第八章空间解析几何答案.doc

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第八章 空间解析几何与向量代数
§8.1向量及其线性运算
1。填空题
（1）点关于面对称的点为（)，关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.
(2）点关于轴对称的点为（）,关于轴对称的点为(），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为().
2。 已知两点和,计算向量的模、方向余弦和方向角。
解:因为,故,方向余弦为,，，方向角为,， .
3。 在平面上,求与、、等距离的点.
解：设该点为,则
，即，解得，则该点为。
4. 求平行于向量的单位向量的分解式。
解：所求的向量有两个，一个与同向,一个与反向. 因为，所以。
5。设，,求向量在各坐标轴上的投影及分向量。
解：因为， 所以在轴上的投影为，分向量为，轴上的投影为,分向量为,轴上的投影为，分向量为。
6. 在平面上，求与、和等距离的点.
解：设所求的点为，由可得，解之得，故所求的点为。
7. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标。
解：设点的坐标为,由题意可知，则，即点的坐标为。
8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之,则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.
证明：若、、是一个的三个顶点，设三角形的重心为，则
设的同比之分点分别为、、，分点的坐标为

则三角形的重心为
.
所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心。
§8。2 数量积 向量积
1。若,求的模.
解：

所以。
2.已知，证明：.
证明：由，可得，可知,展开可得，即，故.
3。已知，求.
解：因为

所以，
.
4.已知,，求与的夹角及在上的投影.
解：，
，. 因为，所以。
5。已知，，为单位向量，且满足，计算.
解：因为，所以
,
而，所以.
6.求与都垂直的单位向量.
解：
而，所以。
7.设，试证、、三点共线。
证明:只需证明.
因为，所以。
8。已知，，
（1）确定的值,使得与平行.
（2）确定的值，使得与垂直。
解：（1)要使与平行,只需，因为,而
,
所以当时与平行。
（2）要使与垂直，只需，因为，而，所以当时，与垂直。
§8.3 曲面及其方程
1。填空题
（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周,所生成的旋转曲面的方程为（)，绕轴旋转一周,所生成的旋转曲面的方程为(）。
(2）以点为球心,且通过坐标原点的球面方程为（）.
（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）。
2。求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面。
解：设动点为，由于，所以,解之，可得，即,所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面。
3.求与点和点等距离的动点的轨迹。
解:设动点为，由题意知
，
整理得.
4。 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形。
（1）.
解：该曲面为单叶双曲面.
（2)。
解：该曲面为双叶双曲面。
（3）。
解：该曲面为旋转椭球面。
(4）。
解：该曲面为双曲柱面。
（5)。
解：该曲面为椭圆抛物面.
（6）.
解：该曲面为椭圆锥面。
§8.4 空间曲线及其方程
1. 填空题
（1)二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是(两平面的交线，平行于轴且过点)。
(2）旋转抛物面在面上的投影为(），在面上的投影为（)，在面上的投影为（）。
2.求球面与平面的交线在面上的投影方程。
解：将代入,得，因此投影方程为.
3。分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程。
解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程。
在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.
在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程。
4。将下列曲线的一般方程化为参数方程：
（1）.
解：将代入得，即。 令，，所求的参数方程为
。
（2)。
解：做变换,将其带入方程，即得. 所以参数方程为（）.
5.求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
解：螺旋线在面上的投影为
,直角坐标方程为.
螺旋线在面上的投影为
，直角坐标方程为.
螺旋线在面上的投影为
，直角坐标方程为。
6。画出下列方程所表示的曲线：
（1)。
（2）.
(3)。
§8.5 平面及其方程
1。 填空题
(1）一平面过点且平行于向量 和,平面的点法式方程为（），平面的一般方程为(),平面的截距式方程（),平面的一个单位法向量为（）.
（2）设直线的方程为,当()时，直线过原点；当(）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交;当（）时,直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合。
2。求过三点，和的平面方程。
解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为

=0,即。
3.求过点且垂直于两平面和的平面方程。
解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.
4.求点到平面的距离。
解：点到平面的距离公式是,因此点到平面的距离为。
5.求平面与各坐标面的夹角的余弦.
解：所给平面的法向量为，设该平面与面、面和面的夹角为、和，于是
，
，
。
6。求过点且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程.
解：设所求平面的方程为,由于点在平面上，则，，所求方程为。
7。分别按下列条件求平面方程：
（1）平行于平面且经过点；
（2）通过轴和点；
（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程。
解：(1)平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为,即.
(2)所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为,即.
（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为。 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即。
§8。6 空间直线及其方程
1. 填空题
（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）。
(2）过点且与直线平行的直线的方程是（）。
(3)直线与直线的夹角为（）。
2.化直线为对称式方程和参数方程.
解:直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得,. 所以直线的对称式方程为.
令，所给直线的参数方程为.
3。求过点且与直线垂直的平面方程.
解:直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即
。
所求平面的方程为，即。
4. 求直线与直线夹角的余弦。
解：因为两直线的方向向量为，，设两直线的夹角为，则。
5. 求点在直线 上的投影。
解：过作垂直于已知直线的平面，则其法向量，于是平面的方程为，即.
将已知直线的参数方程代入，可得，因此点在直线上的投影即为平面与直线的交点。
6. 求直线在平面上的投影直线的方程。
解：设所给直线的平面束方程为，即
，其中为待定常数，要使该平面与已知平面垂直，则有，解得，将其代入，可得，因此直线在平面上的投影直线方程为.
7。确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.
解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.
8.求通过直线的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线.
解:设平面束方程为，即，. 设平行于直线的平面为，由，可知，令，代入直线的方程，可得平面的方程为,即。 设垂直于平面的平面为,由，可得，平面的方程为,即。
第八章 空间解析几何与向量代数综合练习
1。填空题：
（1）已知，，且与夹角为,则（）。
（2）若向量，平行，则（)。
（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z轴的夹角为锐角，则=（）.
（4）曲线 （a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是
（）.
（5)xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是 （）。
（6）直线与平面的夹角 的正弦（)。
（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）。
(8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（)。
（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等,则点的轨迹方程为（）。
(10）与两平面和等距离的平面方程为（）。
2。 设，,求向量，使得成立,这样的有多少个，求其中长度最短的.
解：设，则
,则，因此这样的，有无穷个.
由于，因此，当时，
即长度最短.
3。 已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.
解：设，则，,,故的面积为，显然，当时，的面积最小,为，所求点为。
4。 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.
解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.
5.求原点关于平面的对称点的坐标。
解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面,有，解得，即直线与平面的交点为。 设所求的对称点为，则，,，即所求的对称点为.
6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.
解:过作垂直于平面的平面,所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线。 平面的法向量为:，则过点的平面的方程为：
，即。 所以投影线为。 将投影线表示为以为参数的形式：,则绕轴的旋转面的方程为，即.
7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程。
解：设球心为，则
，即
。
又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为,所求球面方程为。
8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.
解:因为所求平面过，所以点在平面上。 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为,即.
9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.
解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为

要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为。
10。 设两个平面的方程为和
（1)求两个平面的夹角。 （2）求两个平面的角平分面方程。
（3）求通过两个平面的交线,且和坐标面垂直的平面方程。
解：(1)两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为,则
,
所以.
（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得 ，即，所求的角平分面方程为或。
（3)设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以,可得，因此所求的平面方程为.
11. 求直线绕轴旋转所得旋转曲面的方程。
解：由于空间曲线绕轴旋转所得旋转曲面的方程为,消去参数即可.
此直线的参数方程为 ,故该直线绕轴旋转所得旋转曲面的方程为，消去参数，旋转曲面的方程为.
12。 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）.
（2）.
（3)。
（4）。
(5),。
（6)，,,.