上海教材高中数学知识点总结(最全).pdf

WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享目录一、集合与常用逻辑二、不等式三、函数概念与性质四、基本初等函数五、函数图像与方程六、三角函数七、数 列八、平面向量九、复数与推理证明十、直线与圆十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步十三、立体几何十四、计数原理十五、概率与统计一、集合与常用逻辑一、集合与常用逻辑1 1集合概念集合概念 元素：互异性、无序性2 2集合运算集合运算 全集 U：如 U=R 交集：BxAxxBA且并集：BxAxxBA或补集：AxUxxACU且3 3集合关系集合关系 空集A子集:任意BA BxAxBABBABAABA注：数形结合-文氏图、数轴4 4四种命题四种命题原命题：若 p则q 逆命题：若 q则p否命题：若则 逆否命题：若q则pqp原命题逆否命题 否命题逆命题5 5充分必要条件充分必要条件p 是 q 的充分条件：qP p 是 q 的必要条件：qP p 是 q 的充要条件：pq6 6复合命题的真值复合命题的真值 q 真（假）“”假（真）qp、q 同真“pq”真 p、q 都假“pq”假 7.7.全称命题、存在性命题的否定全称命题、存在性命题的否定M,p(x）否定为:M,)(XpM,p(x）否定为:M,)(XpWORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享二、不等式二、不等式1一元二次不等式解法 若，有两实根，则0a02cbxax,)(解集02cbxax),(解集02cbxax),(),(注：若，转化为0a情况0a2其它不等式解法转化axaax22ax 或 axax ax22ax 0)()(xgxf0)()(xgxf（）)()(xgxfaa)()(xgxfa 1（）)(log)(logxgxfaaf xf xg x()()()001a3基本不等式 abba222若，则Rba,abba2注：用均值不等式、abba22)2(baab求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质三、函数概念与性质1 1奇偶性奇偶性f(x)偶函数f(x)图象关于轴对称()()fxf xyf(x)奇函数f(x)图象关于原点对称()()fxf x 注：f(x)有奇偶性定义域关于原点对称f(x)奇函数,在 x=0 有定义f(0)=0“奇+奇=奇”（公共定义域内）2 2单调性单调性f(x)增函数：x1x2f(x1)f(x2)或 x1x2f(x1)f(x2)或0)()(2121xxxfxff(x)减函数：？注：判断单调性必须考虑定义域f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3 3周期性周期性是周期恒成立（常数）T()f x()()f x Tf x0T4 4二次函数二次函数WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享解析式：f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x1)(x-x2)对称轴：顶点：abx2)44,2(2abacab单调性：a0，递减，递增2,(ab),2ab当abx2，f(x)minabac442奇偶性：f(x)=ax2+bx+c 是偶函数b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法-注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数 f(x)=ax+b 奇函数b=0四、基本初等函数四、基本初等函数1 1指数式指数式 )0(10aannaa1mnmnaa2 2对数式对数式 （a0,a1）bNalogNabNMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglog MnManaloglog abbmmalogloglogablglg naabbnloglogablog1注：性质 01loga1logaaNaNalog常用对数，NN10loglg15lg2lg自然对数，NNelogln1lne3 3指数与对数函数指数与对数函数 y=ax与 y=logax定义域、值域、过定点、单调性？注：y=ax与 y=logax 图象关于 y=x 对称（互为反函数）4 4幂函数幂函数 12132,xyxyxyxy在第一象限图象如下：xy 101 0WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享五、函数图像与方程五、函数图像与方程1 1描点法描点法 函数化简定义域讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2 2图象变换图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(hxfyxfy伸缩：)1()(xfyxfy倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx原点轴轴注：)(xfy ax直线)2(xafy翻折：保留轴上方部分，)(xfy|()|yf xx并将下方部分沿轴翻折到上方xy=f(x)cbaoyx y=|f(x)|cbaoyx)(xfy保留轴右边部分，(|)yfxy并将右边部分沿y轴翻折到左边y=f(x)cbaoyx y=f(|x|)cbaoyx3 3零点定理零点定理若，则在内有零点0)()(bfaf)(xfy),(ba（条件：在上图象连续不间断）)(xf,ba注：零点：的实根)(xf0)(xf在,ba上连续的单调函数)(xf，0)()(bfaf则)(xf在上有且仅有一个零点),(ba二分法判断函数零点-0)()(bfaf？六、三角函数六、三角函数1概念 第二象限角()2,22(kkZk 2弧长 扇形面积 rllrS213定义 rysinrxcosxytan其中是终边上一点，),(yxPrPO 4符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”5诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如，sin)2(Sinsin)2/cos(WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享6特殊角的三角函数值 0643223sin0212223101cos1232221010tg03313/0/7基本公式同角 1cossin22tancossin和差sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan倍角 cossin22sin 2222sin211cos2sincos2cos 2tan1tan22tan降幂 cos2=sin2=22cos122cos1叠加)4sin(2cossin)6sin(2cossin3)sin(cossin22baba)(tanba8三角函数的图象性质单调性：增 减 增)2,2(),0()2,2(y=sinxy=cosxy=tanx图象 sinxcosxtanx值域-1，1-1，1无奇偶奇函数偶函数奇函数周期22对称轴2/kxkx 无中心0,k0,2/k0,2/kWORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享注：Zk 9解三角形 基本关系基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos2sinCBA正弦定理正弦定理：=AasinBbsinCcsin ARasin2CBAcbasin:sin:sin:余弦定理余弦定理：a2=b2+c22bccosA（求边）cosA=（求角）bcacb2222面积公式面积公式：SabsinC21注：中，A+B+C=？ABCBABAsinsina2b2+c2 A2七七、数、数 列列1、等差数列定义定义：daann1 通项通项：dnaan)1(1求和求和：2)(1nnaanSdnnna)1(211中项中项：（成等差）2cabcba,性质性质：若，则qpnmaaaaqpnm2、等比数列定义定义：)0(1qqaann 通项通项：11nnqaa求和求和：)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn中项中项：（cba,成等比）acb 2性质性质：若 则qpnmqpnmaaaa3、数列通项与前n项和的关系)2()1(111nssnasannn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量八、平面向量1向量加减加减 三角形法则，平行四边形法则WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享首尾相接，=共始点 BCABACOCOBCB中点公式：是中点ADACAB2DBC2 向量数量积数量积 =bacos ba2121yyxx注：夹角：001800ba,同向：ba,baba3基本定理基本定理（不共线-基底）2211eea21,ee平行：（）ba/ba1221yxyx0b垂直：0baba02121yyxx模：a22yx 22)(baba夹角：cos|baba注注：（结合律）不成立0a cbacba（消去律）不成立cabacb 九、复数与推理证明九、复数与推理证明1复数概念复数复数：(a,b，实部 a、虚部 b biaz)R分类分类：实数（），虚数（），复数集 C0b0b注：是纯虚数，z0 a0b相等相等：实、虚部分别相等共轭共轭：biaz模模：22baz2zzz复平面复平面：复数 z 对应的点),(ba2复数运算加减加减：（a+bi）(c+di)=？乘法乘法：（a+bi）（c+di）=？除法除法：=dicbia)()(dicdicdicbia乘方乘方：，12inirrkii43合情推理类比类比：特殊推出特殊 归纳归纳：特殊推出一般 演绎演绎：一般导出特殊（大前题小前题结论）4直接与间接证明综合法综合法：由因导果比较法比较法：作差变形判断结论反证法反证法：反设推理矛盾结论分析法分析法：执果索因分析法书写格式：要证 A 为真，只要证 B 为真，即证，这只要证 C 为真，而已知 C 为真，故 A 必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享5数学归纳法：(1)验验证证当 n=1 时命题成立,(2)假假设设当 n=k(kN*，k1)时命题成立,证证明明当 n=k+1 时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数 n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆十、直线与圆1、倾斜角倾斜角 范围0,斜率斜率 2121tanyykxx注：直线向上方向与轴正方向所成的最小正角x倾斜角为时，斜率不存在902、直线方程直线方程点斜式，斜截式)(00 xxkyybkxy 两点式，截距式121121xxxxyyyy1byax 一般式0CByAx注意适用范围：不含直线0 xx不含垂直轴的直线x不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系位置关系（注意条件）平行 且12kk21bb 垂直 垂直121k k 12120A AB B4、距离公式距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(yyxx点到直线距离：0022AxByCdAB5、圆标准方程：圆心，半径222)()(rbyax),(bar圆一般方程一般方程：（条件是？）022FEyDxyx圆心 半径,22DE2242DEFr6、直线与圆直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 点在圆外22020)()(rbyax00,P xy7、直线截圆所得弦长弦长 222ABrd位置关系相切相交相离几何特征drdrdr代数特征000WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享十一、圆锥曲线十一、圆锥曲线一、定义椭圆椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)双曲线双曲线：|PF1|-|PF2|=2a(02ab0)双曲线双曲线12222byax(a0,b0)中心原点 对称轴？焦点 F1(c,0)、F2(-c,0)顶点:椭圆(a,0),(0,b)，双曲线(a,0)范围:椭圆-axa,-byb双曲线|x|a，yR焦距：椭圆 2c（c=22ba）双曲线 2c（c=22ba）2a、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆 0e1注：双曲线12222byax渐近线xaby方程表示椭圆122 nymxnmnm.0,0方程表示双曲线122 nymx0 mn抛物线抛物线 y2=2px(p0)顶点（原点）对称轴（x 轴）开口（向右）范围 x0 离心率 e=1焦点)0,2(pF 准线2px十十二二、矩矩阵阵、行行列列式式、算算法法初初步步十、算法初步十、算法初步一程序框图程序框名称功能起止框起始和结束 输入、输出框输入和输出的信息处理框赋值、计算判断框判断某一条件是否成立循环框重复操作以及运算WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享二基本算法语句及格式1 1 输入语句输入语句：INPUT“提示内容”；变量2 2 输出语句输出语句：PRINT“提示内容”；表达式3 3 赋值语句赋值语句：变量=表达式4 4 条件语句条件语句“IFTHENELSE”语句 “IFTHEN”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN语句 1 语句ELSE END IF语句 2END IF5 5 循环语句循环语句当型循环语句 直到型循环语句WHILE 条件 DO循环体 循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型当型“先判断后循环先判断后循环”直到型直到型“先循环后判断先循环后判断”三算法案例1、求两个数的最大公约数、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为 0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式、多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0的求值的求值秦九韶算法：v1=anx+an1 v2=v1x+an2 v3=v2x+an3 vn=vn1x+a0注：递推公式 v0=an vk=vk1X+ank(k=1,2,n)求 f(x)值，乘法、加法均最多 n 次3 3、进位制间的转换、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：0111011.)(.akakakakaaaannnnnn十进制数转换成 k 进制数：“除 k 取余法”例例 1 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3 例例 2 2 已知 f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，秦九韶算法求 f(5)12324827 v0=24812721 v1=255=5 271216 v2=554=2121363 v3=215+3=108623+0 v4=10856=534v5=5345+7=2677十三、立体几何十三、立体几何1三视图 正视图、侧视图、俯视图2直观图：斜二测画法=450X OY平行 X 轴的线段，保平行和长度平行 Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半WORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享3体积与侧面积V柱=S底h V锥=S底h V球=R3 3134S圆锥侧=S圆台侧=S球表=rllrR)(24 R4公理与推论 确定一个平面的条件确定一个平面的条件：不共线的三点 一条直线和这直线外一点两相交直线 两平行直线公理公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。5两直线位置关系 相交、平行、异面异面直线异面直线不同在不同在任何一个平面内6直线和平面位置关系 aaA/a7平行的判定与性质线面平行线面平行：，abab,aa，aba,b面面平行面面平行：，平面ABACABC，aa8垂直的判定与性质线面垂直线面垂直：ABCpACpABp面,面面垂直面面垂直：aa,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直三垂线定理三垂线定理：aPAaAOPO,aAOaPAPO,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？9空间角、距离的计算异面直线所成的角异面直线所成的角 范围（0，90 平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角直线和平面所成的角 范围0，90定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形二面角二面角 范围0，180定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形点到平面的距离点到平面的距离ab aPOAWORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享体积法-用三棱锥体积公式注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出10立体几何中的向量解法法向量求法法向量求法：设平面 ABC 的法向量=（x,y）n0,0,ACnABnACnABn解方程组，得一个法向量n线线角：线线角：设是异面直线的方向向量，12,n n 12,l l12,l l所成的角为，则21,coscosnn即12,l l所成的角等于或21,nn12,n n 线面角：线面角：设n是平面的法向量，是平面的AB一条斜线，与平面所成的角为，AB则nABnABABn,cossin二面角：二面角：设12,n n 是面的法向量，二面角 的大小为，则,l 或21,coscosnn21,cosnn即二面角大小等于21,nn或12,n n 点到面距离：点到面距离：若是平面的法向量，是平面的一条斜线段，且，nABB则点到平面的距离AAB ndn 十四、计数原理十四、计数原理1.计数原理 加法分类加法分类，乘法分步乘法分步2排列组合 差异-排列有序而组合无序公式公式=mnA)1()1(mnnn！)(mnn =mnCmmnnn21)1()1(！)(mnmn 关系关系：mnmnCmA！性质性质：=mnCmnnCnnnnnnCCCC22103排列组合应用题原则原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般解法解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”复杂问题“排除法”ABCWORD 格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享4二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(特例1(1)1nrrnnnxC xC xx 通项通项rrnrnrbaCT1)210(nr，注-第项二项式系数rnC1r性质性质：所有二项式系数和为n2中间项二项式系数最大赋值法赋值法：取等代入二项式1,1,0 x十五、概率与十五、概率与统统计计1古典概型：古典概型：（）()mP An总的基本事件个数包含的基本事件个数A求基本事件个数：列举法、图表法2几何概型几何概型：P A积）区域总长度（面积或体积）的区域长度（面积或体A注：试验出现的结果无限个3加法公式加法公式：若事件和互斥，则AB P ABP AP B 1P AP A 互斥事件互斥事件:不可能同时发生的事件对立事件对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件4常常用用抽抽样样（不放回）简单随机抽样简单随机抽样：逐个抽取（个数少）系统抽样系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）分层抽样分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）5用样本估计总体用样本估计总体 众数众数：出现次数最多的数据中位数中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）平均数平均数：niixnx11方差方差标准差)(112niixxnSs6频率分布直方图频率分布直方图小长方形面积=组距=频率组距频率各小长方形面积之和为 1众数最高矩形中点的横坐标中位数垂直于轴且平分直方图面积的直线与轴交点的横坐标xx