高中数学一元二次函数方程和不等式基础知识题库.pdf

1 (每日一练每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式基础知识题库高中数学一元二次函数方程和不等式基础知识题库 单选题 1、若关于x的不等式2 6+11 ()min，从而可求出实数a的取值范围 设()=2 6+11，开口向上，对称轴为直线=3，所以要使不等式2 6+11 ()min即可，即 (3)=2，得 2，所以实数a的取值范围为(2,+)，故选：D 2、已知正实数a，b满足+1=2，则2+1的最小值是（）A52B3C92D22+1 答案：A 分析：由已知得，=2 1代入得2+1=2(2 1)+21，令2 1=，根据基本不等式可求得答案.解：因为+1=2，所以=2 10，所以0 2，所以2+1=2(2 1)+21=2(2 1)+21，2 令2 1=，则=+12，且1 0，下列不等式中正确的是（）AB 2 C +1 2D11 0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.解：对于选项 A，因为 0,0 1 0，所以 2，故 B 错误；对于选项 C，依题意 0，所以 0,1 0，所以 +1 2()1=2，故 C 正确；对于选项D，因为 0,1 1 1,11与11正负不确定，故大小不确定，故 D 错误；故选：C.4、若不等式2+1 0对于一切 (0,12恒成立，则的最小值是（）A0B2C52D3 答案：C 解析：采用分离参数将问题转化为“(+1)对一切 (0,12恒成立”，再利用基本不等式求解出+1的最小值，由此求解出的取值范围.3 因为不等式2+1 0对于一切 (0,12恒成立，所以 (+1)对一切 (0,12恒成立，所以 (+1)max(0,12)，又因为()=+1在(0,12上单调递减，所以()min=(12)=52，所以 52，所以的最小值为52，故选：C.小提示：本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.5、若非零实数，满足 ，则下列不等式成立的是（）A 2 C1212D2+2+答案：C 分析：举出符合条件的特例即可判断选项 A，B，D，对于 C，作出不等式两边的差即可判断作答.取=2,=1，满足 1，A 不成立；取=2,=1，满足 ，而+=12+(2)=52 2，B 不成立；因1212=22 0，即有1212，C 成立；取=2,=1，满足 2+，D 不成立 故选：C 6、已知集合=|4 2，=|2 6 0，则 =A|4 3B|4 2C|2 2D|2 3 4 答案：C 分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题 由题意得，=|4 2,=|2 3，则 =|2 2 故选 C 小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分 7、要使关于的方程2+(2 1)+2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数的取值范围是（）A|1 2 B|2 1 C|1 答案：B 分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.由题意可得1+(2 1)+2=2+2 0，解得2 0,0,+=1，则=1+3的最小值是（）A7B2+3C4D4+23 答案：D 分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.因为 0,0,+=1，所以=1+3=(+)(1+3)=4+3 4+23=4+23，当且仅当=3即=3时，等号成立.5 结合+=1可知，当=312,=332时，有最小值4+23.故选：D.9、已知实数,满足 0 ，则下列不等式中成立的是（）A+1 +1B2+2D3 0，所以1 +1，所以 A 错误，对于 B，因为 0，所以2+2=(2+)(+2)(+2)=22(+2)0，所以2+2，所以 B 正确，对于 C，当=2,=1,=1时，=13 3=1，所以 D 错误，故选：B 10、设实数满足 0，函数=2+3+4+1的最小值为（）A43 1B43+2C42+1D6 答案：A 解析：将函数变形为=3(+1)+4+1 1，再根据基本不等式求解即可得答案.解：由题意 0，所以+1 0，所以=2+3+4+1=2+3(+1)3+4+1 6 =3(+1)+4+1 1 23(+1)4+1 1=43 1，当且仅当3(+1)=4+1，即=233 1 0时等号成立，所以函数=2+3+4+1的最小值为43 1.故选：A 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 填空题 11、已知 0，那么当代数式2+4()取最小值时，点(,)的坐标为_ 答案：(2,1)分析：根据题意有()(+2)2，当且仅当=，即=2时取等号，所以2+4()2+16216，结合 0以及两个不等式等号成立的条件可求出,的值，从而可求得答案 解：由 0，得 0，所以()(+2)2=24，当且仅当=，即=2时取等号，所以2+4()2+162 16，其中第一个不等式等号成立的条件为=2，第二个不等式等号成立的条件为2=162，所以当2+4()取最小值时，2=162=2 0，解得=2=1 7 所以点(,)的坐标为(2,1)，所以答案是：(2,1)小提示：关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题 12、函数=3+11(1)的最小值是_ 答案：3+23 分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值.因为 1，则 1 0，所以=3(1)+11+3 23(1)11+3=23+3，当且仅当3(1)=11，因为 1，即当=3+33时，等号成立.所以函数=3+11(1)的最小值是23+3.所以答案是：3+23.13、已知a，bR，且 2 0，则2+1(2)的最小值是 _ 答案：2 分析：两次利用基本不等式即可得出结论.2 0，2+1(2)2+1(2+2)2=2+12 2，当且仅当a1b时取等号，其最小值是 2，所以答案是：2 14、已知,+均为大于 0 的实数,给出下列五个论断:,0,.以8 其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题_.答案：推出(答案不唯一还可以推出等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知,+均为大于 0 的实数,选择推出.，0，则+=+(+)=(+)=()(+)0，所以+.所以答案是：推出 小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.15、已知 0，0，且2+1=1，若+2 2+2恒成立，则实数的取值范围是_ 答案：(4,2)分析：由基本不等式求得+2的最小值，然后解相应的不等式可得的范围 0，0，且2+1=1，+2=(+2)(2+1)=4+4 4+24=8，当且仅当=4，即=4,=2时等号成立，+2的最小值为 8，由2+2 8解得4 2，实数的取值范围是(4,2)所以答案是：(4,2)9 小提示：方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得+2的最小值min，第二步是解不等式2+2 0)的解集为1,2，则1+2+312的最小值是_.答案：26 分析：由题知1+2=6,12=32，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于的不等式2+6 32 0(0)的解集为1,2，所以1,2是方程2+6 32=0(0)的实数根，所以1+2=6,12=32，因为 0，所以1+2+312=6+1 26，当且仅当6=1，即=66时等号成立，所以1+2+312的最小值是26 所以答案是：26 17、若关于x的不等式2+(1)+4 0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是_.答案：(3,5)分析：根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式 0对一切实数x恒成立，=(1)2 16 0 4 1 4，解得：3 0,0时,+=0,+1=0，=+,=1 ,可得：0,1 0，可得：0，=+2=21 ,化为2+4 4 0,解得：2 22；当 0,0,1 0，可得0 1.=2=21 ,化为2+4 4 0,解得：2+22 1；当=0时，不妨取c=0,由已知可得：=1,=1，此时a=1；当 1.综上可得：a的取值范围是 2+22或 2 22.所以答案是：2+22或 2 22 11 20、已知 0,2时，不等式2+(+1)+1 32 0恒成立，则x的取值范围为_ 答案：(2,1)分析：由题意构造函数关于a的函数()=(2+32)+1，则可得(0)0(2)0，从而可求出x的取值范围.由题意，因为当 0,2，不等式2+(+1)+1 32 0恒成立，可转化为关于a的函数()=(2+32)+1，则()0对任意 0,2恒成立，则满足(0)=+1 0(2)=22+2 3+1 0，解得2 1，即x的取值范围为(2,1)所以答案是：(2,1)解答题 21、设函数()=2 1（1）若对于一切实数，()0恒成立，求的取值范围；（2）解不等式()(1)2+2 2 1 答案：（1）(4,0；（2）答案见解析 分析：（1）分别在=0和 0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；（2）将不等式整理为()(2)0，分别在 2和=2三种情况下求得结果.（1）由()0知：2 1 0，当=0时，1 0，满足题意；12 当 0时，则 0=2+4 0，解得：4 0；综上所述：的取值范围为(4,0（2）由()(1)2+2 2 1得2 1 2+2 2+2+1 0，即2(+2)+2 0，即()(2)0；当 2时，解得：2时，解得2 ；当=2时，解集为 综上所述：当 2时，解集为(2,)；当=2时，解集为 22、解关于的不等式2+(-1)-10 答案：答案见解析 分析：解含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论、借助一元二次函数进行求解.因为2+(-1)-10，即(-1)(+1)0，当=0时，则-10，即-1；当0时，则-11；当0时，当-10时，则1或-1；当=-1时，则(+1)20，即R；当0时，不等式的解集为|-11；当-10时，不等式的解集为|1 或-1；当=-1时，不等式的解集为R；当-1时，不等式的解集为|1 或-1.13