初中数学函数图像与性质的教学研究.doc

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初中数学“函数图象与性质”的教学研究
孙晓佳 （清华附中、高级教师）
一、对函数图象与性质知识的深层次理解
(一）函数图象与性质的知识结构与框架图
初中数学中，函数专题包含四部分内容．具体如下:
（ 1 )函数的概念及图象：函数的概念，函数的表示方法,函数的定义域，函数的图象；
（ 2 )一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图象,一次函数的性质，直线与坐标轴的交点，一次函数与一次方程、不等式,实际问题与一次函数；
（ 3 ）反比例函数：反比例函数的解析式,反比例函数的图象，反比例函数的性质，实际问题与反比例函数；
（ 4 ）二次函数:二次函数的解析式，二次函数的图象，二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，二次函数与二次方程、不等式,实际问题与二次函数．
函数的图象与性质贯穿着这个专题的每个内容，是每种函数都要着重研究的对象，通过对函数的图象与性质的研究，可以让学生更好的理解函数的概念，更好的应用函数解决相关问题．

(二）函数图象与性质在中学数学中的地位与作用
1 ．函数是初高中的一个重要衔接点：函数知识是初中代数内容的重要组成部分，贯穿于整个初中数学体系之中．熟悉高中知识的老师应该知道，高中数学多数知识都是与函数有着紧密的联系．所以初中函数的学习为高中数学的学习奠定了重要的基础．
2 ．函数与其他知识的关联：函数在初中代数中具有统领的地位，与方程、不等式联系紧密，相互结合才真正让代数内容上升到一定高度，真正体现了函数的强大作用,可以解决更多的代数问题，这一点在高中代数中体现的更加明显．另外，函数在动态几何中有广泛的用处，可以对图形进行一些定量的分析，这一点在初中数学的学习中很重要．
3 ．函数的学习引领着思维方式的转变：函数是在一个变化过程中两个变量的一种特殊对应关系．函数的学习实际上是定量知识到变量知识的一个飞跃，同时使学生学会了用运动变化和联系对应的观点看问题．函数与方程是一种重要的数学思想方法，同时还渗透着数形结合等数学思想．
4 ．函数在实际生活中的应用:函数来源于生活，并用于生活．它与生活实际联系密切，是实际生活中数学建模的重要工具之一．在中学阶段，我们碰到的函数应用问题以一些理想化的或简化的问题为主,但这是基础．对于学生来说，也许在将来才能真正体会到函数应用对于研究和生活生产的强大作用．
(三)函数图象与性质的教学内容的重点和难点 。
函数图象与性质专题包含以下内容：函数的概念及图象,一次函数，反比例函
数和二次函数的图象与性质．具体的教学重难点如下:
教学重点 ：
1 ．函数的概念及图象；
2 ．一次函数的图象与性质，直线与坐标轴的交点,一次函数的单调性;
3 ．反比例函数的图象，反比例函数的单调性，图象的对称性;
4 ．二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点,抛物线的对称性，单调性，最大值与最小值．
教学难点：
1 ．函数解析式中的参数与图象变换之间的关系；
2 ．用函数图象解决方程、不等式的问题；
3 ．函数的单调性及在求最大(小）值、比较大小中的应用；
4 ．与函数图象有关的面积问题；
5 ．实际问题的函数关系及函数图象．
二、函数图象与性质的教学策略
（一）怎样进行函数图象与性质教学引入的设计
让学生掌握正比例函数与一次函数解析式的特点及意义，知道一次函数与正比例函数关系，会用简单方法画一次函数图象,理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．
例1 ,画出函数 y =-6 x 与 y = —6 x +5 的图象．并比较两个函数图象，探究他们的联系及解释原因．

列表 —— 描点 -— 连线．
引导学生从图象形状，倾斜程度及与 y 轴交点坐标上比较两个图象,从而认识两个图象的平移关系,进而了解解析式中 k 、 b 在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．
比较两个函数的图象的相同点与不同点．
结论：一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线,我们称它为直线 y = kx + b ，它可以看作由直线 y = kx 平移 b 绝对值个单位长度而得到（当 b ＞ 0 时,向上平移；当 b ＜ 0 时，向下平移）．
通过活动,可以让学生加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律．
例2 ,画出函数 y = x +1 、 y =— x +1 、 y =2 x +1 、 y =-2 x +1 的图象．由它们联想：一次函数解析式 y = kx + b （ k 、 b 是常数， k ≠0 )中， k 的正负对函数图象有什么影响?

通过活动，熟悉一次函数图象画法．经历观察发现图象的规律，并根据它归纳总结出关于数值大小的性质．体会数形结合的探究方法在数学中的重要性，进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系．
引导学生从函数图象特征入手，寻求变量数值变化规律与解析式中 k 值的联系．
发现性质:
形的角度:当 k 〉0 时,直线 y = kx + b 由左至右上升;当 k <0 时，直线 y = kx + b 由左至右下降．
数的角度:当 k >0 时， y 随 x 增大而增大；当 k 〈0 时， y 随 x 增大而减小．
2 ．反比例函数的图象与性质
让学生会画反比例函数的图象,并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别,能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．通过画图象,进一步培养“描点法”画图的能力和方法,并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．
例 1 ． 我们已知道，一次函数 y = kx + b （ k ≠0 ）的图象是一条直线,那么反比例函数 y = （ k 为常数且 k ≠0 ）的图象是什么样呢？
要求学生用描点法来画出反比例函数的图象．
画出反比例函数 y = 和 y =- 的图象．
解:列表
x
…
-6
—5
-4
—3
—2
—1
1
2
3
4
5
6
…
y=

-1

-1.5
—2

—6

3

1

y=-

1
1。2

3
6

-1。5

（请把表中空白处填好)
描点，以表中各对应值为坐标,在直角坐标系中描出各点．
连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．

探究:反比例函数 y = 和 y =— 的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？若把y = 和 y =— 的图象放到同一坐标系中,观察一下,看它们是否对称．
发现性质：反比例函数 y = 和 y =— 的图象的共同特征：
( 1 ）它们都由两条曲线组成；
（ 2 )随着 x 的不断增大(或减小)，曲线越来越接近坐标轴( x 轴、 y 轴）；
（ 3 )反比例函数的图象属于双曲线．
此外， y = 的图象和 y =- 的图象关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称．
( 4 ） y = 的图象和 y = - 的图象关于 原点 对称,也关于直线 y = x，y = — x 对称．

例3,在平面直角坐标系中画出反比例函数 y = 和 y =— 的图象．

解析： 由 y = 和 y =— 的图象及 y = 和 y =— 的图象知道，
（ 1 )它们有什么共同特征和不同点？
（ 2 ）每个函数的图象分别位于哪几个象限?
( 3 ）在每一个象限内， y 随 x 的变化而如何变化?
猜想:反比例函数 y = （ k ≠0 )的图象在哪些象限由什么因素决定？ 在每一个象限内， y 随 x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？
发现性质:（ 1 ）反比例函数 y = （ k 为常数， k ≠0 )的图象是双曲线．
（ 2 )当 k >0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内， y 值随 x 值的增大而减小．
（ 3 ）当 k <0 时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内， y 值随 x 值的增大而增大．
3 ．二次函数的图象与性质
二次函数图象是二次函数的重点内容,它的的图象是性质的直观体现，函数图象是函数的直观表示，图象法也是表示函数的基本方法．函数图象对于了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质,掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的,因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，要使学生画二次函数图象，学会观察函数图象,借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题．
函数图象的特征是函数性质的几何体现,教科书通过变换的观点，强调变与不变的辨证关系，重点是同一坐标系中具有相同二次项系数的二次函数图象间的位置
关系的变换规律．利用配方法研究二次函数解析式与二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标之间的关系，使学生认识二次函数的本质．

活动 1 ：用描点法画出二次函数 y=x 2 和 y = - x 2 的图象
（1) 填空：
抛物线
y = x 2
y = - x 2
顶点坐标

对称轴

位 置

开口方向

(2) 在同一坐标系内,抛物线 y = x 2 和抛物线 y = - x 2 的位置有什么关系?如果在同一个坐标系内画二次函数 y = ax 2 （ a >0） 和 y = — ax 2 （ a 〉0） 的图象怎样画更简便?
抛物线 y = x 2与抛物线 y = - x 2关于 x 轴对称，只要画出 y = ax 2 ( a >0) 和 y = — ax 2 ( a 〉0） 中的一条抛物线，另一条可利用关于 x 轴对称来画．

从而探究二次函数 y = ax 2 ( a ≠ 0 ）的图象性质：
二次函数的 y = ax 2 图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，这条抛物线关于 y 轴对称, y 轴就是抛物线的对称轴．对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点．注意：顶点不是与 y 轴的交点．
当 a >0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图象在 x 轴的上方 （ 除顶点外 ） ；当 a 〈0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图象在 x 轴的下方 （ 除顶点外 ） ．
活动 2 ：画出函数 , 的图象

通过上述图象探究二次函数 y =ax 2 和 y = a （ x+m ) 2 图象之间的关系．
总结 二次函数 y = a ( x+m ） 2 的图象和性质 .
y = ax 2 （ a ≠ 0 ）的图象向左或向右平移 ｜ m ｜ 个单位可得到函数 y = a （ x+m ） 2 的图象，顶点坐标是（ - m ,0 ） ， 对称轴是直线 x =- m ．
活动 3 ：画出二次函数 ， 的图象．

探究二次函数 和 图象之间的关系．
（ ）的图象向左或向右平移 | m ｜ 个单位可得到函数 的图象，再向上或向下平移 |k ｜ 个单位得到 的图象．
的图象的对称轴是直线 x =- m ，顶点坐标是（ - m ， k ）．
（ m 左加右减 k 上加下减）

活动 4 ：探索二次函数 的图象特征．
=

由此可见函数 的图象与函数 的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到．
二次函数 的图象特征：
（ 1 ）二次函数 （ a ≠0） 的图象是一条抛物线；
（ 2 ）对称轴是直线 x = ，顶点坐标是为（ ， ）；
（ 3 ）当 a >0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
当 a 〈0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点．
（二）怎样进行函数图象与性质 概念的教学
函数是两个变量之间的一种对应关系：对于每一个 x ，都有唯一的 y 与它对应．函数的图象体现的是数形结合的数学思想，体现了点与数的一一对应．图象是从形的角度来说的，而性质是从数的角度来说．通过图象能直观的反映两个变量之间的关系，通过图象也能够直观的发现函数的性质，比如单调性、最大值最小值、对称性等．通过函数的性质也能够画出函数的大致图象，给人以更加直观的印象．
1 ．认识函数的图象，会通过函数的概念判断函数的图象
要让学生学会认识图象，理解函数的概念， 理解函数图象的意义，会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图象,初步认识函数与图象的对应关系，学会观察图象、识别图象及理解图象所表示的含义，了解图象的意义及其与实际问题之间的关系和区别． 学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象． 渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活，又应用于生活．
一 般地，对于一个函数，如果把自变量与函数值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
例 1 ． 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水,有去玉米地锄草，然后回家 . 其中 x 表示时间， y 表示小名离家的距离 。

根据图象回答问题：
（ 1 ）菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间？
( 2 ）小明给菜地浇水用了多少时间?菜地离玉米地多远?
（ 3 ）小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（ 4 ）小明给玉米锄草用了多少时间?玉米地离小名家多远？
（ 5 ）小明从玉米地走回家的平均速度是多少?
本例给出了路程与时间的函数图象，教学中注意引导学生学会从图象中获取基本信息，进一步理解函数图象的概念及作用．
例 2 ．下面图象分别给出了变量 x 与 y 之间的对应关系,哪个图象反映的是 y 与 x 的函数关系．

函数是一种特殊的对应关系，要求的是自变量的任意性，因变量的存在性和唯一性．教师在讲解本例时要强调函数概念中特殊的对应关系：对于每一个 x ,都有唯一的 y 与它对应．
2 ．函数的图象和性质有何联系？
前面我们研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，让我们共同回顾一下函数的图象与性质有何联系 ?
函数的图象和性质是从 “ 形 ” 和 “ 数 ” 两个不同的角度来研究函数变化规律的．研究函数的性质常借助于图象,而函数的图象则是函数性质的直观体现．因此，二者总是密不可分的．主要体现在以下几个方面：
( 1 ）自变量、函数值与图象上点的坐标间的关系．
在函数自变量取值范围内任取一个值 x ，根据函数的定义，有惟一确定的 y 值与之对应,可以描出函数图象上一个点（ x ， y ）;反过来,在函数图象上任取一点（ x ， y )，那么横坐标 x 是函数自变量范围内的一个值， y 是对应的函数值．因此，我们不仅能根据自变量与函数值的对应关系，画出函数的图象，而且还能利用函数图象上点的坐标，求出相应的自变量与函数值．
函数图象上所有点的横坐标的全体就是函数自变量的取值范围,所有点的纵坐标的全体就是函数值的全体．
（ 2 ）自变量、函数值的变化范围与函数图象的位置关系．
自变量、函数值的变化范围直接影响着函数图象在坐标平面中的位置．
当自变量 x 〉0 ,函数值 y >0 时，则图象在第一象限；若图象经过第三象限，则说明此时自变量与函数值均取负值．如果图象或它的一部分在 x 轴的上方，表示此时的函数值为正；如果图象或它的一部分在 x 轴的下方，表示此时的函数值为负．图象与 x 轴交点的横坐标,表示当自变量等于这个值时,函数值为 0 ;图象与 y 轴交点的纵坐标，表示当自变量等于 0 时对应的函数值．图象经过原点，表示自变量等于 0 时，函数值也等于 0 ．
（ 3 ）函数的增减性与函数图象的升降关系．
如果函数值 y 在某一变化范围内,随着 x 的增大而增大，表示函数的图象在这个变化范围内自左向右是上升的；如果函数值 y 在某一变化范围内,随着自变量 x 的增大而减小，表示函数的图象在这个变化范围内自左向右是下降的．
函数的增减性是一个局部概念，可以在自变量的整个取值范围内考虑，也可以在自变量某一个较小的变化范围内考虑．反映在图象上，可以观察整个图象的升降情况，也可以观察某一段图象的升降情况．只要函数的某段图象是上升的，就说明函数在这一段图象所对应的自变量变化范围内， y 随 x 的增大而增大;只要函数的某段图象是下降的,就说明函数在这段图象所对应的自变量变化范围内， y 随 x 的增大而减小．
（ 4 )函数的最大值、最小值与函数图象上最高点、最低点间的关系．
如果函数图象有最高点，那么最高点的纵坐标就是这个函数的最大值，最高点的横坐标就是函数达到最大值时的自变量的值．
如果函数图象有最低点，那么最低点的纵坐标就是这个函数的最小值，最低点的横坐标就是函数达到最小值时的自变量的值．
如果函数图象无最高点也无最低点，那么这个函数就既没有最大值也没有最小值．
如抛物线 上的最低点是（ 1 , 3 )，则函数 当 x ＝ 1 时达到最小值 3 ．
抛物线 上的最高点是 则函数 时达到最大值
直线 y =2 x -1 的图象既无最高点又无最低点,所以函数 y =2 x —1 既无最大值也无最小值．
要注意，函数是否有最大值和最小值，是在自变量的整个取值范围内考虑的．最值问题是一个整体概念，要观察整个图象是否存在最高点和最低点．
例 右图所示的是某个函数的图象．根据图象分析函数的单调性及最大值最小值 ．

教师在讲解时要引导学生去观察图象变化趋势,从而得出结论：函数不存在最大值，也不存在最小值．这是因为函数的图象在第一象限向上方无限延伸，在第三象限向下方无限延伸，无最高点也无最低点．有的同学可能认为点（ 1 ， 1 ）是图象的最高点,点（ 3 ,－ 1 ）是图象的最低点，这是错误的．
但是,函数的增减性是存在的．因为函数的增减性不必在自变量的整个变化范围内考虑．由图象知：当 x ≤1 或者 x ≥3 时，图象是上升的．说明函数分别在这两个范围内， y 随 x 的增大而增大;当 1≤ x ≤3 时，图象是下降的,说明函数在这个范围内， y 随 x 的增大而减小．
有关函数的图象和性质，在初中阶段只是做一初步了解，更高层次的讨论，有待于在高中阶段进行．
（三）怎样突破函数图象与性质教学中的难点
1 ．函数图象的变换与解析式变化之间的关系：
随着函数解析式的形式或其中系数的变化，函数的图象随之会发生变化．例如一次函数中的 k , b ，反比例函数中的 k ，二次函数中的 a , b ， c 等．
例 1 ．若反比例函数 ，当 x >0 ， y 随 x 的增大而增大，则一次函数 y = kx － k 的图象经过第几象限（ ）
A 、一、二、三
B 、一、二、四
C 、一、三、四
D 、二、三、四
讲解本题时，要引导学生入手点，需要抓住什么量去思考？根据题的条件可知要判断 y = kx — k 的位置，需知道 k 的符号，由已知 , 当 x >0 时, y 随 x 的增大而增大，所以 k 〈0 ．这里要讲解清楚反比例函数的增减性要注意分象限考虑的 .
∴ 一次函数 y = kx — k 的图象过一、二、四，故选 B ．
例 2 ．在图中，函数 y = － ax 2 与 y = ax + b 的图象可能是 ( ）

这是非常典型的问题，教师可以引导学生思考两个函数的联系，让学生思考在同一坐标系中两个图象的关系,通过系数 a 来联系两个函数．通过本例，可以让学生更加理解一次函数和二次函数解析式中参数的作用．
例 3 ．如下图，在同一直角坐标系中,正比例函数 y = （ m － 1 ） x 与反比例函数 的图象的大体位置不可能是（ )

要判断直线和双曲线的位置关系,借助于它们的字母系数的符号，如何对字母系数进行讨论给予学生方法上的指导，本题要对字母系数 m —1 与 4 m 的符号进行讨论，进而选择合理答案,而本题选择了排除法解决,这也是解决选择题常用的方法 。
因不确定其符号,所以分两种情况进行讨论，当 m —1〉0 时, 4 m 〉0 ，故 A 对, D 不对；当 m —1<0 又有两种情况： 0< m <1 或 m 〈0 ,而前者又 4 m 〉0 ，故 B 对,后者又 4 m 〈0 ，故 C 对．
2 ．函数的变化趋势（单调性）
函数的变化趋势，即单调性,只是在初中我们没有提及单调性的概念．函数的变化趋势在求最大（小）值，比较函数值的大小，判断函数图象等方面起着关键的作用．
例 1 ．如下图是反比例函数 的图象的一支,根据图象回答下列问题:

( 1 ）图象的另一支在哪个象限?常数 m 的取值范围是什么
（ 2 ）如图的图象上任取点 A （ a ， b ）和点 B （ a ′ ， b ′ )，如果 a 〉 a ′ ，那么 b 和 b ′ 有怎样的大小关系？
问题（ 1 ）需要教师交代清反比例函数的图象的分布只有两种可能,分布在第一、三象限,或者分布在第二、四象限 . 由条件知这个函数的图象的一支在第一象限,则另一支必在第三象限．因此这个函数的图象分布在第一、三象限，可以引导学生利用所学过的不等式的知识可以求出 m 的取值范围，即 m － 5>0 ,解得 m >5 ．
问题（ 2 ）的讲解，要交给学生由图看数的方法，即由函数的图象可知,在双曲线的一支上, y 随 x 的增大而减小．所以当 a 〉 a ′ 时， b 〈 b ′ ．
例 2 ．设 0 ＜ k ＜ 1 ，且 k 为常数,自变量为 x 的一次函数 ,当 1 ≤ x ≤ 2 时的最大值是 k ．
教师在教学中注意给学生分析清楚，此题不要盲目的把 x =2 代进去求值．
因为最大值与最小值在何时取得，与函数的单调性息息相关．而一次函数的单调性与 x 的一次项系数有关，所以解决本题的关键是先整理一次函数的解析式，得到一次项系数,并判断其正负，确定单调性,就可以知道最大值在哪里取得．让学生理解两者的关系，
例 3 ．若点 是二次函数 的图象上的三点，则 的大小关系是 .
同例 2 教师在教学中注意给学生分析清楚,此题不要盲目的把 x 代进去求值．
因为二次函数的函数值的比较大小,可以通过对称性把自变量放在对称轴的同一侧，再使用增减性进行比较；也可以根据点到对称轴的距离来确定，开口向下，离对称轴越远，则函数值越小，结合图象让学生理解．
(四）怎样分析函数图象与性质同相关知识的联系及解题策略
1 ．结合函数图象求多边形的面积
求与函数图象有关的多边形的面积是常见的问题，关键是如何确定三角形的底或高，如何把不规则的多边形分割成一些面积比较好求的三角形或四边形．尤其是反比例函数图象中的三角形和矩形面积的不变性,也就是面积与反比例系数的关系，应该让学生灵活掌握 ．

例 1 ．如图，过反比例函数 ( x ＞ 0 ）的图象上任意两点 A 、 B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 C 、 D ，连接 OA 、 OB ,设 △ AOC 和 △ BOD 的面积分别是 S 1 、 S 2 ，比较它们的大小，可得( ）
A ． S 1 ＞ S 2
B 。 S 1 ＝ S 2
C 。 S 1 ＜ S 2
D 。 大小关系不能确定
这是反比例函数图象中的面积不变性．如何把数的问题转化成形的问题来解决，是需要给学生讲解明白，从反比例函数 的图象上任一点 P （ x , y ）向 x 轴、 y 轴作垂线段，与 x 轴、 y 轴所围成的矩形面积 ，由此可得 S 1 ＝ S 2 ＝ ，故选 B
例 2 ．如下图，点 A 、 B 在反比例函数的图象上，且点 A 、 B 的横坐标分别为 a , 2 a （ a 〉0 ）， AC ⊥ x 轴，垂足为点 C ，且 △ AOC 的面积为 2 ．

（ 1 ）求该反比例函数的解析式．
（ 2 ）若点（－ a ， y 1 ），（－ 2 a ， y 2 ）在该反比例函数的图象 上,试比较 y 1 与 y 2 的大小．
先由学生独立思考寻找解题的途径,在学生思考过程中教师应给予适当指导．学生能否借助新旧知识的联系，转化迁移旧知识．
通过 Rt △ AOC 的面积 ，可知 x A · y A =4 ．又因为点 A 在双曲线上,所以 x A ·y A = k ，可求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质， k 〉0 ， y 随 x 的增大而减小知，自变量 x 越大,函数值反而小,通过比较－ a 与－ 2 a 的大小可知 y 1 与 y 2 的大小．
例 3 ．正比例函数 y = kx （ k >0 ）与反比例函数 的图象相交于 A 、 C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B ,连接 BC ，若 △ ABC 的面积为 S ,则（ )

A . S = 1
B . S = 2
C 。 S = 3
D 。 S 的值不确定
本例题注意引导学生充分利用反比例函数图象的对称性，将所求的三角形面积进行割转换成特殊的三角形来解决问题,根据反比例函数的解析式中比例系数与有关三角形面积的关系,易求出 △ AOB 的面积,要求 △ ABC 的面积只需找到 △ OBC 和 △ OAB 的关系，发现 AO = CO ，而且高相同，所以面积相等．
例 4 如图两条抛物线 与分别经过点 （—2，0),（2，0） 且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 8 ．

这是一个非多边形的面积．可以采用割补法,把阴影部分面积转化为一个矩形的面积．而如何转化是讲解的关键点，这种转化的思想在初中数学中是经常用到的 .
2 ．通过函数图象的交点研究方程、不等式的问题
函数与方程、不等式的结合使得代数问题上升了一个高度，能够理解三者之间的关系，并能从函数的角度来解释方程和不等式的问题，是解决问题的关键．
就拿一次函数为例，谈谈函数与方程、不等式之间的关系．
(1） 一次函数与一元一次方程：
由于任何一元一次方程都可以转化为 ax + b =0 （ a 、 b 是常数且 a 不为 0 ）的形式,所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值．从图象上看这相当于已知直线 y = ax + b ,确定它与 x 轴交点的横坐标的值．
（2) 一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax + b 〉0 或 ax + b 〈0 （ a 、 b 是常数且 a 不为 0 ）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时,求自变量相应的取值范围．从图象上看，解 ax + b 〉0 相当于已知直线 y = ax + b 在 x 轴上方时，自变量 x 相应的取值范围；解 ax + b <0 相当于已知直线 y = ax + b 在 x 轴下方时，自变量 x 相应的取值范围．
（3） 一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线．从 “ 数 ” 的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值；从 “ 形 ” 的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点．
方程 （组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来．
例 1 ．如图，利用 的图象．
( 1 )求出 的解； （ 2 ）求出 的解集；
( 3 ）求出 的解集; ( 4 ）你能求出 的解集吗？
（ 5 ）你还能求出哪些不等式的解集呢?

我们知道，对于一般的一元一次不等式，它与一次函数的求值，利用图象分析数量关系等问题关系很密切．那么这个密切关系如何讲透讲清是教师需要思考的 。
例 2 ． 用画函数图象的方法解不等式 5 x +4 〈 2 x +10.
虽然向上面那样用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数的观点认识问题的方法，对于数学学习很重要．
当画图象成为一种自觉 、 成为一种习惯的时候,用图象法解方程，解不等式就很直观、形象,而且对于数学的后续学习很重要．实际上,计算机完全可以代替手工绘制图象,只要输入一个解析式，就可出来一个精确的图象．所以这种方法教师要重视，要将知识之间的联系讲解到位 。
例 3 ．两直线 的交点坐标为 （ 2 ， 3 ） ．
这是一个由数解决形的问题，是利用函数与函数，函数与方程及方程组之间的联系解决几何中线的交点问题，这些关系是教师讲解的重点 . 求两个函数图象的交点，即把两个函数解析式联立方程组，求其公共解，此法可用于任意函数;体现了函数与方程的关系，体现公共点与公共解的对应，体现了数形结合的数学思想．
例 4．  观察函数 的图象 ， 当 x 〈—2 时 ， y 的取值范围是 -1< y 〈0 ；当 y ﹥ -1 时 , x 的取值范围是 x 〈-2 或 x 〉0 ．

在函数与不等式关系的教学中,应该让学生理解关于 x 或 y 的不等式在图象上如何体现,如何把图象上的信息用不等式表示出来是解决问题的关键，这一点上教学中应该注意引导学生 .
例 5 :画出二次函数 y=x 2 - x— 2 的图象，观察函数值 y <0 时， x 的取值范围是（ C ）
A ． x < － 1
B ． x 〉 2
C ．－ 1 < x < 2
D ． x < － 1 或 x > 2
探究二次函数与一元二次不等式的关系在初中阶段只是一个初步的了解,不易过难，过深去要求学生,这个知识点是为高中的一元二次不等式的学习打基础．所以教师在讲解时要注意把握好度 .
三、学生常见的问题及解决的策略方法
（一）从函数图象中获取信息解决问题的困惑
函数图象中总是蕴含着很多的信息，学生的困惑是如何把实际问题与函数图象联系起来，学生总是不知如何提取重要信息,通过例题讲解，要让学生学会如何在函数图象中获取信息，并通过图象中的数据来求解 ．
例．汽车由天津驶往相距 120 千米的北京， S （千米)表示汽车离开的距离， t （小时）表示汽车行驶的时间． S 与 t 的关系如图所示．

(1) 汽车用几小时可到达北京?速度是多少？
（2） 汽车行驶 1 小时，离开天津有多远？
(3） 当汽车距北京 20 千米时，汽车出发了多长时间？
解法一：用图象解答:
从图上可以看出 4 个小时可到达．
速度＝ 12 0 ÷ 4= 30 （千米／时）．
行驶１小时离开天津约为 30 千米．
当汽车距北京 20 千米时汽车出发了约 3 ． 3 个小时．
解法二：用解析式来解答：
由图象可知： S 与 t 是正比例关系，设 S = kt ，当 t =4 时 S =120
即 120= k ×4 k =30
∴ S =30 t ．
当 t =1 时, S =30×1=30 (千米）．
当 S =100 时， 100=30 t , t = （小时）．
老师在教学时，给学生讲解清楚以上两种方法优劣：用图象法解题直观，用解析式解题准确．
在教学中让学生学会数形结合的方法、体会数形结合的思想是解决问题的关键．老师通过例题的讲解，让学生体会何时需要观察图象确定信息，何时需要使用解析式通过计算来进行定量分析．
（二）描述反比例函数单调性及应用问题的困惑
学生在描述和使用反比例函数的单调性的时候总是容易犯一个错误：忘记考虑所在象限．反比例函数并不是连续单调递增或递减的，而是具有局部的增减性，因此在描述反比例函数的单调性时，必须要强调在各自象限内．关于使用单调判断函数值的大小时，更应该注意自变量是否同号或异号．这一点应该让学生记住,并且通过例题让学生真正体会和理解．
例 1
( 1 ）若点（ x 1 ， y 1 )，（ x 2 ， y 2 ），（ x 3 ， y 3 ），都在反比例函数的图象上,并且 x 1 〈0< x 2 < x 3 ，则下列各式中正确的是（ ）
A 、 y 1 〈 y 2 〈 y 3
B 、 y 2 〈 y 3 < y 1
C 、 y 3 〈 y 2 < y 1
D 、 y 1 < y 3 〈 y 2
( 2 )已知反比例函数 的图象上有两点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ），且 x 1 〈 x 2 ，则 y 1 － y 2 的值是（ )
A 、正数
B 、负数
C 、非正数
D 、不能确定
例 2 ．已知反比例函数 的图象上有三点 ，其中 k >0 ， ，则 的大小关系是 ．
这些问题实际上是强调了反比例函数变化趋势的描述；比较两个函数值的大小,教学中教师要注意给学生分析清楚两个自变量是否在同一个增减区间内；交代明白比较大小时要注意自变量异号时应使用函数值的正负判断,让学生去体会函数值同号时应使用函数单调性来判断的技巧．
（三）通过函数图象确定解析式中系数关系问题的困惑
同一类函数的图象是类似的,例如一次函数的图象都是直线,反比例函数的图象都是双曲线，二次函数的图象都是抛物线．但是随着系数的变化，图象的形状也会有小幅变化．另外系数也影响着函数图象的形状和位置．在同一坐标系中两个函数图象的位置与形状、如何通过图象之间的关系来确定系数的大小关系是学生难以解决的问题,所以通过例题可以让学生理解．
例 1 ．如图是三个反比例函数 在 x 轴上方的图象，由此观察得到 k 1 , k 2 , k 3 。 的大小关系是 ．

教学中教师应讲解清楚反比例函数的图象都是双曲线，但是由于系数 k 的不同，图象也会有区别，如何联系系数与图象位置是一个难点．对于不同象限的图象，系数的关系是显然的,而对于同象限的图象， 反比例函数的系数 k 之间的大小关系可以通过取特殊值来确定．对这一难点应从特殊到一般逐渐渗透其变化规律 .
例 2 ．在同一直角坐标系中，函数 和 （ k 为常数且 ）的图象只可能是（ B )

这是一类非常常见的问题,考查两个函数在同一坐标系中的图象．教师在讲解这一类问题时,要从不同的角度去思考,如从一次函数的图象入手解决或从反比例函数图象入手解决，让学生去比较每种方法的特征,体会解决问题多途径的思维方式 。
例 3 ．如图是二次函数 y=ax 2 + bx+c 的图象，试判断以下各式的值的符号．

（1) a ； (2) b ； （3） c ； (4) b2 —4 ac ;（5) 2 a ＋ b ； （6) a ＋ b ＋ c ; （7) a － b ＋ c
这类 典型问题，教师在讲解时要抓住突破点，交待清楚二次函数中有关字母系数与图象之间的关系，引领学生学会根据图象确定系数的特征．引领学生理解上述几种问题的做法，让学生感悟从图象中获取相应的信息，从而确定系数所应该满足的条件．在教师的引导下让学生去总结常用到的一些特殊条件解决问题有效途径，如开口方向，对称轴的位置，与 x 轴交点的个数与位置，与 y 轴交点的位置，一些特殊点的位置等．
例 4 ． 抛物线 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为 （ D ）

在教学中教师应善于引导学生将所学过的知识进行串联,从中寻找出各块知识的