第八章-向量代数与空间解析几何.doc

习题8-1
1. 自点分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.
解 在坐标面上的垂足坐标分别为、、，
在轴、轴、轴上垂足的坐标分别为、、.
2. 已知三角形个的三个顶点的坐标分别为、、，求该三角形的三边长度，此三角形由何特点？
解 ，
，
由于，且，故此三角形为等腰直角三角形.
3. 在轴上求与点和点等距离的点的坐标.
解 设轴上的点为，则
即 ，解得，故点为.
4. 求到两定点和等距离的点的轨迹.
解 由于，从而有

解得 .
5. 设平行四边形的两条对角线向量为和，求其四条边向量.
解 如意8-1所示，由向量加减法的平行四边形法则有
故，，
即平行四边形的四条边向量为、、、.

(图8-1) (图8-2)

6. 设、、、是一个四面体的顶点，、分别是边、的中点，证明：.
证 如图8-2所示，， ，
， ，
又 ，，于是.
7. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦、方向角及与平行的单位向量.
解 由于，则有
，，，，
方向角为，，，与平行的单位向量为.
8. 设，，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量.
解 ，故在轴上的投影为，在轴上的分向量为.
9. 一向量的终点在点，它在轴、轴及轴上的投影依次为和，求这向量的起点的坐标.
解 设起点，由
解得 .
10. 设，，，求与平行的单位向量.
解 ，故与平行的单位向量为
.
11. 设，，，试证、、三点共线.
证 因为

所以 平行，即、、三点共线.

12. 已知向量的模为，与轴正向夹角为，与轴正向夹角为，求向量.
解 设向量的方向余弦为、、，
由于，，，得
于是向量 .

习题8-2
1. 设，，求
（1）； （2）； （3）与夹角.
解 （1），，
；
（2）
；
（3）设与夹角为 ，则

.
2. 已知向量和相互垂直，且，，求
（1）；（2）； （3）与夹角.
解 （1）；
（2）；
（3）与夹角为，则
，故.
3. 已知，，，求.
解

两式相加，得

，
.
4. 已知、、，求：
（1）同时与及垂直的单位向量；
（2）三角形的面积；
（3）点到边的距离.
解 （1），，

故同时与及垂直的单位向量为；
（2）；
（3）由于，且，则.
5. 设平行四边形的对角线，，其中，，且，求平行四边形的面积.
解 设平行四边形的两邻边分别为、，则
，,
从而 ,
,
.
6. 已知向量、、两两垂直，且，，，求向量的长度，以及分别与、、的夹角.
解 ，于是，
；
；
；
所以 ，，.
7. 试用向量证明直径上的圆周角是直角.
证 取圆心为原点建立坐标系如图8-3所示，则圆周方程为，在圆周上任
取一点，直径，，，
，
则
故 ，即直径所对应的圆周角为直角，由圆周关于任意一条直径都对称的性质知，直径所对应的圆周角是直角.

(图8-3)
8. 判断下列两组向量、、是否共面：
（1），，；
（2），，.
解 （1），故、、不共面；
（2），故、、共面.
9. 计算顶点为、、、的四面体的体积.
解 ，，，则四面体的体积为
.
10. 如果存在向量同时满足，，证明：.
证 由于

习题8-3

1. 求出满足下列条件的各平面方程：
（1）过点且与平面平行；
（2）过三点、、；
（3）过点，且分别垂直于平面和平面；
（4）平行轴且过两点和；
（5）通过轴和点.
解 （1）设所求平面的法向量，可取平面的法向量为
故过点平面方程为
，即；
（2）由三点式平面方程知，所求平面方程为

即
；
（3）设所求平面的法向量，，
，
则所求平面方程为
，
即 ；
（4）设平面的一般式方程为，
由于平面平行轴，且点、在平面上，从而有

解得 ，，，且，故平面方程为；
（5）设过轴的平面为，且点在平面上，则由
，得，且
所以平面方程为 .
2. 求平面与各坐标面的夹角的余弦.
解 平面的法向量，取坐标面的法向量，坐标面的
法向量，坐标面的法向量，则平面与、、各坐标面的夹角余弦分别为，，.
3. 求过点和，且与坐标面的夹角为的平面.
解 设平面的一般式方程为，从而有
得
于是，所求平面方程为 .
4. 在轴上求一点，使它到点与到平面有相等的距离.
解 设轴上点，则 ，
又到的距离为

则有 ，即， 解得 或，
故所求点为或.
5. 试求平面与平面的夹角平分面的方程.
解 设为该平面上任取的一点，那么到两平面的距离相等，即有

于是有

故所求平面方程为
或 .
6. 设从原点到平面的距离为，试证明：
，
并由此求点到该平面的距离.
证 由点到平面的距离公式知 ，所以有，
即 .
点到平面的距离
.
7. 判别平面与下列各平面之间的位置关系：
（1）；（2）； （3）.
解 （1）取平面法向量，法向量，
由于与的坐标成比例，故与平行，且
所以两平面平行且距离为；
（2）取平面法向量，由于，故，即两平面相互垂直；
（3）取平面法向量，两平面夹角余弦

所以两平面斜交，夹角.

习题8-4
.
1. 求满足下列条件的各直线方程：
（1）过两点和；
（2）过点且平行于直线平行；
（3）过点且垂直于平面.
解 （1）直线的方向向量可取
于是直线方程为 ，
（2）直线的方向向量可取
则直线方程为 ；
（3）平面法向量，直线的方向向量可取
于是直线方程为 .
2. 用对称式方程和参数方程表示下列直线

解 直线的方向向量，可在直线上取一点，则直线的对称式方程和参数方程分别为
，
3. 求过点且与直线垂直相交的直线方程.
解 过点且垂直直线的平面方程为

即
解方程组，得直线与平面的交点为
由此可得， 故所求直线方程为.

4. 求直线在平面上的投影直线的方程.
解 设过直线的平面束方程为
，(为非零常数)
即
，
上述平面法向量为，已知平面法向量为
选择使，即 ，解得
故得与已知平面垂直的平面为
则所求投影直线为

5. 求过点且通过直线的平面方程.
解 为直线上的一点，直线的方向向量为，
则平面的法向量
故所求平面方程为
即 .
6. 已知平面及平面外一点，求点关于已知平面的对称点.
解 过点且垂直于平面的直线方程为

设关于已知平面的对称点，则有

解得 即对称点.
7. 设是直线外一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为，试证：点到直线的距离为
.
证 设向量与直线的方向向量的夹角为，则
.
8. 求点到直线的距离.
解 直线的方向向量，在直线上取一点，
则 ，
所以 .

习题8-5

1. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：
（1）; （2）；
（3）； （4）.
解 （1）在平面解析几何表示直线，空间解析几何中表示平面；
（2）在平面解析几何表示抛物线，空间解析几何中表示抛物柱面；
（3）在平面解析几何表示圆，空间解析几何中表示圆柱面；
（4）在平面解析几何表示双曲线，空间解析几何中表示双曲柱面.
2. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：
（1）； （2）.
解 （1）将平面上双曲线绕轴旋转一周；
（2）将平面上直线绕轴旋转一周.
3．根据常数的不同取值，分别讨论下列方程所表示的曲面是什么曲面.
（1）； （2）.
解 （1）当时，为椭圆抛物面，特别地当时为旋转抛物面, 当时，为抛物柱面，当时，为双曲面；
（2）当时，为旋转单叶双曲面，当时，为圆锥面，当时，为旋转双叶双曲面.
4. 作出下列曲面所围成的图形：
（1）；
（2），；
（3），，，，；
（4），，.
解 （1）见图8-4； （2）见图8-5

（图8-4） （图8-5）
（3）见图8-6； （4）见图8-7

（图8-6） （图8-7）

习题8-6

1. 将空间曲线转换成母线平行于坐标轴的柱面的交线方程.
解 曲线等价于，表示母线平行于轴的柱面与母线平行于
轴的柱面的交线，
或等价于，表示母线平行于轴的柱面与母线平行于轴
的柱面的交线.
2. 将下列曲线的一般方程转化为参数式方程：
（1） （2）.
解 （1）曲线的参数方程为 （）;
（2）曲线的参数方程为 （）.
3. 试分别确定常数的各组值，使得平面与圆锥面
的截痕为：
（1）一点； （2）一条直线； （3）两条相交直线； （4）圆；
（5）双曲线.
解 （1）取，，则平面与圆锥面的截痕为一点；
（2）取，，则平面与圆锥面的截痕为一条直线
（3）取，，则平面与圆锥面的截痕为为两条直线和
（4）取，，，则平面与圆锥面的截痕为圆
（5）取，，，则平面与圆锥面的截痕为为双曲线

4. 求下列曲线在三个坐标面上的投影曲线方程：
（1） （2）
解 （1）消去得曲线在面投影曲线方程：
消去得曲线在面投影曲线方程：
消去得曲线在面投影曲线方程：
（2）消去得曲线在面投影曲线方程：
消去得曲线在面投影曲线方程：
消去得曲线在面投影曲线方程：
5. 求由旋转抛物面与围成的立体在三个坐标面上的投影区域.
解 立体在面投影区域，
立体在面投影区域 ，
立体在面投影区域.

总复习题八
1. 填空题
（1）设，则 ；
（2）设，，，且，则 ；
（3）平面的圆（）绕轴旋转一周所得球面的方程为 ；
（4）点到平面的距离 ；
（5）设有直线与则与的夹角为 .
（1）答案 “”.
解 ；
（2）答案 “”.
解 ，由，
， 解得；
（3）答案 “”.
解 绕轴旋转环面的方程为
，即
所以
（4）答案 “”.
解 ；
（5）答案 “”.
解 和的方向向量分别为和
则 ，.
2. 选择题
（1）直线与平面的关系为（ ）；
（）在上 （）平行但不在上 （） （）一般斜交
（2）两条直线与的关系为（ ）；
（）平行 （）相交但不垂直 （）垂直相交 （）异面直线
（3）直线方程可化为（ ）；
（） （）
（） （）
（4）旋转曲面不是由平面曲线( )旋转而成的.
（）绕轴 （）绕轴
（）绕轴 （）绕 轴.

（1）答案 选（）.
解 直线的方向向量，为直线上一点，平面的法向量为，显然，且点不在平面上，故平行但不在上；
（2）答案 “”.
解 、的方向向量分别为、，则，直线与垂直，又、分别为、上的点，且
，即、在同一平面上；
（3）答案 选（）.
解 直线的方向向量，为直线上一点，故选（）；
（4）答案 选（）.
解 在曲线上任取一点，设是绕轴旋转轨迹上任一点，则有 故得旋转曲面方程为.

3. 已知，，，，且，求：
（1）为何值时，；
（2）为何值时，以为邻边所围成的平行四边形的面积为.
解 （1）由于，则，即
解得 ；
（2）由题设条件知
而
则有
所以 ， 或.
4. 设一平面通过从点到直线的垂线，且与平面垂直，求此平面方程.
解 过点且与直线垂直的平面的方程为
， 即
解方程组 得直线与平面的交点,
平面的法向量，则所求平面的法向量可取为

所以所求平面方程为 ，即 .
5. 求通过直线 且与点的距离为的平面方程.
解 设过直线的平面束方程为
（为非零常数）
即 ，
由点到平面的距离为，即

解得 或 ，所以所求平面方程为
或 .
6. 在面上求过原点，且与直线的夹角为的直线方程.
解 设所求直线方程为 即，直线的方向向量
由题意知 ， 得
于是，所求直线方程为
或

7. 求通过点，平行于平面，且又与直线
相交的直线方程.
解 过点作已知平面的平行平面，此平面方程为

即
求此平面与已知直线的交点，由

解得，交点为，故所求直线的法向量为
所求直线方程为
.
8.确定常数的值，使得平面与椭球面的交线为圆.
解 平面与椭球面的交线等价于方程组

要使交线为圆，只须，即 ，交线为

9. 求曲面和的交线在平面上的投影曲线方程.
解 由题设两曲面的方程消去，得交线在平面上的投影柱面方程

所求投影曲线方程为

10. 求两曲面与所围立体在三个坐标面上的投影区域.
解 两曲面的交线在面上的投影柱面为，则投影区域为
，
两曲面的交线在面上的投影柱面为，则投影区域为
，
两曲面的交线在面上的投影柱面为和，则投影区域为
.
11. 画出下列曲面所围立体的图形：
（1），，，；
（2），，；
（3），，，；
（4），，，.
解（1）见图8-8； （2）见图8-9；

(图8-8) (图8-9)

（3）见图8-10； （4）见图8-11.

(图8-10) (图8-11)