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(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记笔记 单选题 1、已知函数()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，若函数()=()恰有两个零点，则实数m不可能是（）A1B0C1D2 答案：D 解析：依题意画出函数图象，函数()=()的零点，转化为函数=()与函数=的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；解：因为()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，画出函数图象如下所示，函数()=()的有两个零点，即方程()=()=0有两个实数根，即()=，即函数=()与函数=有两个交点，由函数图象可得 0或=1，故选：D 小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 2、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为=若采摘后 10 天，这种水果失去的新鲜度为 10%，采摘后 20 天，这种水果失去的新鲜度为 20%那么采摘下来的这种水果多长时间后失去 40%新鲜度（）A25 天 B30 天 C35 天 D40 天 答案：B 分析：根据给定条件求出及10的值，再利用给定公式计算失去 40%新鲜度对应的时间作答.依题意，10%=1020%=20，解得=120,10=2，当=40%时，40%=120，即40%=120 10 10，解得10=4=(10)2=20，于是得 10=20，解得=30，所以采摘下来的这种水果 30 天后失去 40%新鲜度.故选：B 3、已知函数()是奇函数，当 0时，()=2+2，则(2)+(1)=（）A11B5C8D5 答案：B 分析：利用奇函数的定义直接计算作答.奇函数()，当 0时，()=2+2，所以(2)+(1)=(2)(1)=22+22(21+12)=5.故选：B 4、我国在 2020 年 9 月 22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于 2030 年前实现碳达峰，争取在 2060 年前实现碳中和为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(120,500)之间的函数关系可近似表示为=133 802+5040,120,144)122 200+80000,144,500，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）A120B200C240D400 答案：D 分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分 120,144)和 144,500分析讨论求出其最小值即可 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为=132 80+5040,120,144)12 200+80000,144,500，当 120,144)时，=132 80+5040=13(120)2+240，当=120时，取得最小值 240，当 144,500 时，=12+80000 200 212 80000 200=200，当且仅当12=80000，即=400时取等号，此时取得最小值 200，综上，当每月得理量为 400 吨时，每吨的平均处理成本最低为 200 元，故选：D 5、已知实数,(1,+)，且log2+log3=log2+log2，则（）A B C D 答案：B 分析：对log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，结合=1的单调性判断 ，同理利用换底公式得log2 1log2 log3，再根据对数运算性质得log2 log2，结合=log2单调性，继而得解.由log2+log3=log2+log2，变形可知log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，由函数()=1在(0,+)上单调递增知，log2 log2，即 log3，得log2+log3 log3+log2，即log2 log2 log3 log3，同样利用()=1的单调性知，log2 log3，又因为log3=log3 log2，得log2 log2，即 ，所以 0的解集是（）A(1,1)B(,1)(1,+)C(0,1)D(,0)(1,+)答案：D 分析：作出函数=2和=+1的图象，观察图象可得结果.因为()=2 1，所以()0等价于2 +1，在同一直角坐标系中作出=2和=+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2 +1的解为 1.所以不等式()0的解集为：(,0)(1,+).故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7、已知函数()=,0(3)+4,0 满足对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立，则a的取值范围为（）A(0,14B(0，1)C14,1)D(0，3)答案：A 分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为 R 上的减函数，则函数=在(,0)上是减函数，有0 1，函数=(3)+4在0,+)上是减函数，有 3 0，即 3，并且满足：0(0)，即4 1，解和 14，综上得0 212，1+=(1+1)(1+2)1+1+1+22，2 12，综上2 1+2，2 12 故选：D 9、函数=2 2（）A是上的减函数 B是上的增函数 C在(,0)上是减函数，在(0,+)上是增函数 D无法判断其单调性 答案：B 分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数()=2为上的增函数，指数函数()=2=(12)为上的减函数，故函数=2 2是上的增函数.故选：B.10、已知函数()=11+2，则对任意实数x，有（）A()+()=0B()()=0 C()+()=1D()()=13 答案：C 分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误()+()=11+2+11+2=21+2+11+2=1，故 A 错误，C 正确；()()=11+211+2=21+211+2=212+1=1 22+1，不是常数，故 BD 错误；故选：C 填空题 11、函数=1+1图象过定点，点在直线+=3(1,0)上，则11+2最小值为_.答案：92#4.5 分析：根据指数函数过定点的求法可求得(1,2)，代入直线方程可得(1)+2=2，根据11+2=12(11+2)(1)+2)，利用基本不等式可求得最小值.当=1时，=0+1=2，=1+1过定点(1,2)，又点在直线+=3上，+2=3，即(1)+2=2，1，0，1 0，11+2=12(11+2)(1)+2)=12(5+21+2(1)12(5+2212(1)=92（当且仅当21=2(1)，即=53，=23时取等号），11+2的最小值为92.所以答案是：92.12、函数()=ln+2 3的零点个数为_ 答案：1 分析：解法一，将函数()=ln+2 3的零点转化为函数=ln与=3 2图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.解法一：令()=0，可得方程ln+2 3=0，即ln=3 2，故原函数的零点个数即为函数=ln与=3 2图象的交点个数 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）由图可知，函数=3 2与=ln的图象只有一个交点，故函数()=ln+2 3只有一个零点，所以答案是：1 解法二：(1)=ln1+12 3=2 0，(1)(2)0，又()=ln+2 3的图象在(1,2)上是不间断的，()在(1,2)上必有零点，又()=ln+2 3在(0,+)上是单调递增的，函数()的零点有且只有一个，所以答案是：1 13、已知二次函数=2 3+1的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数的取值范围_ 答案：(,0)(0,94 分析：求出二次函数图像与轴的交点,结合一元二次方程根的分布根据m取值不同分情况讨论求解即可.由题意知，二次函数的图像与轴的交点为(0,1)，因为=2 3+1为二次函数，所以 0，所以当 0时，设一元二次方程2 3+1=0的两根分别为1、2，则需满足=9 4 01+2=3 0，解得0 0)2,(0)，则(2)=_ 答案：12#0.5 分析：首先计算(2)=1，从而得到(2)=(1)，即可得到答案.因为(2)=log122=1，所以(2)=(1)=21=12.所以答案是：12 解答题 16、某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(3500)万元(0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？答案：（1）500 名；（2）(0,5.解析：（1）求出剩下1000 名员工创造的利润列不等式求解；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为10(3500)万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000 )(1+1500)万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出的范围 解：（1）由题意，得10(1000 )(1+0.2%)10 1000，即2 500 0，又 0，所以0 0，所以0 5.所以a的取值范围为(0,5.小提示：本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力 17、某校手工爱好者社团出售自制的工艺品，每件的售价在 20 元到 40 元之间时，其销售量（件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示（元/件）20 21 22 23 39 40（件）440 420 400 380 60 40(1)求此一次函数的解析式；(2)若每件工艺品的成本是 20 元，在不考虑其他因素的情况下，每件工艺品的售价是多少时，利润最大？最大利润是多少？答案：(1)=20+840(20 40)(2)每件工艺品的售价为 31 元时，利润最大，最大利润为 2420 元 分析：（1）设=+，任取两级数据代入求得参数值得解析式；（2）由（1）中关系式得出利润与的关系，由二次函数的性质得最大值（1）设=+，不妨选择两组数据(20,440)，(22,400)代入，可得440=20+,400=22+,解得=20,=840,一次函数的解析式为=20+840(20 40)（2）设利润为元，由题意可得=(20+840)(20)=202+1240 16800=20(31)2+2420，当=31时，max=2420，每件工艺品的售价为 31 元时，利润最大，最大利润为 2420 元 18、已知函数()=1+2+1为奇函数.（1）求实数的值，并判断()在上的单调性（不必证明）；（2）若关于的不等式(2 2)+(22)0的解集非空，求实数的取值范围.答案：（1）=2，()是上的增函数；（2）(13,+).分析：（1）根据(0)=0求出=2，再由奇函数的定义验证，根据指数函数的单调性即可求解.（2）由（1）可得2 2 22的解集非空，转化为32 2 0，解不等式即可求解.（1）因为()定义在上的奇函数，可得 ，都有()=()，令=0，可得(0)=1+20+1=1+2=0，解得=2，所以()=1 22+1=212+1，此时满足()=212+1=212+1=()，所以函数()是奇函数，所以=2.()是上的增函数.（2）因为()为奇函数，且(2 2)+(22)0的解集非空，可得(2 2)(22)的解集非空，-又因为()在上单调递增，所以2 2 22的解集非空，即32 2 0，解得 13，所以实数的取值范围(13,+).19、如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽 2m，渠深为 1.8m，斜坡的倾斜角是 45（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()（m2）表示成水深（m）的函数；(2)当水深为 1.2m 时，求横断面中水的面积.答案：(1)()=2+2(0 1.8)(2)3.84m2 分析：（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.（1）依题意，横断面中的水面是下底为 2m，上底为(2+2)m，高为h m 的等腰梯形，所以()=2+(2+2)2 =2+2(0 1.8).（2）由（1）知，()=2+2(0 1.8)，(1.2)=1.22+2 1.2=3.84，所以当水深为 1.2m 时，横断面水中的面积为 3.84m2.