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第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程第五节第五节 平面及其方程平面及其方程第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 8.1 向量及其运算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数,与 a 的乘积是一个新向量,记作特别的:结合律运算律:分配律因此定理定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)abOiPxx点点P实数实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 直线上点的坐标直线上点的坐标平面上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点点M向量向量 平面的上点M的坐标为（x，y）的充分 必要条件是 向量向量定理定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)abOiPxx点点P实数实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 直线上点的坐标直线上点的坐标平面上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点点M向量向量 平面的上点M的坐标为（x，y）的充分 必要条件是 向量向量三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 O,坐标面 卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组称有序数组为点M的坐标,记为 M原点 O(0,0,0);坐标轴:坐标面:2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,任意向量 r 可用向径 OM 表示.四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:例例2.求解以向量为未知元的线性方程组解解:2 3,得代入得例例3.已知两点在AB直线上求一点 M,使解解:设 M 的坐标为如图所示及实数得即故说明说明:由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点,于是得中点公式中点公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例例4.求证以证证:即为等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三角形.为顶点例例5.在 z 轴上求与两点等距解解:设该点为解得故所求点为及思考思考:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.提示提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例例6.已知两点和解解:求2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O,称 =AOB(0 )为向量 的夹角.类似可定义向量与 轴,轴与 轴的夹角.与三坐标轴的夹角,为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作方向余弦的性质:例例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解解:计算向量例例8.设点 A 位于第一卦限,解解:已知角依次为求点 A 的坐标.则因点 A 在第一卦限,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴，y 轴的夹 3.向量的投影的概念向量的投影的概念空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影过点过点 作一平面作一平面与轴与轴 垂直，该垂直，该平面与轴平面与轴 交于交于一点一点 ，则，则 称为向量称为向量 在在 轴轴 上的分向量上的分向量，设，设 则称数则称数 为为 在在轴轴 上的投影，上的投影，记作记作 或或向量向量 在轴在轴 上的投影：上的投影：在三条坐标轴上的投影，即在三条坐标轴上的投影，即从而从而或或向量的投影具有与坐标相同的性质向量的投影具有与坐标相同的性质（是是 与与 轴的夹角）轴的夹角）作业：作业：p12-13习题习题8-1 1,3，4，5，13,14,15