为_ 答案：45,+)分析：由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把,用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论 由不等式解集知 0)取得最小值时的取值为_ 答案：12 分析：将函数化为()=4+1，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.0,()=4+1 24 1=4，当且仅当4=1 =12时取“=”.所以答案是：12.19、已知1 +4,2 4，则3+2的取值范围是_ 答案：(32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设+=,=，因此得：=+2,=2，1 4,2 4，3+2=3+2+2 2=52+2，因为1 4,2 4，所以5252 10,1 2 2，因此3252+2 12，所以32 3+2 0，所以0 16.所以宽的最大值为 16 米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得 =(2+6)(+4)=(2+6)(400+4)=824+8(+300)(824+1603)（平方米）当且仅当=103米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+1603)平方米.22、在 中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2cos=2 （1）求角A的值；（2）若=5，=5，求 的周长；（3）若2sin+2sin=+3，求 面积的最大值 答案：（1）=3;（2）20;（3）334.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cos=12，可求得角A的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出,，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）2cos=2 2sin cos=2sin sin,2sin cos=2 sin(+)sin=2(sin cos+cos sin)sin,cos=12,0 ,=3;（2）=()=2=5 cos3 52=52 25=5 =8，13 在 中利用余弦定理得：2=2+2 2 cos=52+82 2 5 8 12=49，=7，的周长为：5+8+7=20；（3）=sin=sin=32=233，sin=32，sin=32，2 32+2 32=+3，3(2+2 2)=3 cos=2 3 12=2 =3，3(2+2 3)=3 2+2=3+，3+2 3，等号成立当且仅当=，面积的最大值为(12sin)=334.小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.