2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点突破.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点突破年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点突破 单选题 1、设函数f（x）ln|2x+1|ln|2x1|，则f（x）（）A是偶函数，且在(12，+)单调递增 B是奇函数，且在(12，12)单调递增 C是偶函数，且在(，12)单调递增 D是奇函数，且在(，12)单调递增 答案：B 分析：先求出()的定义域结合奇偶函数的定义判断()的奇偶性，设t|2+121|，则ylnt，由复合函数的单调性判断()的单调性，即可求出答案.解：由2+1 02 1 0，得x12 又f（x）ln|2x+1|ln|2x1|（ln|2x+1|ln|2x1|）f（x），f（x）为奇函数，由f（x）ln|2x+1|ln|2x1|ln|2+121|，2+121=1+221=1+112 可得内层函数t|2+121|的图象如图，在（，12），（12，+）上单调递减，在（12，12）上单调递增，又对数式yln是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（12，12）上单调递增，在（，12），（12，+）上单调递减 故选：B 2、已知=ln13，=30.3，=154，则,的大小关系是（）A B C D 答案：C 解析：分别将,与0,1比较大小，从而得到,的大小关系.因为=ln13 30=1，0=log51 =154 故选：C 3、已知函数()=2,2+4+2,，若方程()=0恰有三个根，那么实数的取值范围是（）A1,2)B1,2C2,+)D(,1 答案：A 分析：由题意得，函数=()与函数=有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线=与函数()=2()至多有一个交点，而直线=与函数()=2+4+2()至多两个交点，函数=()与函数=有三个不同的交点，则只需要满足直线=与函数()=2()有一个交点 直线=与函数()=2+4+2()有两个交点即可，如图所示，=与函数()=2+4+2的图象交点为(2,2)，(1,1)，故有 1.而当 2时，直线=和射线=2()无交点，故实数的取值范围是1,2).故选：A.4、下列计算中结果正确的是（）Alog102+log105=1Blog46log43=log42=12 C(log515)3=3log515=3D13log28=log283=33 答案：A 分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于 A：log102+log105=log10(2 5)=log1010=1，故 A 正确；对于 B：log46log43=log36，故 B 错误；对于 C：(log515)3=(log551)3=(log55)3=1，故 C 错误；对于 D：13log28=13log223=13 3log22=1，故 D 错误；故选：A 5、设函数()=lg(2+1)，则使得(3 2)(4)成立的的取值范围为（）A(13,1)B(1,32)C(,32)D(,1)(32,+)答案：D 分析：方法一:求出(3 2),(4)的解析式,直接带入求解.方法二:设=2+1，则=，判断出()=(2+1)在0,+)上为增函数,由(3 2)(4)得|3 2|4|，解不等式即可求出答案.方法一:()=(2+1)由(3 2)(4)得lg(3 2)2+1 lg(4)2+1，则(3 2)2+1 (4)2+1，解得 32.方法二:根据题意，函数()=(2+1)，其定义域为R，有()=(2+1)=()，即函数()为偶函数，设=2+1，则=，在区间0,+)上，=2+1为增函数且 1，=在区间1,+)上为增函数，则()=(2+1)在0,+)上为增函数，(3 2)(4)(|3 2|)(|4|)|3 2|4|，解得 32，故选：D 6、若2+log2=4+2log4，则（）A 2B 2D 2 答案：B 分析：设()=2+log2，利用作差法结合()的单调性即可得到答案.设()=2+log2，则()为增函数，因为2+log2=4+2log4=22+log2 所以()(2)=2+log2 (22+log22)=22+log2 (22+log22)=log212=1 0，所以()(2)，所以 0，此时()(2)，有 2 当=2时，()(2)=1 0，此时()(2)，有 0,1)恒过定点(,)，则函数()=不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：C 解析：利用指数函数的性质求出，得出()的解析式，从而得出结论 ()=2+1(0,1)恒过定点(2,2)，=2，()=2 2，()为减函数，且过点(0,1)，()的函数图象不经过第三象限 故选：9、已知函数()=4+1的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0)答案：A 分析：令+1=0，即可求出定点坐标；当+1=0，即=1时，+1=0=1，为常数，此时()=4+1=5，即点P的坐标为(1，5).故选：A.小提示：本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.10、若=log321在(0,+)内为增函数，且=也为增函数，则的取值范围是（）A(33,1)B(0,12)C(33,63)D(63,1)答案：D 分析：根据函数单调性，列出不等式组32 1 10 1，由=为增函数得0 10 0，则(0)=_，若方程()=有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_.答案：1 1 2 分析：(1)先求出(0)的值，再求(0)即得解；(2)作出函数()的图像，再作出直线=，数形结合分析即得解.（1）由题得(0)=30+1=2，所以(0)=(2)=log22=1.所以(0)=1.（2）作出函数()的图像，再作出直线=，方程()=有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为1 2.所以答案是：1；1 2.15、在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始微积分的建立称为 17 世纪数学的三大成就.已知log3=lg=15，则实数x，y的大小关系为_，log9=_.答案：10 分析：结合对数的运算关系即可化简得到x，y的大小关系和log9的值.因为log3=lglg3=lg，所以lg=lg lg3 lg，所以 ，又因为log3=15，所以=315，所以log9=log(3)159=5log39=10，所以答案是：，10 16、已知函数()=|log3|的定义域为,，值域为0,，用含的表达式表示 的最大值记为()，最小值记为()，设()=()().（1）若=1，则(1)=_；（2）当1 2时，()2+15()+1的取值范围为_.答案：83 6,799 分析：（1）根据函数()=|log3|的单调性，结合定义域与值域进行分类讨论求解即可（2）利用函数的单调性分类讨论，结合指数函数的单调性，运用换元法、构造函数法，再结合对钩函数的单调性进行求解即可.（1）当0 1时，()=|log3|=log3，所以此时函数单调递增，且(1)=0，当=1时，函数的定义域为,，值域为0,1，当()=|log3|=1 =13或=3，当0 1，故不符合题意；当=13时，要想值域为0,1，则有1 3，此时(1)=3 13=83；当13 1时，有()0，所以值域不可能是0,1，不符合题意，故(1)=83；（2）当0 (13)=log13(13)=1，不符合题意；当(13)=时，要想值域为0,，必有1 3，()=()()=3(13)1 (13)=3 1，令=()+1=3，因为1 2，所以3 9，()2+15()+1=22+16=+16 2，设()=+16 2,3,9，因为函数()在 3,4时单调递减，在 4,9时单调递增，()min=(4)=6，(3)=193,(9)=799,()max=799，此时()2+15()+1的取值范围为6,799；当(13)1时，()1，不符合题意，综上所述：()2+15()+1的取值范围为6,799；小提示：关键点睛：本题的关键是针对的不同位置，确定的值，进而利用换元法、构造函数法，结合对钩函数的单调性进行解题.17、若函数()=log(+1)+2（0且 1）,图象恒过定点(,),则+=_；函数()=2+的单调递增区间为_ 答案：2 (1,+)分析：根据对数的运算性质可以直接求出点(,)的坐标,这样可以计算出+的值；再根据复合函数的单调性的性质可以求出函数()=2+的单调递增区间.由函数()=log(+1)+2（0且 1）的解析式可知：当=0时,=2,因此有 =0,=2 +=2；因此()=2+2=2+2=(+1)21,由复合函数的单调性的性质可知：函数()=2+的单调递增区间为：(1,+).故答案为 2；(1,+)小提示：本题考查了对数型函数过定点问题,考查了复合函数的单调性问题,掌握对数的运算特性是解题的关键.解答题 18、已知关于一元二次不等式2+2+2 0的解集为R.(1)求函数()=+3+2的最小值；(2)求关于的一元二次不等式2+(3)3 0的解集.答案：(1)23 2(2)(,)(3,+)分析：（1）由题意可得 0，解不等式求出的取值范围，再利用基本不等式求()的最小值；（2）不等式化为(+)(3)0，比较和3的大小，即可得出不等式的解集.(1)因为关于一元二次不等式2+2+2 0的解集为R，所以=42 4(+2)0，化简可得：2 2 0，解得：1 2，所以1 +2 4，所以()=+3+2=+2+3+2 2 2(+2)3+2 2=23 2，当且仅当+2=3+2即=3 2，()的最小值为23 2.(2)不等式2+(3)3 0，可化为(+)(3)0，因为1 2，所以2 1 3，所以该不等式的解集为(,)(3,+).19、某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5 122(万元)（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？答案：（1）f(x)122+4.75 0.5,0 5；（2）475 件 分析：（1）根据年需求量为 500 件，由 05 时，产品只能售出 500 件和固定成本 0.5 万元，每生产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元求解.（2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集.（1）当 05 时，产品只能售出 500 件 所以()=(5 122)(0.5+0.25),0 5,即f(x)122+4.75 0.5,0 5.（2）当 05 时，f(x)5)；（2）年产量在 11 台到 4800 台之间时，企业不亏本；（3）年产量为 475 台时，企业所得利润最大.分析：（1）依题意对0 5与 5分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；（2）要使企业不亏本，则 0，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；（3）根据二次函数的性质计算可得；解：（1）设利润为y万元，当0 5时，=5 122 0.25 0.5，当 5时=5 5 12 520.25 0.5=12 14，综上可得=122+194 12(0 5)12 14(5)；（2）要使企业不亏本，则 0.即0 5,122+4.75 0.5 0 或 5,12 0.25 0,得0.11 5或5 48，即0.11 48.即年产量在 11 台到 4800 台之间时，企业不亏本.（3）显然当0 5时，企业会获得最大利润，此时，=12(4.75)2+10.78125，=4.75，即年产量为 475 台时，企业所得利润最大.