2021届高考数学二轮总复习-层级二-专题一-函数与导数-第三讲-导数的简单应用学案.doc

2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题一 函数与导数 第三讲 导数的简单应用学案2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题一 函数与导数 第三讲 导数的简单应用学案年级：姓名：第三讲导数的简单应用1(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()Axy10B2xy210C2xy210Dxy10解析：选C设yf(x)2sin xcos x，则f(x)2cos xsin x，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.2(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析：选Dyaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D3(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx解析：选D因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20.因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D4(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()解析：选D易知y2x2e|x|是偶函数，设f(x)2x2e|x|，则f(2)222e28e2，所以0f(2)1，所以排除A、B；当0x2时，y2x2ex，所以y4xex，又(y)4ex，当0x0，当ln 4x2时，(y)0，解得x1，令f(x)0，解得2x0)两个相邻的极值点，则()A2 BC1 D解析：选A由题意及函数ysin x的图象与性质可知，T，T，2.故选A 明 考 情 1高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问2高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题第一问3近几年全国卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略考点一导数的几何意义|析典例|【例】(1)(一题多解)已知函数f(x)在R上满足f(2x)2x27x6，则曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3(2)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2C1 D2解析(1)解法一：令x1得f(1)1，令2xt，可得x2t，代入f(2x)2x27x6得f(t)2(2t)27(2t)6，化简整理得f(t)2t2t，即f(x)2x2x，f(x)4x1，f(1)3，所求切线方程为y13(x1)，即y3x2.解法二：令x1得f(1)1，由f(2x)2x27x6，两边求导可得f(2x)(2x)4x7，令x1可得f(1)3，即f(1)3，所求切线方程为y13(x1)，即y3x2.(2)设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)因为曲线的导函数y，所以y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，所以y00，则x01，所以a2.答案(1)C(2)B| 规 律 方 法 |导数几何意义的应用类型及解题策略求切线方程(1)已知切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)已知过点P(x0，y0)(非切点)，可设切点为(x1，y1)，由求解即可已知斜率k，求切点(x1，f(x1)应先解方程f(x1)k得出x1，然后求出f(x1)即可|练题点|1若函数f(x)x3x3的图象在点P处的切线平行于直线y2x1，则点P的坐标为()A(1,3) B(1,3)C(1,3)或(1,3) D(1，3)解析：选Cf(x)3x21，令f(x)2，即3x212x1或1，又f(1)3，f(1)3，所以P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故点P的坐标为(1,3)或(1,3)2(2019福州质检)过点(1,1)与曲线f(x)x3x22x1相切的直线有()A0条 B1条C2条 D3条解析：选C设切点P(a，a3a22a1)，由f(x)3x22x2，当a1时，可得切线的斜率k3a22a2，所以(3a22a2)(a1)a3a22a，即(3a22a2)(a1)a(a2)(a1)，所以a1，此时k1.又(1,1)是曲线上的点且f(1)31，故切线有2条考点二利用导数研究函数的单调性|析典例|【例】(2019山西模拟)已知函数f(x)ln xax2(1a)x1，aR，讨论f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(0，)f(x)ax(1a).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增当a0时，f(x).方程f(x)0有两个不相等的实数根x1，x21，x200时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.| 规 律 方 法 |利用导数研究函数单调性的方法方法一：(1)确定函数f(x)的定义域(2)求导数f(x)(3)由f(x)0(或0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无减区间；当a0时，由f(x)0，得xln a；由f(x)0，得xln a，所以f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)(2)由g(x)0得f(x)0或x.先考虑f(x)在区间0,1内的零点个数，由(1)知，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，此时f(x)有一个零点；当ae时，f(x)在(，1)上单调递减且f(0)0，此时f(x)有一个零点；当1ae1时，f(x)有一个零点，当1e1或a2(1)时，g(x)有两个零点；当10，f(x)exx3x，求实数a的取值范围思路分析第(1)问：求什么，如何想讨论函数f(x)的极值点的个数，想到f(x)0的解的个数给什么，如何用题干中给出f(x)(x1)exax2，求出f(x)，然后解方程f(x)0，注意对参数a的分类讨论第(2)问：求什么，如何想求a的取值范围，想到建立a的不等式给什么，如何用题中给出对任意x0，f(x)exx3x成立，根据该不等式将参数a分离，然后构造函数求解规范解答(1)f(x)xex2axx(ex2a)当a0时，由f(x)0得x0得x0，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)有1个极值点；当0a0得x0，由f(x)0得ln(2a)x时，由f(x)0得xln(2a)，由f(x)0得0x0且a时，f(x)有2个极值点；当a时，f(x)没有极值点(2)由f(x)exx3x得xexx3ax2x0.当x0时，exx2ax10，即a对任意的x0恒成立设g(x)，则g(x).设h(x)exx1，则h(x)ex1.x0，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)0，即exx1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)g(1)e2，ae2，实数a的取值范围是(，e2.| 规 律 方 法 |1对于含参数的函数极值、最值问题，要注意分类讨论思想的应用，注意函数的零点不一定是极值点2在闭区间上图象连续的函数一定存在最大值和最小值，在不是闭区间的情况下，函数在这个区间上的最大值和最小值可能都存在，也可能只存在一个，或既无最大值也无最小值；在一个区间上，如果函数只有一个极值点，则这个极值点就是最值点|练题点|1已知函数f(x)x3ln x(aR)(1)若x3是f(x)的一个极值点，求a的值及f(x)的单调区间；(2)当a2时，求f(x)在区间1，e上的最值解：函数f(x)的定义域为(0，)(1)f(x)1，由x3是函数f(x)的一个极值点，得f(3)110，解得a0，此时f(x)1，x0.所以当x3时，f(x)0；当0x3时，f(x)0，f(x)1.所以当0x2时，f(x)0；当1x2时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2，)，单调递减区间为(1,2)又因为x1，e，所以f(x)在1,2)上单调递减，在(2，e上单调递增，所以f(x)在区间1，e上的最小值f(x)minf(2)13ln 2.又因为f(1)1，f(e)e3，f(e)f(1)e20，所以f(x)在区间1，e上的最大值f(x)maxf(1)1.2(2019福建福州模拟)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e上的最小值h(a)解：(1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa.因为x3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9，所以f(x)，所以当0x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.所以x3是f(x)的极小值点，所以f(x)的单调递增区间为和(3，)，单调递减区间为.(2)g(x)2.令g(x)0，得x1，x21.当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)g(1)a1；当1e，即2a2e时，g(x)在上为减函数，在上为增函数，h(a)galn a2a；当e，即a2e时，g(x)在1，e上为减函数，h(a)g(e)(1e)ae22e.综上，h(a)