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1 (每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数笔记重点大全 高中数学第四章指数函数与对数函数笔记重点大全高中数学第四章指数函数与对数函数笔记重点大全 单选题 1、将进货价为每个 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，每涨价 1 元，销售量就减少 20 个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（）A90 100B90 110C100 110D80 0，求的取值范围，即可得到的取值范围.设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，则=+90,=(10+)(400 20)10 400=202+200.要使商家利润有所增加，则必须使 0，即2 10 0，得0 10,90 +90 100，所以的取值为90 0的解集是（）A(1,1)B(,1)(1,+)C(0,1)D(,0)(1,+)答案：D 分析：作出函数=2和=+1的图象，观察图象可得结果.因为()=2 1，所以()0等价于2 +1，在同一直角坐标系中作出=2和=+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2 +1的解为 1.所以不等式()0的解集为：(,0)(1,+).故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.3 4、已知函数()=,0(3)+4,0 满足对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立，则a的取值范围为（）A(0,14B(0，1)C14,1)D(0，3)答案：A 分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为 R 上的减函数，则函数=在(,0)上是减函数，有0 1，函数=(3)+4在0,+)上是减函数，有 3 0，即 3，并且满足：0(0)，即4 1，解和 14，综上得0 0时，()=2+2，则(2)+(1)=（）A11B5C8D5 答案：B 分析：利用奇函数的定义直接计算作答.奇函数()，当 0时，()=2+2，所以(2)+(1)=(2)(1)=22+22(21+12)=5.故选：B 6、已知函数()=,0(2)+3,0，满足对任意x1x2，都有(1)(2)120 成立，则a的取值范围是（）4 Aa(0,1)Ba34,1)Ca(0,13Da34,2)答案：C 分析：根据条件知()在R上单调递减，从而得出0 1 2 03 1，求a的范围即可 ()满足对任意x1x2，都有(1)(2)120 成立，()在R上是减函数，0 1 2 0(2)0+3 0，解得0 0，b0)的结果是（）ABC2D2 5 答案：B 分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.3223(1412)4 3=321613(1412)41313=32+161+131+13213=1=故选：B 9、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为55，33，2则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A甲同学和乙同学 B丙同学和乙同学 C乙同学和甲同学 D丙同学和甲同学 答案：C 分析：判断出55，33，2的大小关系即可得出答案.(55)10=52=25，(2)10=25=32 25 32 55 2 有55 2 0，可得=10 故选：A.多选题 11、设函数()=|2+3|,1log2,1，若函数()+=0有五个零点，则实数可取（）A3B1C12D2 答案：CD 分析：函数()+=0有五个零点等价于=()与=有五个不同的交点，作出()图像，利用图像求解即可 函数()+=0有五个零点等价于=()与=有五个不同的交点，作出()图像可知，当=32时，(32)=|(32)2+3 (32)|=94 若=()与=有五个不同的交点，则 (0,94)，(94,0)，故选：CD 7 12、已知函数()=121+2，则下面几个结论正确的有（）A()的图象关于原点对称 B()的图象关于y轴对称 C()的值域为(1,1)D1,2，且1 2,(1)(2)12 0恒成立 答案：ACD 分析：利用奇函数的定义和性质可判断 AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断 CD 的正误.对于 A，()=121+2，则()=121+2=211+2=()，则()为奇函数，故图象关于原点对称，故 A 正确.对于 B，计算(1)=13，(1)=13(1)，故()的图象不关于y轴对称，故 B 错误.对于 C，()=121+2=1+21+2，1+2=,(1,+)，故=()=1+2，易知：1+2(1,1)，故()的值域为(1,1),故 C 正确.对于 D，()=121+2=1+21+2，因为=1+2在上为增函数，=1+21+为(1,+)上的减函数，由复合函数的单调性的判断法则可得()在上单调递减，8 故1,2，且1 2，(1)(2)12 0恒成立，故 D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.13、已知函数()=1，()=2记max,=,，则下列关于函数()=max(),()(0)的说法正确的是（）A当 (0,2)时，()=2 B函数()的最小值为2 C函数()在(1,0)上单调递减 D若关于的方程()=恰有两个不相等的实数根，则2 1 答案：ABD 分析：得到函数()=1,1 0或 22,1或0 2，作出其图象逐项判断.由题意得：()=1,1 0或 22,1或0 2，其图象如图所示：9 由图象知：当 (0,2)时，()=2，故 A 正确；函数()的最小值为2，故正确；函数()在(1,0)上单调递增，故错误；方程()=恰有两个不相等的实数根，则2 1，故正确；故选：ABD 14、已知函数()=2,(,0),(0,1),2+4 3,1,+),若函数()=()恰有 2 个零点，则实数m可以是（）A1B0C1D2 答案：ABC 分析：转化为函数=()的图象与直线=恰有两个交点，画出函数()的图象，根据图象可得解.因为函数()=()恰有 2 个零点，所以函数=()的图象与直线=恰有两个交点，画出函数()的图象如图：10 由图可知，=1或 0，结合选项，因此可以为-1，0，1 故选：ABC 小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.15、若函数=(+1)（0且 1）的图像过第一、三、四象限，则必有（）A0 1C 0D 0 答案：BC 分析：对底数分情况讨论即可得答案.解：若0 0且 1）的图像过第一、三、四象限，所以 1 当 1时，要使=(+1)的图像过第一、三、四象限，则+1 1，即 0 故选：BC 小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.填空题 11 16、已知函数()=+1,0,log2,0 则函数=()的所有零点之和为_.答案：12 分析：利用分段函数，分类讨论，即可求出函数=()的所有零点，从而得解 解：0时，+1=0，=1，由()=1，可得+1=1或log2=1，=2或=12；0时，log2=0，=1，由()=1，可得+1=1或log2=1，=0或=2；函数=()的所有零点为2，12，0，2，所以所有零点的和为2+12+0+2=12 所以答案是：12 17、化简(2log43+log83)(log32+log92)=_ 答案：2 分析：结合log=log、换底公式化简计算即可 原式=(2 12log23+13log23)(log32+12log32)=43log23 32log32=2.所以答案是：2.18、已知log=2，log=3，log=5，则log=_ 答案：3031 分析：根据换底公式得到log=12，log=13，log=15，进而求出log，再用换底公式求出log.由log=2，log=3，log=5得：log=12，log=13，log=15，log=log+log+log=12+13+15=3130，所以log=3031 所以答案是：3031 解答题 12 19、近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为5，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250 万元，每生产千部手机，需另投入成本()万元，且()=102+100,0 40701+10000 9450,40，由市场调研知，每部手机的售价为 0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求 2020 年的利润()（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)2020 年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.答案：(1)()=102+600 250，0 40(+10000)+9200，40；(2)2020 年产量为 100 千部时，企业所获得利润最大，最大利润为 9000 万元.分析：（1）根据 2020 年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润()关于的解析式；（2）根据（1）求出利润()的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.（1）解：由题意可知，2020 年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，当0 40时，()=0.7 1000 (102+100)250=102+600 250 当 40时，()=0.7 1000 (701+10000 9450)250=(+10000)+9200，所以()=102+600 250，0 40(+10000)+9200，40.（2）当0 40时，()=102+600 250=10(30)2+8750，此时函数()开口向上的抛物线，且对称轴为=30，13 所以当=30时，()max=(30)=8750（万元）；当 40时，()=(+10000)+9200，因为+10000 2 10000=200，当且仅当=10000即=100时，等号成立，即当=100时，()max=(100)=200+9200=9000（万元），综上可得，当=100时，()取得最大值为9000（万元），即 2020 年产量为 100 千部时，企业获利最大，最大利润为 9000 万元.20、已知定义在(1,1)上的奇函数()在 (1,0)时，()=2+2(1)试求()的表达式；(2)若对于 (0,1)上的每一个值，不等式 2()4+14+1，令()=4+14+1，(0,1)，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；（1）解：()是定义在(1,1)上的奇函数，(0)=0，因为在 (1,0)时，()=2+2，设 (0,1)，则 (1,0)，则()=()=(2+2)，14 故()=2+202 2 (1,0)=0 (0,1).（2）解：由题意，2()4 1可化为 2(2 2)4+14+1，令()=4+14+1=1+24+1，(0,1)，因为=4+1在定义域(0,1)上单调递增，=2在(2,5)上单调递减，所以()在(0,1)上单调递减，()(0)=1+240+1=0，故 0