线性方程组理论的有关应用本科论文.doc

线性方程组理论的有关应用

Applications on theory of linear equations

专 业: 数学与应用数学

作　　者:

指导老师:

学校
二○○

摘 要

本文介绍了线性方程组的一些理论, 在此基础上做了一定的推广, 并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用.
关键词: 线性方程组; 行列式; 非零解; 矩阵的秩; 解空间

Abstract

In this paper, we introduce some theories of linear equations, popularize some significant theories, and discuss these important theories of algebra in specific applications.
Keywords: linear equations; determinant; non-zero solution; rank of matrix; solution space

II

目 录

摘 要 I
ABSTRACT II
0 引言 1
1 关于线性方程组的一般理论 1
2 线性方程组理论的几个应用 2
2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用 2
2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用 5
2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用 7
参考文献 11

0 引言

目前, 新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以转化和解决. 同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画.
关于线性方程组的一般理论, 可参看文献[1-3,8-11], 一些专题研究可参看文献[4-7].

1 关于线性方程组的一般理论

在这一节, 我们回顾《高等代数》中关于线性方程组的一般理论. 对于任一个矩阵, 我们用表示的转置, 表示的秩, 表示自由未知量的个数, 表示的维数. 并且我们知道在经典的《高等代数》的教材中, 有以下关于线性方程组的结果.
定理1.1 含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.
定理 1.2 设齐次线性方程组
(1.1)
系数矩阵的秩. 且方程组(1.1)的解空间为. 则可以得到下列结论, 这里表示方程组(1.1)解空间的维数．

2 线性方程组理论的几个应用

2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用
(1) 在求解二元方程组上的应用
利用定理1.1可求解二元方程组, 求解时只需将其中一个变量作为常数即可.
例1 求下面方程组的全部解, 其中方程组为

解 将看成是常数, 则方程组可改写为
,
则有
.
求解得, . 代入方程组求解, 得到, . 故原方程组的全部解为
, .
例2 已知一次函数, 且, , 求的取
值范围.
解 应先找出与, 的关系, 有
, , ,
得

这是关于的三元齐次线性方程组, 显然方程组有非零解, 于是

化简为, 所以 因此
.
例3 等差数列的前项和为30, 前2项和为100, 则它的前3项和为
130; 170; 210; 260
解 由等差数列知识, 可设前n项和为，所以,
, , 考察以为未知数的方程组

由于该齐次线性方程组有非零解, 因此其系数行列式为0, 于是

即

化简, 得, 所以　　　　　　　
.
故选.
例4 已知, 求证, , 中至少有一个不小于．
证明 先找出, , 间的关系, 有

此关于, , 的齐次线性方程组有非零解, 于是

化简, ．假设结论不成立, 即
, , ,
易推出, 产生矛盾, 命题得证.
(2) 在证明一元次方程重根上的应用
由高等代数中多项式理论容易知道, 多项式的重因式必是的因式.因此, 的重根必是的的根, 且此根是与的公共根. 由此结论我们可以推广到以下结论如果是的重根, 则是的重根.下面我们就这一理论: 来看一看如何利用线性方程组理论证明方程的重根. 首先给出一个简单的结论:
设是方程与的公共根, 则也是的根, 从而有下列齐次线性方程组

其根为, 根不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即
.
由上述结论, 我们可以获得一个判断重根的方法.
例5 证明一元二次方程()有重根的充要条件是其判别式. 　
证明 对方程两边求导有. 一元二次方程有重根, 即其与有公共根, 由上面的结论有
.
展开运算即有. 推广到一元次方程. 设是

的根, 从而有下列齐次线性方程组

其根为不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即
.

2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用
例6 设为矩阵, 为矩阵, 且, 则.
证明 把矩阵分块为: , 则, . 从而, 其中是的解空间. 由定理1.2得. 于是.
例7 若是阶方阵，且, 则.
证明 因为
, （2.1）
又因即, 由例6知
　　　　 . （2.2）
由(2.1)(2.2)两式得.
分析以上三个例题, 很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决, 特别是例6，由, 容易联想到把的列向量作为齐次线性方程组的解向量, 从而获得解决. 下面讨论几个例子, 看起来似乎与齐次线性方程组无关系, 但经过仔细分析，我们将会发现, 仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决.
例8 设为矩阵, 为矩阵, 则.
证明 设为齐次线性方程组的解空间, 其中我们令. 由定理1.2知. 又因, 由例6于是我们知
.即.同理可得, 于是结论成立.
例9 设为阶方阵, 则.
证明 若为满秩矩阵, 则结论显然成立. 现设, 则存在自然数使得 . 设为齐次线性方程组的解空间, 则对任意, 有, 于是有, ，因, 故由定理1.2知, . 又因, 从而.
现设, 则. 由此得, 故. 于是. 从而, 由定理1.2得. 同理可得
　　　　　　　　　 .
例10 设为2阶方阵，且, 则.
证明 不考虑的情况, 则. 设, 但, 则, ,
. 设为齐次线性方程组的解空间, 与例5同样证明方法得
.
设, , 从而, 故,　从而,于是 　
. 同理. 故 .
例11 设为列矩阵, 从中任取出列, 组成矩阵, 有.
证明 设, , 并设为齐次线性方程组的任意解, 即有
　　　　　 　　.
于是
.
即　　　　　　　　

是齐次线性方程组的解. 故齐次线性方程组解空间的维数不小于齐次线性方程组解空间的维数. 由定理1知, 即
.
在一般教材或习题指导书中, 上面几个例题均不是以这种方法证明的, 例如, 例8常用的方法是利用向量的相互线性表出, 例9一般用到线性变换的方法, 例10则是讨论2阶矩阵的各种可能的情况, 例11用到极大无关组方面的性质. 这些方法彼此都不同, 学生难以在短时间内掌握, 而我们这里介绍的方法最重要的优点是方法统一. 涉及知识较少, 便于掌握, 且解题范围比较全面. 因此, 对齐次线性方程组解空间的理论加以灵活运用, 对提高学生解题信心, 积累解题技巧, 是十分有帮助的.

2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用
命题1 设有平面上四个点, . 矩阵, 如下
,
则这四点共圆的充分必要条件是矩阵与矩阵的秩相同, 即.
证明 设平面上圆的一般方程为, 其中为不全为零的常数, 考虑关于的方程组
(2.3)
则由线性方程组的理论可知: 四点, 共圆等价于关于, , 的线性方程组(2.3)有解等价于.
命题2 设平面上有条直线, , 且
, (2.4)
则这条直线相交于一点的充分必要条件是.
证明 考虑方程组

则由线性方程组理论可知: (1)这条直线相交于一点(只有一个公共点）等价于方程组; (2)有唯一解等价于.
命题3 设有空间四个点, .
，`
矩阵的秩, 则(i) 当时, 四点异面; (ii) 当时, 四点共面; (iii) 当时, 四点共线; (iv) 当时, 四点重合.
证明 对施行初等变换
,
从知.
(i) 当时,, 向量组, , 线性无关, 张成整个三维空间(2), 所以四点异面;
(ii) 当时, 不妨设的前两行线性无关, 向量, 线性无关, 于是该组向量可以将向量线性表示, 故四点共面, 但不共线．
(iii) 当时, , 与前面类似分析可得, ,共线;
(iv) 当时, , 即, , , 四点重合.
命题4 设有个平面,
　　　　　 　,
则(i) 这个平面只有一个公共点等价于; (ii) 这个平面相交于一条直线等价于;
证明 (i) 考虑方程组
（2.5）
则由方程组理论可知: 这个平面只有一个公共点等价于方程组(2.5)有唯一解等价
于.
(ii) 充分性 若, 则由线性方程组理论知, 方程组(2.5)有无穷多个解,其基础解系含有个解向量, 全部解为, 因此，这个平面相交于一条直线, 该直线的方向向量为.
必要性 若这个平面相交于一条直线, 则方程组(2.5)有无穷多个解, 从
. 又因为这个平面不重合, , 故.
命题5 设三角形三条边所在的直线方程分别为 已知
的代数余子式为, 则三角形的面积
. (2.6)
其中“±”的选取使为正值.
证明 将任意两条直线方程联立, 可得到三个方程组, 因三条边两两相交, 故这些方程组的系数行列式, , 均不为零且顶点分别为
, ,
从而
.

致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!

参考文献

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[2] 张禾瑞, 郝鈵新．高等代数(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.
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