高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程.pdf

第四章第四章 圆与方程圆与方程 知识点与习题知识点与习题1.1、圆的定义：、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设 M（x,y）为A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P=M|MA|=r 2、圆的方程、圆的方程（1）标准方程标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；点与圆的位置关系：00(,)M xy222()()xaybr当，点在圆外;当=，点在圆上2200()()xayb2r2200()()xayb2r当，点在圆内;2200()()xayb2r（2）一般方程一般方程022FEyDxyx （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （0422FED）当当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为，半径为FEDr42122 当当0422FED时，表示一个点；时，表示一个点；当当0422FED时，方程不表示任何图形。时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；直接法：直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离圆心到该直线距离=半径半径，求解 k，若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3)过圆上一点的切线过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 两圆的位置关系判断条件公切线条数外离1+24 条外切1+23 条相交|1-2|1+22 条4、圆与圆的位置关系：、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值）两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。）之间的大小比较来确定。（即几何法）（即几何法）注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线5、.圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 联立圆 C1的方程与圆 C2的方程得到一个二元一次方程 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆 C1与圆 C2公共弦所在的直线方程公共弦所在的直线方程；若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆 C1与圆 C2的公切线的方程；若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线向两个圆引切线，得到的切线长相等切线长相等（反之，亦成立）（反之，亦成立）6、已知一直线与圆相交，求弦的长度、已知一直线与圆相交，求弦的长度 代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标交点坐标，利用两点间的距离公式两点间的距离公式求弦长 几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）7、已知两圆相交，求公共弦的长度、已知两圆相交，求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出交点坐标交点坐标；利用两点间的距离公式两点间的距离公式求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）8、圆系与圆系方程、圆系与圆系方程(1)圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2)圆系方程：圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 （）若圆 C1与圆 C2交于 P1、P2点，那么，方程（）代表过 P1、P2两点的圆的方程。若圆 C1与圆 C2交于 P 点（一个点），则方程（）代表过 P 点的圆的方程。9、直线与圆的方程的应用、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；内切|1-2|1 条内含|1-2|0 条第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论10、空间直角坐标系、空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组，、分别是 P、Q、R 在、轴上的坐标),(zyxxyzxyz2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点),(zyx3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M),(zyx，叫做点 M 的横坐标，叫做点 M 的纵坐标，叫做点 M 的竖坐标。),(zyxxyz11、空间两点间的距离公式、空间两点间的距离公式1、空间中任意一点到点之间的距离公式),(1111zyxP),(2222zyxP22122122121)()()(zzyyxxPP一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知两圆的方程是 x2y21 和 x2y26x8y90，那么这两个圆的位置关系是()A相离B相交C外切 D内切解析：将圆 x2y26x8y90，化为标准方程得(x3)2(y4)216.两圆的圆心距5，032042又 r1r25，两圆外切答案：C2过点(2,1)的直线中，被圆 x2y22x4y0 截得的最长弦所在的直线方程为()A3xy50 B3xy70Cx3y50 Dx3y10解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，2)，由直线的两点式方程得，即 3xy50.y212x121答案：A3若直线(1a)xy10 与圆 x2y22x0 相切，则 a 的值为()A1，1 B2，2C1 D1解析：圆 x2y22x0 的圆心 C(1,0)，半径为 1，依题意得1，即|1a01|1a21|a2|，平方整理得 a1.a121答案：D4经过圆 x2y210 上一点 M(2，)的切线方程是()6Axy100 B.x2y10066Cxy100 D2xy10066解析：点 M(2，)在圆 x2y210 上，kOM，662过点 M 的切线的斜率为 k，63故切线方程为 y(x2)，663即 2xy100.6答案：D5点 M(3，3,1)关于 xOz 平面的对称点是()A(3,3，1)B(3，3，1)C(3，3，1)D(3,3,1)解析：点 M(3，3,1)关于 xOz 平面的对称点是(3,3,1)答案：D6若点 A 是点 B(1,2,3)关于 x 轴对称的点，点 C 是点 D(2，2,5)关于 y 轴对称的点，则|AC|()A5 B.13C10 D.10解析：依题意得点 A(1，2，3)，C(2，2，5)|AC|.21222253213答案：B7若直线 ykx1 与圆 x2y21 相交于 P、Q 两点，且POQ120(其中 O 为坐标原点)，则 k 的值为()A.B.32C.或 D.和3322解析：由题意知，圆心 O(0,0)到直线 ykx1 的距离为，12，k.11k2123答案：C8与圆 O1：x2y24x4y70 和圆 O2：x2y24x10y130 都相切的直线条数是()A4 B3C2 D1解析：两圆的方程配方得，O1：(x2)2(y2)21，O2：(x2)2(y5)216，圆心 O1(2,2)，O2(2,5)，半径 r11，r24，|O1O2|5，r1r25.222522|O1O2|r1r2，两圆外切，故有 3 条公切线答案：B9直线 l 将圆 x2y22x4y0 平分，且与直线 x2y0 垂直，则直线 l 的方程是()A2xy0 B2xy20Cx2y30 Dx2y30解析：依题意知，直线 l 过圆心(1,2)，斜率 k2，l 的方程为 y22(x1)，即 2xy0.答案：A10圆 x2y2(4m2)x2my4m24m10 的圆心在直线 xy40 上，那么圆的面积为()A9 BC2 D由 m 的值而定解析：x2y2(4m2)x2my4m24m10，x(2m1)2(ym)2m2.圆心(2m1，m)，半径 r|m|.依题意知 2m1m40，m1.圆的面积 S12.答案：B11当点 P 在圆 x2y21 上变动时，它与定点 Q(3,0)的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21C(2x3)24y21 D(2x3)24y21解析：设 P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段 PQ 中点 M 的坐标为(x，y)，则 x，y，x12x3，y12y.x132y12又点 P(x1，y1)在圆 x2y21 上，(2x3)24y21.故线段 PQ 中点的轨迹方程为(2x3)24y21.答案：C12曲线 y1与直线 yk(x2)4 有两个交点，则实数 k 的取值范围是()4x2A(0，)B(，)512512C(，D(，133451234解析：如图所示，曲线 y14x2变形为 x2(y1)24(y1)，直线 yk(x2)4 过定点(2,4)，当直线 l 与半圆相切时，有2，解得 k.|2k41|k21512当直线 l 过点(2,1)时，k.34因此，k 的取值范围是0.故方程表示圆心为(k，2k5)，半径为|k1|的圆5设圆心的坐标为(x，y)，则Error!Error!消去 k，得 2xy50.这些圆的圆心都在直线 2xy50 上(2)证明：将原方程变形为(2x4y10)k(x2y210y20)0，上式对于任意 k1 恒成立，Error!Error!解得Error!Error!曲线 C 过定点(1，3)(3)圆 C 与 x 轴相切，圆心(k，2k5)到 x 轴的距离等于半径，即|2k5|k1|.5两边平方，得(2k5)25(k1)2，k53.5