(试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法技巧.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法技巧技巧 单选题 1、函数=2 2（）A是上的减函数 B是上的增函数 C在(,0)上是减函数，在(0,+)上是增函数 D无法判断其单调性 答案：B 分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数()=2为上的增函数，指数函数()=2=(12)为上的减函数，故函数=2 2是上的增函数.故选：B.2、已知1=(13)，2=3，3=10，4=10，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）AB CD 答案：A 分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.2=3与4=10是增函数，1=(13)与3=10=(110)是减函数，在第一象限内作直线=1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选 A 故选：A 3、设()=log2(1+1)是奇函数，若函数()图象与函数()图象关于直线=对称，则()的值域为（）A(,12)(12,+)B(12,12)C(,2)(2,+)D(2,2)答案：A 分析：先求出()的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到()的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出()的值域 因为()=log2(1+1)，所以1+1=1+0可得 ，所以()的定义域为|，因为()是奇函数，定义域关于原点对称，所以 1=，解得=12，所以()的定义域为(,12)(12,+)，因为函数()图象与函数()图象关于直线=对称，所以()与()互为反函数，故()的值域即为()的定义域(,12)(12,+).故选：.4、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为55，33，2则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A甲同学和乙同学 B丙同学和乙同学 C乙同学和甲同学 D丙同学和甲同学 答案：C 分析：判断出55，33，2的大小关系即可得出答案.(55)10=52=25，(2)10=25=32 25 32 55 2 有55 2 33 又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄 故选：C.5、下列函数中是偶函数且在区间(0,+)单调递减的函数是（）A()=1|B()=(13)C()=lg|D()=13 答案：A 分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论 解：()=1|是偶函数且在区间(0,+)上单调递减，满足条件；()=(13)是非奇非 偶函数，不满足条件；()=lg|是偶函数，但在区间(0,+)上单调递增，不满足条件；()=13是奇函数不是偶函数，不合题意.故选：A 6、设=30.7,=(13)0.8,=log0.70.8，则,的大小关系为（）A B C D 1，=(13)0.8=30.8 30.7=，=log0.70.8 log0.70.7=1，所以 1 1时，函数递增；当0 1时，函数递增；当0 0的解集是（）A(1,1)B(,1)(1,+)C(0,1)D(,0)(1,+)答案：D 分析：作出函数=2和=+1的图象，观察图象可得结果.因为()=2 1，所以()0等价于2 +1，在同一直角坐标系中作出=2和=+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2 +1的解为 1.所以不等式()0的解集为：(,0)(1,+).故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.8、若32是函数()=22 +3的一个零点，则()的另一个零点为（）A1B2C（1，0）D（2，0）答案：A 分析：由32是函数()=22 +3的一个零点，可得值，再利用韦达定理列方程解出()的另一个零点 因为32是函数()=22 +3的一个零点，所以(32)=2 (32)2 32+3=0，解得=5设另一个零点为0，则0+32=52，解得0=1，所以()的另一个零点为 1 故选：A 9、中国的 5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：=log2(1+)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W信道内信号的平均功率S信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从 1000 提升至 5000，则C大约增加了（）（附：lg2 0.3010）A20%B23%C28%D50%答案：B 分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.将信噪比从 1000 提升至 5000 时，C大约增加了log2(1+5000)log2(1+1000)log2(1+1000)=log25001log21001log21001lg5000lg2lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1lg23 0.23=23%.故选：B.10、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为=若采摘后 10 天，这种水果失去的新鲜度为 10%，采摘后 20 天，这种水果失去的新鲜度为 20%那么采摘下来的这种水果多长时间后失去 40%新鲜度（）A25 天 B30 天 C35 天 D40 天 答案：B 分析：根据给定条件求出及10的值，再利用给定公式计算失去 40%新鲜度对应的时间作答.依题意，10%=1020%=20，解得=120,10=2，当=40%时，40%=120，即40%=120 10 10，解得10=4=(10)2=20，于是得 10=20，解得=30，所以采摘下来的这种水果 30 天后失去 40%新鲜度.故选：B 填空题 11、函数=1+1图象过定点，点在直线+=3(1,0)上，则11+2最小值为_.答案：92#4.5 分析：根据指数函数过定点的求法可求得(1,2)，代入直线方程可得(1)+2=2，根据11+2=12(11+2)(1)+2)，利用基本不等式可求得最小值.当=1时，=0+1=2，=1+1过定点(1,2)，又点在直线+=3上，+2=3，即(1)+2=2，1，0，1 0，11+2=12(11+2)(1)+2)=12(5+21+2(1)12(5+2212(1)=92（当且仅当21=2(1)，即=53，=23时取等号），11+2的最小值为92.所以答案是：92.12、若log2log3(log4)=0，则=_ 答案：64 分析：利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.log2log3(log4)=0 log3(log4)=1 log4=3 =43=64.所以答案是：64 小提示：本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.13、函数yloga(2x3)8 的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）_.答案：27 分析：由对数函数的图象所过定点求得点坐标，设出幂函数解析式，代入点的坐标求得幂函数解析式，然后可得函数值 由题意2 3=1，=2，则=8，定点A为(2,8)，设f(x)x，则 28，3，f(x)x3，f（3）3327.所以答案是：27 14、若log9(2+)=log3，则+8的最小值为_.答案：25 分析：利用对数的运算可得出1+2=1，分析出 0，0，将代数式+8与1+2相乘，展开后利用基本不等式可求得+8的最小值.因为log9(2+)=log3=log9，所以，2+=0，则 0，0，所以，+2=1+2=1，因为+8=(+8)(1+2)=17+8+2 17+282=25，当且仅当=2时，等号成立，故+8的最小值为25.所以答案是：25.15、已知log13 1，则实数a的取值范围为_ 答案：(13,1).分析：分0 1两种情况求解即可.解：当0 1，可得log13 log，解得13 1时，log13 1，可得log13 log，得 1，故无解.综上所述a的取值范围为：(13,1).所以答案是：(13,1).解答题 16、已知()是对数函数，并且它的图像过点(22,32)，()=()2 2 ()+3，其中 (1)当=2时，求=()在2,16上的最大值与最小值；(2)求=()在2,16上的最小值 答案：(1)最大值为 3，最小值为1(2)min=134,123 2,12 0，且 1），()的图像过点(22,32)，(22)=32，即log22=32，32=22=232，即=2，()=log2 2 16，log22 log2 log216，即12()4 设=()，则=()=2 4+3=(2)2 1，12,4，min=(2)=1，又(12)=(12 2)2 1=54，(4)=(4 2)2 1=3，max=(4)=3 当=2时，=()在2,16上的最大值为 3，最小值为1（2）解：设=()，则=()=2 2+3=()2+3 2，由（1）知 12,4，对称轴为直线=当 12时，()在12,4上是增函数 min=(12)=134；当12 4时，()在12,上单调递减，在,4上单调递减，min=()=3 2；当 4时，()在12,4上单调递减，min=(4)=19 8 综上所述，min=134,123 2,12 0，都有|()|M成立，则称()是D上的有界函数，其中M称为函数()的上界，已知函数()=14+2+1.(1)当a1 时，求函数()在(,0)上的值域，并判断函数()在(，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数()在0,)上是以 3 为上界的有界函数，求实数a的取值范围 答案：(1)(1,)，函数()在(,0)上不是有界函数，理由见解析；(2)5,1.分析：（1）应用换元法及二次函数的性质求yt2t1 在(1，+)上的值域，即知()的值域，进而判断()是否为有界函数.（2）将问题转化为(+4)a2 对t(0,1恒成立，求a的取值范围（1）当a1 时，y()=(12)2(12)+1(x0)，令t(12)，x1，yt2t1(12)2+34，y1，即函数()在(,0)上的值域为(1,)，不存在常数M0，使得|()|M成立 函数()在(，0)上不是有界函数（2）由题意知，|()|3 对x0,)恒成立，即3()3 对x0,)恒成立，令t(12)，x0，则t(0,1 (+4)a2 对t(0,1恒成立，即(+4)maxa(2)min.设h(t)(+4)，p(t)2，t(0,1，h(t)在(0,1上递增，p(t)在(0,1上递减，h(t)在(0,1上的最大值为h(1)5，p(t)在(0,1上的最小值为p(1)1.实数a的取值范围为5,1 19、（1）根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果 0，且 1，0，那么log=log()；（2）请你运用（1）中的对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（3）因为210=1024 (103,104)，所以210的位数为 4请判断20222023的位数（参考数据：lg2022 3.306，100.038 1.091）答案：（1）证明见解析；（2）1712；（3）6689 分析：（1）设=log，对数式改写为指数式，等式两边次方，然后指数式改写为对数式即得；（2）直接利用（1）中性质化简对数后计算即可得；（3）20222023=，取常用对数，利用（1）求得lg后可得的位数（1）设=log，则=，所以=()=，所以log=log=log，得证（2）lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg217lg26lg3=1712（3）设20222023=，则lg=2023lg2022 2023 3.306=6688.038，所以=106688.038=100.038 106688，又1 100.038 10，所以N有 6689 位数，即20222023的位数为 6689