全国高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记 单选题 1、计算：2lg5 lg412=（）A10B1C2Dlg5 答案：B 分析：应用对数的运算性质求值即可.2lg5 lg412=lg(5)2+lg4=lg5+lg2=lg10=1.故选：B 2、已知=ln13，=30.3，=154，则,的大小关系是（）A B C D 答案：C 解析：分别将,与0,1比较大小，从而得到,的大小关系.因为=ln13 30=1，0=log51 =154 故选：C 3、已知函数()=log()（0且 1，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A 0，0，1 0 C0 1，1D0 1，1 0 答案：D 分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数()=log()为减函数，所以0 0，即 1 又因为函数图象与轴有交点，所以 0，所以1 0，log=24，log=40，log=12，则log的值为（）A160B60C2003D320 答案：B 分析：根据换底公式将log=24，log=40，log=12，化为log=124，log=140，log=112，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解.解：因为log=24，log=40，log=12，所以log=124，log=140，log=112，即log+log+log=112，log=112 log log=112124140=160，log=60 故选：B 5、已知9=10,=10 11,=8 9，则（）A 0 B 0C 0D 0 答案：A 分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知=log910 1，再利用基本不等式，换底公式可得 lg11，log89 ，然后由指数函数的单调性即可解出 方法一：（指对数函数性质）由9=10可得=log910=lg10lg9 1，而lg9lg11 (lg9+lg112)2=(lg992)2lg11lg10，即 lg11，所以=10 11 10lg11 11=0.又lg8lg10 (lg8+lg102)2=(lg802)2lg10lg9，即log89 ，所以=8 9 0 .方法二：【最优解】（构造函数）由9=10，可得=log910 (1,1.5)根据,的形式构造函数()=1(1)，则()=1 1，令()=0，解得0=11，由=log910 (1,1.5)知0(0,1).()在(1,+)上单调递增，所以(10)(8)，即 ，又因为(9)=9log910 10=0，所以 0 .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,的形式构造函数()=1(1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解 6、已知实数,(1,+)，且log2+log3=log2+log2，则（）A B C D 答案：B 分析：对log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，结合=1的单调性判断 ，同理利用换底公式得log2 1log2 log3，再根据对数运算性质得log2 log2，结合=log2单调性，继而得解.由log2+log3=log2+log2，变形可知log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，由函数()=1在(0,+)上单调递增知，log2 log2，即 log3，得log2+log3 log3+log2，即log2 log2 log3 log3，同样利用()=1的单调性知，log2 log3，又因为log3=log3 log2，得log2 log2，即 ，所以 .故选：B.7、2021 年 10 月 16 日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将 3 名宇航员送入太空，发射取得圆满成功已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式=0 ln计算火箭的最大速度(m/s)，其中0(m/s)是喷流相对速度，(kg)是火箭（除推进剂外）的质量，(kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”若某型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为 625 时，该型火箭的最大速度约为（）（附：lge 0.434,lg2 0.301）A5790m/sB6219m/sC6442m/sD6689m/s 答案：C 分析：根据对数的换底公式运算可得结果.=0 ln=1000 ln625=10004lg5lge=1000 4(1lg2)lge 6442m/s.故选：C 8、已知()是定义在R上的奇函数，当 0时，()=log2(+2)+，(6)=（）A2B2C4D4 答案：A 分析：因()是定义在上的奇函数，所以(0)=0，从而可求，再由奇函数的定义即可求出(6)的值.解：()是定义在上的奇函数，又当 0时，()=log2(+2)+，(0)=log2(0+2)+=0，=1，当 0时，()=log2(+2)1，(6)=(6)=log2(6+2)1=(log223 1)=2，故选：A.9、下列说法正确的个数是（）（1）49 的平方根为 7；（2）a(a0)；（3）()5=515；（4）(3)26=(3)13 A1B2 C3D4 答案：A 分析：（1）结合指数运算法则判断，49 平方根应有两个；（2）正确；（3）应为55；（4）符号错误 49 的平方根是7，（1）错；（2）显然正确；()5=55，（3）错；(3)26=313，(4)错，正确个数为 1个，故选：A 10、若1，2是二次函数=2 5+6的两个零点，则11+12的值为（）A12B13C16D56 答案：D 分析：解方程可得1=2,2=3，代入运算即可得解.由题意，令2 5+6=0，解得=2或3，不妨设1=2,2=3，代入可得11+12=12+13=56.故选：D.11、已知=lg2，10=3，则log56=（）A+1+B+1C1+D1 答案：B 分析：指数式化为对数式求，再利用换底公式及对数运算性质变形.=lg2,10=3，=lg3，log56=lg6lg5=lg23lg102=lg2+lg31lg2=+1 故选：B 12、设函数()=ln|2+1|ln|2 1|，则f(x)（）A是偶函数，且在(12,+)单调递增 B是奇函数，且在(12,12)单调递减 C是偶函数，且在(,12)单调递增 D是奇函数，且在(,12)单调递减 答案：D 分析：根据奇偶性的定义可判断出()为奇函数，排除 AC；当 (12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出()单调递增，排除 B；当 (,12)时，利用复合函数单调性可判断出()单调递减，从而得到结果.由()=ln|2+1|ln|2 1|得()定义域为|12，关于坐标原点对称，又()=ln|1 2|ln|2 1|=ln|2 1|ln|2+1|=()，()为定义域上的奇函数，可排除 AC；当 (12,12)时，()=ln(2+1)ln(1 2)，=ln(2+1)在(12,12)上单调递增，=ln(1 2)在(12,12)上单调递减，()在(12,12)上单调递增，排除 B；当 (,12)时，()=ln(2 1)ln(1 2)=ln2+121=ln(1+221)，=1+221在(,12)上单调递减，()=ln在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()在(,12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()与()的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.填空题 13、若()=1+3+1()是奇函数，则实数=_.答案：2 分析：利用(0)=0可求得，验证可知满足题意.()定义域为，且()为奇函数，(0)=1+2=0，解得：=2；当=2时，()=1 23+1=313+1，()=313+1=131+3=()，()为上的奇函数，满足题意；综上所述：=2.所以答案是：2.14、已知函数()=e 1,0，2+,0讨论求解即可.当 0时，令()=e 1=0，解得=0，故()在0，+)上恰有1个零点，即方程2+=0有1个负根.当=0时，解得=0，显然不满足题意；当 0时，因为方程2+=0有1个负根，所以=1 42 0.当=1 42=0，即=12时，其中当=12时，122+12=0，解得=1，符合题意；当=12时，122+12=0，解得=1，不符合题意；当=1 42 0时，设方程2+=0有2个根1，2，因为12=1 0，所以1，2同号，即方程2+=0有2个负根或2个正根，不符合题意综上，=12 所以答案是：0.5.15、若+1=3，则12+122+2=_.答案：57 分析：将目标式分子、分母转化为含已知条件+1的代数式，进而求值 +1=3，易知 0 而(12+12)2=+1+2=5 12+12=5 又由2+2=(+1)2 2=7 综上，有：12+122+2=57 所以答案是：57 小提示：本题考查了利用指数幂运算化简求值，应用指数幂运算化简含+形式的代数式并求值 16、已知函数()=+1,0,log2,0 则函数=()的所有零点之和为_.答案：12 分析：利用分段函数，分类讨论，即可求出函数=()的所有零点，从而得解 解：0时，+1=0，=1，由()=1，可得+1=1或log2=1，=2或=12；0时，log2=0，=1，由()=1，可得+1=1或log2=1，=0或=2；函数=()的所有零点为2，12，0，2，所以所有零点的和为2+12+0+2=12 所以答案是：12 17、对于实数和，定义运算“”：=2,2,，设()=(2 1)(1)，且关于的方程为()=(R)恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_.答案：(0,14)分析：根据代数式2 1和 1之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数()的解析式，画出函数的图象，利用数形结合求出的取值范围.由2 1 1可得 0，由 2 1 1可得 0，所以根据题意得()=(2 1)2(2 1)(1)，0(1)2(2 1)(1)，0，即()=22，0 2，0，作出函数()的图象如图，当 0时，()=2开口向下，对称轴为=12，所以当 0时，函数的最大值为(12)=12(12)2=14，函数的图象和直线=(R)有三个不同的交点 可得的取值范围是(0,14)，所以答案是：(0,14)解答题 18、吉祥物“冰墩墩”在北京 2022 年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 200 万元每生产万盒，需投入成本()万元，当产量小于或等于 50 万盒时()=180+100；当产量大于 50 万盒时()=2+60+3500，若每盒玩具手办售价 200 元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润售价成本，成本固定成本生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)=20 300,0 502+140 3700,50,N(2)70 万盒 分析：（1）根据题意分0 50和 50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于 50 万盒时，=200 200 180 100=20 300，当产量大于 50 万盒时，=200 200 2 60 3500=2+140 3700，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为 =20 300,0 502+140 3700,50,N（2）当0 50时，20 50 300=700；当 50时，=2+140 3700，当=1402=70时，=2+140 3700取到最大值，为 1200 因为700 0且 1）(1)判断并证明函数()的奇偶性；(2)若=2，求函数=(2)的值域 答案：(1)奇函数，证明见解析；(2)(0,+).分析：（1）根据给定条件，利用奇函数定义判断并证明作答.（2）利用指数函数的值域，对数函数定义及性质求解作答.（1）函数()是奇函数，依题意，+11 0，解得 1，即()的定义域为(,1)(1,+)，又()=log+11=log1+1=log(+11)1=log+11=()，所以函数()是奇函数（2）当a2 时，()=log2+11，=(2)=log22+121=log2(1+221)，显然2 1，则有221(0,+)，即1+221(1,+)，而=log2在(0,+)上递增，因此log2(1+221)(0,+)，所以=(2)的值域是(0,+).20、近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为5，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250 万元，每生产千部手机，需另投入成本()万元，且()=102+100,0 40701+10000 9450,40，由市场调研知，每部手机的售价为 0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求 2020 年的利润()（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)2020 年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.答案：(1)()=102+600 250，0 40(+10000)+9200，40；(2)2020 年产量为 100 千部时，企业所获得利润最大，最大利润为 9000 万元.分析：（1）根据 2020 年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润()关于的解析式；（2）根据（1）求出利润()的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.（1）解：由题意可知，2020 年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，当0 40时，()=0.7 1000 (102+100)250=102+600 250 当 40时，()=0.7 1000 (701+10000 9450)250=(+10000)+9200，所以()=102+600 250，0 40(+10000)+9200，40.（2）当0 40时，()=102+600 250=10(30)2+8750，此时函数()开口向上的抛物线，且对称轴为=30，所以当=30时，()max=(30)=8750（万元）；当 40时，()=(+10000)+9200，因为+10000 2 10000=200，当且仅当=10000即=100时，等号成立，即当=100时，()max=(100)=200+9200=9000（万元），综上可得，当=100时，()取得最大值为9000（万元），即 2020 年产量为 100 千部时，企业获利最大，最大利润为 9000 万元.