2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结全年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理面整理 单选题 1、若1，2是二次函数=2 5+6的两个零点，则11+12的值为（）A12B13C16D56 答案：D 分析：解方程可得1=2,2=3，代入运算即可得解.由题意，令2 5+6=0，解得=2或3，不妨设1=2,2=3，代入可得11+12=12+13=56.故选：D.2、函数=；=；=；=的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A54，3，13，12B3，54，13，12 C12，13，3，54，D13，12，54，3，答案：C 分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而3 541213.故选：C 3、已知函数()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，若函数()=()恰有两个零点，则实数m不可能是（）A1B0C1D2 答案：D 解析：依题意画出函数图象，函数()=()的零点，转化为函数=()与函数=的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；解：因为()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，画出函数图象如下所示，函数()=()的有两个零点，即方程()=()=0有两个实数根，即()=，即函数=()与函数=有两个交点，由函数图象可得 0或=1，故选：D 小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 4、化简36的结果为（）AB CD 答案：A 分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案.由题意，可知 0，36=()13 16=13 16=13+16=12=.故选：A.5、下列说法正确的个数是（）（1）49 的平方根为 7；（2）a(a0)；（3）()5=515；（4）(3)26=(3)13 A1B2 C3D4 答案：A 分析：（1）结合指数运算法则判断，49 平方根应有两个；（2）正确；（3）应为55；（4）符号错误 49 的平方根是7，（1）错；（2）显然正确；()5=55，（3）错；(3)26=313，(4)错，正确个数为 1个，故选：A 6、已知函数()是奇函数，当 0时，()=2+2，则(2)+(1)=（）A11B5C8D5 答案：B 分析：利用奇函数的定义直接计算作答.奇函数()，当 0时，()=2+2，所以(2)+(1)=(2)(1)=22+22(21+12)=5.故选：B 7、若 0，则2+2+2 2 2+2等于（）A2B2C2D2 答案：C 分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|+|，0，+0，原式=(+)()=2 故选：C 小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.8、已知函数()=3|+2+2，则(2 1)(3 )的解集为（）A(,43)B(43,+)C(2,43)D(,2)(43,+)答案：D 分析：根据函数奇偶性可得()为偶函数，根据解析式直接判断函数在0,+)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为()=3|+2+2，则 R 所以()=3|+()2+2=3|+2+2=()，则()为偶函数，当 0时，()=3+2+2，又=3，=2+2在0,+)上均为增函数，所以()在0,+)上为增函数，所以(2 1)(3 )，即|2 1|3|，解得43，所以(2 1)(3 )的解集为(,2)(43,+).故选：D.9、已知2=5,log83=，则43=（）A25B5C259D53 答案：C 分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出 因为2=5，=log83=13log23，即23=3，所以43=443=(2)2(23)2=5232=259 故选：C.10、设函数()=ln|2+1|ln|2 1|，则f(x)（）A是偶函数，且在(12,+)单调递增 B是奇函数，且在(12,12)单调递减 C是偶函数，且在(,12)单调递增 D是奇函数，且在(,12)单调递减 答案：D 分析：根据奇偶性的定义可判断出()为奇函数，排除 AC；当 (12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出()单调递增，排除 B；当 (,12)时，利用复合函数单调性可判断出()单调递减，从而得到结果.由()=ln|2+1|ln|2 1|得()定义域为|12，关于坐标原点对称，又()=ln|1 2|ln|2 1|=ln|2 1|ln|2+1|=()，()为定义域上的奇函数，可排除 AC；当 (12,12)时，()=ln(2+1)ln(1 2)，=ln(2+1)在(12,12)上单调递增，=ln(1 2)在(12,12)上单调递减，()在(12,12)上单调递增，排除 B；当 (,12)时，()=ln(2 1)ln(1 2)=ln2+121=ln(1+221)，=1+221在(,12)上单调递减，()=ln在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()在(,12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()与()的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.11、荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365 37.7834；而把(1 1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365 0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，大约经过(参考数据：lg101 2.0043，lg99 1.9956)（）天 A200 天 B210 天 C220 天 D230 天 答案：D 分析：根据题意可列出方程100 0.99=1.01，求解即可.设经过x天“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，则100 0.99=1.01，即(1.010.99)=100，=log1.010.99100=lg100lg1.010.99=lg100lg10199=2lg101 lg99 22.00431.9956=20.0087 230 故选：D 12、若2 2 0Bln(+1)0Dln|0 答案：A 分析：将不等式变为2 3 2 3，根据()=2 3的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2 2 3 3得：2 3 2 3，令()=2 3，=2为上的增函数，=3为上的减函数，()为上的增函数，0，+1 1，ln(+1)0，则 A 正确，B 错误；|与1的大小不确定，故 CD 无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.双空题 13、考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳 14 的含量随时间（单位：年）的衰变规律满足=0 25730（0表示碳 14 原有的含量），则经过 5730 年后碳 14 的含量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的含量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到 5730 年之间（参考数据：log23 1.6，log25 2.3）答案：12#0.5 4011 分析：将=5730代入函数=0 25730，可得答案，令=350，则25730=35，根据对数运算，可得答案.当=5730时，=0 21=120，所以经过 5730 年后，碳 14 的含量变为原来的12令=350，则25730=35，所以5730=log235=log23 log25 0.7，所以 0.7 5730=4011，所以良渚古城存在的时期距今约在 4011 年到 5730 年之间 所以答案是：12；4011 14、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即=log现已知2=6,3=36，则49=_，1+2=_ 答案：136 1 解析：根据幂的运算性质可知，4=36,9=362，即可求出49的值；用对数式表示出和，根据对数运算性质和换底公式即可求出1+2 因为2=6,3=36，所以4=36,9=362，即49=136，=log26,=log336，故1+2=1log26+2log336=log62+log63=1 所以答案是：136；1 小提示：本题主要考查指数式与对数式的互化，以及对数运算性质和换底公式的应用，属于基础题 15、已知()=+4,1,log2,2,则(0)=_；若函数()的值域为1,+)，则的最小值为_ 答案：2 3 分析：根据函数的解析式，结合(2)=1和一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.(0)=(4)=log24=2，要使得函数()的值域为1,+)，则满足 0+4 1，解得3 0，所以实数的最小值为3 所以答案是：2；-3.小提示：本题考查了分段函数的性质，解题的关键点是画出函数的图象，考查了学生的识图能力和计算能力.16、已知函数()=2+,(,0)|2|,0,3122 4+172,(3,+)的图像过点(1,12)，且函数()=()有三个零点，求=_，则实数的取值范围是_ 答案：1 12,1 分析：第一空，把点(1,12)代函数()解析式可直接求得，第二空，画出函数()的图像，把零点问题转化成两函数=()与=的图像交点问题，数形结合可求出答案。因为函数()的图像过点(1,12)，所以21+=12，解得=1 令()=0，则()=有三个不同的实数根，等价于函数=()与=的图像有三个不同的交点 作出()的图像，如图所示，因为(3)=1，(4)=12，所以=12或=1 结合图像可得：实数的取值范围是12,1.所以答案是：-1；12,1 17、截止 2020 年底，我国总人口数约为 14 亿，同 2010 年底数据相比，人口年平均增长率约为0.53%，若按此增长率，30 年后我国人口总数约为_亿；若希望 30 年后我国人口超过 20 亿，那么人口年平均增长率应不低于_%（精确到 0.1，参考数据：1.005330 1.17，100.005 1.0116，lg7 0.85）答案：16.4 1.2 分析：建立指数函数模型，结合指数对数运算求解即可.解:因为 2020 年底，我国总人口数约为 14 亿，且年平均增长率约为 0.53%，所以 30 年后我国人口总数约为14(1+0.53%)30 14 1.17 16.4 设人口年平均增长率为，由题意，得14(1+)30 20，即(1+)30107，两边取对数，得30lg(1+)1 lg7 0.15，即lg(1+)0.005，所以1+100.005 1.0116，解得 0.0116，所以人口年平均增长率应不低于 1.2%所以答案是：16.4；1.2.解答题 18、数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养对数运算与指数幂运算是两类重要的运算(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数运算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果 0，且 1，0，那么log=log()；(2)计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；(3)因为210=1024 (103,104)，所以210的位数为 4（一个自然数数位的个数，叫作位数）请你运用所学过的对数运算的知识，判断20222023的位数（注：lg2022=3.306）答案：(1)答案见解析(2)1712(3)位数为 6689 分析：(1)根据指数与对数之间的转换证明即可；(2)根据对数的运算性质将真数转化为指数幂的形式再化简求值，亦可通过换底公式化简求值；(3)通过对数的运算公式分析20222023的值的范围进而确定其位数.（1）方法一：设=log，所以=，所以=()=，所以log=log 方法二：设=log，所以=log，所以=，所以=，所以=log，所以log=log 方法三：因为log=，log=(log)=，所以log=log，所以log=log（2）方法一：lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=34+23=1712 方法二：根据换底公式可得lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716)=log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23 176log32=1712（3）方法一：设10 20222023 10+1，所以 lg20222023 +1，所以 2023lg2022 +1，所以 2023 3.306 +1，所以6687.038 6688.038，因为 N，所以=6688，所以20222023的位数为 6689 方法二：设20222023=，所以2023lg2022=lg，所以2023 3.306=lg，所以lg=6688.038，所以=106688.038=100.038 106688，因为1 100.038 10，所以N的位数为 6689，即20222023的位数为 6689 19、某工厂以kg/h的速度生产运输某种药剂（生产条件要求边生产边运输且3 10），每小时可以获得的利润为100(2+1+82)元(1)要使生产运输该药品3h获得的利润不低于 4500 元，求的取值范围；(2)为何值时，每小时获得的利润最小？最小利润是多少？答案：(1)6,10；(2)当为4kg/h时，每小时获得的利润最小，最小利润为 1300 元.分析：（1）由题设可得 2x18215，结合3 0，1)（1）判断()的奇偶性并证明；（2）若()在1,1上的最大值为13，求a的值 答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）=2 解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分 1和0 1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求的值.解：（1）()的定义域为，又()=1 2|+1=1 2|+1=()()=()，所以()为偶函数；（2）因为()为偶函数，当0 1时，()=1 2|+1=1 2+1，若 (0,1)，()=1 2+1，函数单调递减，()max=(0)=0，若 (1,+)，()=1 2+1，函数单调递增，()max=(1)=1 2+1=13 =2，当1 0，()=1 2|+1=1 2+1，若 (0,1)，()=1 2+1，函数单调递增，()max=(0)=0，若 (1,+)，()=1 2+1，函数单调递减，()max=(1)=1 2+1=13 =2，综上，=2 小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.