上海高中数学-复数讲义.pdf

复数一、知识点梳理：1、i 的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1奎屯王新敞新疆nZ44142430nnnniiiinZ2、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。,abi a bRab叫做复数集。N Z Q R C.|,Cabi a bR3、复数相等：；abicdiac 且b=d00abia 且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Zabiaa实数(b=0)复数一般虚数(b虚数(b纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。3,62ii5、复数的模：若向量表示复数 z，则称的模 r 为复数 z 的模，O Z O Z；22|zabiab积或商的模可利用模的性质（1），（2）112nnzzzzz112220zzzzz6、复数的几何意义：复数复平面内的点,zabi a bR 一一对应(,)Z a b，,Zabi a bR 一一对应复数平面向量O Z7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴奎屯王新敞新疆，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.,a b c dR复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.,a b c dR复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；=+=(a，b),a b c dROZ1OZ2OZ+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(ac)+(bd)i对应奎屯王新敞新疆由于，两1212Z ZOZOZ 个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，zBzA.，为两点间的距离。ABz BAABzABzz z 对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；，z 对应的点12|zzzz12Z Z0|zzr的轨迹是一个圆；，z 对应的点的轨迹是一个椭圆；1212|22zzzza Z Za，z 对应的点的轨迹是双曲线。1212|22zzzza Z Za10、显然有公式：12121222221212122zzzzzzzzzzzz11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.,a b c dR复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z1,z2,z3C 及 m,nN*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.复数的除法：(a+bi)(c+di)=，分母实12zzdicbia2222acbdbcadicdcd,a b c dR数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数；，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。,zabi zabi a bR22|zzab，2222,z zabR z zzz111212121222,zzzzzzzzzzzz13、熟记常用算式：，1ii ii2)1(2ii2)1(2iii11iii1114、复数的代数式运算技巧：（1）ii2)1(2ii2)1(2iii11iii11（2）“1”的立方根的性质：i2321 13201211115、实系数一元二次方程的根问题：（1）当时，方程有两个实根。042acb21,xx（2）当时，方程有两个共轭虚根，其中 。042acb21xx 此时有 且且。acxxxx212221aibx22,1注意两种题型：2 21 1x xx x(1 1)2 21 1x xx x(2 2)虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：1 12 2x xx x 0 0c cb bx xa ax x2 21 12 2x xx x（1）当时，042acbaacbxxxxxx44)(22122112(2)当时，042acb abacxxxxxx2212211244)(已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：2 21 1x x,x x0 0c cb bx xa ax x2 21 12 2x xx x（1）当时，042acb即，则,021 xx0acabxxxx2112即，则 ,021 xx0acaacbxxxxxxxx44)(2212212112（2）当时，042acbacxxxxx22221112二、典例分析：二、典例分析：例例 1 1（1）复数等于()(1+i)21i A.1i B.1+i C.1+i D.1i解析:复数=，选C(1+i)21i2(1)11iiiii （2）若复数同时满足2，（为虚数单位），则 zzziziziz解：已知；2211iZiZiZii（3）设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.adbc=0 B.acbd=0 C.ac+bd=0 D.ad+bc=0解析：（1）复数=为实数，,a b cR()()abi cdi()()acbdadbc i，选 D；0adbc（4）已知（）niminmniim是虚数单位，则是实数，其中11(A)1+2i (B)12i (C)2+i (D)2i 解析：，由、是实数，得，innmniim1111mnmnn101，故选择 C。inimmn221（5）设为实数，且，则 。,x y511 21 3xyiiixy解析：，(1)(12)2()()11 2252525xyxiyixyxyiii而 所以，解得 x1，y5，55(1 3)131 31022iii123252252xyxy且所以 xy4。点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。例例 2 2：（：（1 1）计算：19961232132iii 答案：i1（2 2）设复数 z 满足关系，求 z；izz2|解：设 z=a+bi（a,b 为实数），由已知可得ibabia222由复数相等可得：，解得，所以1222bbaa1,43baiz43设 z=a+bi-x+yi（a,b 为实数）复数问题实数化。（3 3）若，解方程Cxxix31|解：解：设 x=a+bi(a,bR)代入条件得:,由复数相等的定义可ibaba)3(122得：,a=4，b=3，x=4+3i。03122baba例例 3 3：(1)复数 z 满足，则 z 对应的点在复平面内表示的图形为（A）1|22izizA直线 B圆 C椭圆 D抛物线解：令 z=x+yi（x，yR），则 x2+(y+1)2x2+(y1)2=1，y=1/4。故选 A。（2 2）设复数 z 满足：，求|z|的最大值与最小值；3|33|iz解：|z|的最大值为，最小值为；333（3）已知 zC，|z2|=1 且复数 z2 对应的点落在直线 y=x 上，求 z。解：设 z2=a+ai，|z2|=1，22a或。iz22222iz22222【思维点拨思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设 z=a+bi 再利用条件，但运算复杂。(4)设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_。2|1,zCz)1(izu解：|u|=|1+i|=|z|，|u|2，故面积 S=。z222)2(222【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例例 4 4：已知 z=1+i，a，b 为实数，(1)若=z2+34,求|;z(2)若，求 a，b 的值。izzbazz1122解：（1）=(1+i)2+3(1i)4=1i，。2|（2）由条件，。iiiaba1)2()(iiaba1)2()(21ba【思维点拨】利用复数的充要条件解题。例例 5 5：设且是纯虚数，求的最大值。,Cz1zz|iz 解：解：令 z=x+yi（x，yR），则，是纯虚数，1zz222222)1()1(yxyyxxyx1zz，即，由数形0022yxyx)0(41)21(22yyx结合可知本题是求圆上的点到 A(0,1)的)0(41)21(22yyx1PO1/2xy最大距离。max=|PA|=。|iz 215 练习：1_8)2(2zizz均是纯虚数，则与已知复数iZ22.若，其中a、bR，i是虚数单位，则=（D ）ibiia)2(22ba A0 B2 CD5253.设复数i，则 1（）C2123（A）（B）2（C）（D）1214.复数的共轭复数是（B）iz11ABCDi2121i2121i1i15.若复数满足方程，则 （）Dz220z 3z A.B.C.D.2 22 22 2i2 2i6.设、，若为实数，则 (C )abcd Riiabcd(A)(B)(C)(D)0bcad0bcad0bcad0bcad7.如果复数是实数，则实数（）B2()(1)mimim A B C D11228.（）A2005)11(ii A B CDii20052200529.满足条件的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是（）C|zii 34 A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆10.若,，且为纯虚数，则实数 a的值为 12zai234zi12zz38a11.已知 Cniminmniim是虚数单位，则是实数，其中11(A)1+2i (B)1-2i (C)2+i (D)2-i 12、复数的虚部为3(1)i（A）3 （B）3 （C）2 （D）2 解析解析:复数=,所以它的虚部为2，选 D.31 i1 3322iii 13、在复平面内，复数对应的点位于1 ii（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解：故选 D；1 ii111iii（）点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。14、求满足条件:(i 为虚数单位)的复数 ziiizzz23)(2 解原方程化简为,iizzz1)(2 设 z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=-且 y=,2123 原方程的解是 z=-i.212315、已知，对于任意的 xR 均有|z1|z2|成立,试求ixxz1221iaxz)(22实数 a 的取值范围。解：|z1|z2|，对成2224)(1axxx0)1()21(22axaRx立。当，即时，不等式成立；021 a21a当时。综上得。021 a0)1)(21(40212aaa211a21,1(a【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。