新课标高中数学必修2知识点总结经典.pdf

新课标高中数学必修新课标高中数学必修 2 2 知识点总结经典知识点总结经典第 1 章 空间几何体1.1 空间几何体的结构1、棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱EDCBAABCDE 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3、棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台 ABCDABCD几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。5、圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、轴1.2 空间几何体的三视图和直观图1、中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2、三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，为斜高，l 为母线）h chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积 )(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积 lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh柱2VShr h圆柱13VSh锥hrV231圆锥 1()3VSS SS h台2211()()33VSS SS hrrRRh圆台（4）球体的表面积和体积公式：V=；S=球343R球面24 R第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 1 的作用：判断直线是否在平面内,Al BllAB 2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。若 A，B，C 不共线，则 A，B，C 确定平面推论 1：过直线的直线外一点有且只有一个平面 若，则点 A 和 确定平面All推论 2：过两条相交直线有且只有一个平面 若，则确定平面mnA,m n推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面 若，则确定平面m nA,m n公理 2 及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。,PPlPl且公理 3 作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。lB BA A B BA A Cl Alm Amn P L 4、公理 4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c ba cAAA5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,1212aa bb AA且与方向相同 ,1212 180aa bb AA且与方向相反作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系：平行、相交、异面。,a babAa bA异面（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、线面位置关系：直线在平面内、平行、相交 aaAaA8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）/abaab 证明两直线平行的主要方法是：三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；aaabbAA 平行线的传递性：,a b c ba cAAA 面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；aabbAA 垂直于同一平面的两直线平行；aa bbA直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的）10、面面平行：（即两平面无任何公共点）abbaba 1 1+2 2 1 18 80 0 1 1 2 22121ab(1 1)a a(2 2)a a(3 3)a aAb b a aA （1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。,ababAabAAA （2）两平面平行的性质：性质：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；aabbAA 性质：平行于同一平面的两平面平行；AAA 性质：夹在两平行平面间的平行线段相等；,A CACBDB DABCDAA 性质：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；aaaaAAAA或11、线面垂直：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,lmlnlmnAm n 性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。aa bbA性质：垂直于同一直线的两平面平行 ll A12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。ll（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。证明两直线垂直和主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）空间角及空间距离的计算1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线 PA 在平面上射影，为线面角。PAO3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的l 平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直-,lOAOBlOAl OBlAOB如图：在二面角中，O 棱上一点，的平面角。且则为二面角a影影影POA,POOAPAaPAaaOA图线线线如：是在平面上的射影 又直且即：影垂直斜垂直，反之也成立。ab如图：直线a与b异面，b/b，直线a与直线b的夹角为两异面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90 mlllm 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：确构成二面角两个半平面和棱；明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图：O 为 P 在平面上的射影，线段 OP 的长度为点 P 到平面的距离求法通常有：定义法和等体积法等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。如图在三棱锥VABC中有：SABCA SBCB SACC SABVVVV第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即。斜率反映直线与轴tank的倾斜程度。当时，；当时，；当时，不存在。90,00k180,900k90k过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；21xx(2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3.2 直线的方程点斜式：直线斜率 k，且过点)(11xxkyy11,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 bbkxy两点式：（）直线两点，112121yyxxyyxx1212,xxyy11,yx22,yx截矩式：1xyab其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。lx(,0)ay(0,)blxy,a b一般式：（A，B 不全为 0）0CByAx注意：各式的适用范围 特殊的方程如：1 2平行于 x 轴的直线：（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：（a 为常数）；by ax（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为 0 的常数）的直线系：（C 为常数）0000CyBxA00,BA000CyBxA（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系：，直线过定点；00 xxkyy00,yx（）过两条直线，的交点的直线系方程为0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl（为参数），其中直线不在直线系中。0222111CyBxACyBxA2l（6）两直线平行与垂直当，时，111:bxkyl222:bxkyl；212121,/bbkkll12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。3.3 直线的交点坐标与距离公式1、两条直线的交点 相交0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl交点坐标即方程组的一组解。00222111CyBxACyBxA方程组无解；方程组有无数解与重合21/ll1l2l2、两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，1122(,),A x yB xy，（）则 222121|()()ABxxyy3、点到直线距离公式：一点到直线的距离00,yxP0:1CByAxl2200BACByAxd4、两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。第四章圆与方程4.1 圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为 r；222rbyaxba,（2）一般方程022FEyDxyx当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为0422FED2,2EDFEDr42122当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。0422FED0422FED（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。4.2 直线、圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆，圆心到 l 的距离为，则有0:CByAxl222:rbyaxCbaC,22BACBbAad；相离与Clrd相切与Clrd相交与Clrd（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为0:CByAxl222:rbyaxC，则有；相离与Cl0相切与Cl0相交与Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r 表示半径。200ryyxx00,yx(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为200ryyxx圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，221211:rbyaxC222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；rRd当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；rRd当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；rRdrR当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；rRd当时，两圆内含；当时，为同心圆。rRd0d4.3 空间直角坐标系（1）定义：如图，是单位正方体.以 A 为原点，,OBCDD A B C分别以 OD,O,OB 的方向为正方向，建立三条数轴。,Ax轴.y轴.z轴这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.1）O 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向，食指指向为 y 轴正向，中指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点 M 的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐(,)x y z(,)x y z标，记作（x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标）(,)M x y z（4）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(zzyyxxd