1、复数一、知识点梳理:1、i的周期性:i4=1,所以,i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=12、复数的代数形式:,叫实部,叫虚部,实部和虚部都是实数。叫做复数集。NZQRC.3、复数相等:;4、复数的分类:虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是也没有大小。5、复数的模:若向量表示复数z,则称的模r为复数z的模, ;积或商的模可利用模的性质(1),(2)6、复数的几何意义:复数复平面内的点,7、复平面:这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面,其中x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复
2、数z1与z2的和:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数z1与z2的差:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义:复数z1=a+bi,z2=c+di;= +=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义:复数z1-z2的差(ac)+(bd)i对应由于,两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9. 特别地, zBzA.,为两点间的距离。z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线;, z对应的点的轨迹是一个圆;, z对应的点的轨迹是一个
3、椭圆;, z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式:11、复数的乘除法运算:复数的乘法:z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3C及m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.复数的除法:(a+bi)(c+di)= ,分母实数化是常规方法12、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复数;特别地,虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数;,两共轭复数所对应的点或向量关于实
4、轴对称。,13、熟记常用算式:,14、复数的代数式运算技巧:(1) (2)“1”的立方根的性质: 15、实系数一元二次方程的根问题:(1)当时,方程有两个实根 。(2)当时,方程有两个共轭虚根,其中 。此时有 且。注意两种题型: 虚系数一元二次方程有实根问题:不能用判别式法,一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知是实系数一元二次方程的两个根,求的方法:(1)当时,(2)当时, 已知是实系数一元二次方程的两个根,求的方法:(1)当时,即,则 即,则 (2)当时,二、典例分析:例1(1)复数等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 复数=,选C(2)若复数同时满足2
5、,(为虚数单位),则 解:已知;(3)设a、b、c、dR,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0解析:(1)复数=为实数,选D;(4)已知( )(A)1+2i (B) 12i (C)2+i (D)2i 解析:,由、是实数,得,故选择C。(5)设为实数,且,则 。解析:,而 所以,解得x1,y5,所以xy4。点评:本题考查复数的运算及性质,基础题。例2:(1)计算: 答案:(2)设复数z满足关系,求z;解:设z=a+bi(a,b为实数),由已知可得由复数相等可得:,解得,所以设z=a+bi-x+yi(a,b为实
6、数)复数问题实数化。(3)若,解方程解:设x=a+bi (a,bR)代入条件得:,由复数相等的定义可得: ,a=4,b=3,x=4+3i。例3:(1)复数z满足,则z对应的点在复平面内表示的图形为(A)A直线 B圆 C椭圆 D抛物线解:令z=x+yi(x,yR),则x2+(y+1)2x2+(y1)2=1,y=1/4。故选A。(2)设复数z满足:,求|z|的最大值与最小值;解:|z|的最大值为,最小值为;(3)已知zC,|z2|=1且复数z2对应的点落在直线y=x上,求z。解:设z2=a+ai,|z2|=1,或。【思维点拨】从整体出发利用条件,可简化运算,本题也可设z=a+bi再利用条件,但运算
7、复杂。(4)设,则复数,在复平面内对应的图形面积为_。解:|u|=|1+i|=|z|,|u|2,故面积S=。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例4:已知z=1+i,a,b为实数,(1)若=z2+34,求|; (2)若,求a,b的值。解:(1)=(1+i)2+3(1i)4=1i,。(2)由条件,。【思维点拨】利用复数的充要条件解题。例5:设且是纯虚数,求的最大值。 1PO1/2xy解:令z=x+yi(x,yR),则,是纯虚数,即,由数形结合可知本题是求圆上的点到A(0,1)的最大距离。max=|PA|=。练习:12.若,其中a、bR,i是虚数单位,则=( D )A0B2 CD5
8、3.设复数i,则1( ) C(A)(B)2(C) (D)4.复数的共轭复数是(B ) ABCD5.若复数满足方程,则 ( ) D A. B. C. D. 6. 设、,若为实数,则 ( C )(A) (B) (C) (D) 7.如果复数是实数,则实数( ) BA B C D8.( ) A A B CD9.满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )C A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆10.若 , ,且为纯虚数,则实数a的值为 11.已知 C(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 12、复数的虚部为(A)3 (B)3 (C)2 (D)2 解析:复数=,
9、所以它的虚部为2,选D.13、在复平面内,复数对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限解:故选D;点评:复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点,属于比较基本的题目,主要考察复数的的分类和几何性质。14、求满足条件:(i为虚数单位)的复数z 解原方程化简为, 设z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=, 原方程的解是z=-i.15、已知,对于任意的xR均有|z1|z2|成立,试求实数a的取值范围。解:|z1|z2|,对成立。当,即时,不等式成立;当时。综上得。【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。