上海高中数学-复数讲义.doc

复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=12、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。叫做复数集。NZQRC.3、复数相等：；4、复数的分类：虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。5、复数的模：若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模， ；积或商的模可利用模的性质（1），（2）6、复数的几何意义：复数复平面内的点，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(ac)+(bd)i对应由于，两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9. 特别地， zBzA.，为两点间的距离。z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；， z对应的点的轨迹是一个圆；， z对应的点的轨迹是一个椭圆；， z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3C及m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.复数的除法：(a+bi)(c+di)= ，分母实数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。，13、熟记常用算式：，14、复数的代数式运算技巧：（1） （2）“1”的立方根的性质： 15、实系数一元二次方程的根问题：（1）当时，方程有两个实根 。（2）当时，方程有两个共轭虚根，其中 。此时有 且。注意两种题型： 虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：（1）当时，(2)当时， 已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：（1）当时，即，则 即，则 （2）当时，二、典例分析：例1（1）复数等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 复数=，选C（2）若复数同时满足2，（为虚数单位），则 解：已知；（3）设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0解析：（1）复数=为实数，选D；（4）已知（ ）(A)1+2i (B) 12i (C)2+i (D)2i 解析：，由、是实数，得，故选择C。（5）设为实数，且，则 。解析：，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。例2：（1）计算： 答案：（2）设复数z满足关系，求z；解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得由复数相等可得：，解得，所以设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。（3）若，解方程解：设x=a+bi (a,bR)代入条件得:,由复数相等的定义可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。例3：(1)复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）A直线 B圆 C椭圆 D抛物线解：令z=x+yi（x，yR），则x2+(y+1)2x2+(y1)2=1，y=1/4。故选A。（2）设复数z满足：，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为，最小值为；（3）已知zC，|z2|=1且复数z2对应的点落在直线y=x上，求z。解：设z2=a+ai，|z2|=1，或。【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算复杂。(4)设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_。解：|u|=|1+i|=|z|，|u|2，故面积S=。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b为实数，(1)若=z2+34,求|; (2)若，求a，b的值。解：（1）=(1+i)2+3(1i)4=1i，。（2）由条件，。【思维点拨】利用复数的充要条件解题。例5：设且是纯虚数，求的最大值。 1PO1/2xy解：令z=x+yi（x，yR），则，是纯虚数，即，由数形结合可知本题是求圆上的点到A(0,1)的最大距离。max=|PA|=。练习：12.若，其中a、bR，i是虚数单位，则=（ D ）A0B2 CD53.设复数i，则1（ ） C（A）（B）2（C） （D）4.复数的共轭复数是（B ） ABCD5.若复数满足方程，则 （ ） D A. B. C. D. 6. 设、，若为实数，则 ( C )(A) (B) (C) (D) 7.如果复数是实数，则实数（ ） BA B C D8.（ ） A A B CD9.满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）C A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆10.若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 11.已知 C(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 12、复数的虚部为（A）3 （B）3 （C）2 （D）2 解析:复数=,所以它的虚部为2，选D.13、在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解：故选D；点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。14、求满足条件:(i为虚数单位)的复数z 解原方程化简为, 设z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=, 原方程的解是z=-i.15、已知，对于任意的xR均有|z1|z2|成立,试求实数a的取值范围。解：|z1|z2|，对成立。当，即时，不等式成立；当时。综上得。【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。