1、2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题一 函数与导数 第三讲 导数的简单应用学案2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题一 函数与导数 第三讲 导数的简单应用学案年级:姓名:第三讲导数的简单应用1(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(,1)处的切线方程为()Axy10B2xy210C2xy210Dxy10解析:选C设yf(x)2sin xcos x,则f(x)2cos xsin x,f()2,曲线在点(,1)处的切线方程为y(1)2(x),即2xy210.2(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1,ae)处的切线方程为y2xb,则()Aae,b1 Bae,b1C
2、ae1,b1 Dae1,b1解析:选Dyaexln x1,ky|x1ae1,切线方程为yae(ae1)(x1),即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb,即ae1,b1.故选D3(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax,若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx解析:选D因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数,所以f(x)f(x),所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax,所以2(a1)x20.因为xR,所以a1,所以f(x)x3x,所以f(x)3x21,所以f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,0)
3、处的切线方程为yx.故选D4(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()解析:选D易知y2x2e|x|是偶函数,设f(x)2x2e|x|,则f(2)222e28e2,所以0f(2)1,所以排除A、B;当0x2时,y2x2ex,所以y4xex,又(y)4ex,当0x0,当ln 4x2时,(y)0,解得x1,令f(x)0,解得2x0)两个相邻的极值点,则()A2 BC1 D解析:选A由题意及函数ysin x的图象与性质可知,T,T,2.故选A 明 考 情 1高考对导数的几何意义的考查,多在选择、填空题中出现,难度较小,有时出现在解答题第一问2高考重点考查导数的应用,即利用导数研究
4、函数的单调性、极值、最值问题,多在选择、填空的后几题中出现,难度中等,有时出现在解答题第一问3近几年全国卷对定积分及其应用的考查极少,题目一般比较简单,但也不能忽略考点一导数的几何意义|析典例|【例】(1)(一题多解)已知函数f(x)在R上满足f(2x)2x27x6,则曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3(2)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切,则a的值为()A1 B2C1 D2解析(1)解法一:令x1得f(1)1,令2xt,可得x2t,代入f(2x)2x27x6得f(t)2(2t)27(2t)6,化简整理得f(t)2t2t,即f(x)2
5、x2x,f(x)4x1,f(1)3,所求切线方程为y13(x1),即y3x2.解法二:令x1得f(1)1,由f(2x)2x27x6,两边求导可得f(2x)(2x)4x7,令x1可得f(1)3,即f(1)3,所求切线方程为y13(x1),即y3x2.(2)设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0,y0),则y01x0,y0ln(x0a)因为曲线的导函数y,所以y|xx01,即x0a1.又y0ln(x0a),所以y00,则x01,所以a2.答案(1)C(2)B| 规 律 方 法 |导数几何意义的应用类型及解题策略求切线方程(1)已知切点A(x0,f(x0),则切线方程为yy0f(x0)(xx
6、0)(2)已知过点P(x0,y0)(非切点),可设切点为(x1,y1),由求解即可已知斜率k,求切点(x1,f(x1)应先解方程f(x1)k得出x1,然后求出f(x1)即可|练题点|1若函数f(x)x3x3的图象在点P处的切线平行于直线y2x1,则点P的坐标为()A(1,3) B(1,3)C(1,3)或(1,3) D(1,3)解析:选Cf(x)3x21,令f(x)2,即3x212x1或1,又f(1)3,f(1)3,所以P(1,3)或(1,3),经检验,点(1,3),(1,3)均不在直线y2x1上,故点P的坐标为(1,3)或(1,3)2(2019福州质检)过点(1,1)与曲线f(x)x3x22x
7、1相切的直线有()A0条 B1条C2条 D3条解析:选C设切点P(a,a3a22a1),由f(x)3x22x2,当a1时,可得切线的斜率k3a22a2,所以(3a22a2)(a1)a3a22a,即(3a22a2)(a1)a(a2)(a1),所以a1,此时k1.又(1,1)是曲线上的点且f(1)31,故切线有2条考点二利用导数研究函数的单调性|析典例|【例】(2019山西模拟)已知函数f(x)ln xax2(1a)x1,aR,讨论f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(0,)f(x)ax(1a).当a0时,f(x)0在(0,)上恒成立,f(x)在(0,)上单调递增当a0时,f(x).方程f(x
8、)0有两个不相等的实数根x1,x21,x200时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.| 规 律 方 法 |利用导数研究函数单调性的方法方法一:(1)确定函数f(x)的定义域(2)求导数f(x)(3)由f(x)0(或0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(,),无减区间;当a0时,由f(x)0,得xln a;由f(x)0,得xln a,所以f(x)的单调递减区间为(,ln a),单调递增区间为(ln a,)(2)由g(x)0得f(x)0或x.先考虑f(x)在区间0,1内的零点个数,由(1)知,当a1时,f(x)在(0,)上单调递增且f(0)0,此时f(x)有一个零点;当ae时,f(x)在(,1
9、)上单调递减且f(0)0,此时f(x)有一个零点;当1ae1时,f(x)有一个零点,当1e1或a2(1)时,g(x)有两个零点;当10,f(x)exx3x,求实数a的取值范围思路分析第(1)问:求什么,如何想讨论函数f(x)的极值点的个数,想到f(x)0的解的个数给什么,如何用题干中给出f(x)(x1)exax2,求出f(x),然后解方程f(x)0,注意对参数a的分类讨论第(2)问:求什么,如何想求a的取值范围,想到建立a的不等式给什么,如何用题中给出对任意x0,f(x)exx3x成立,根据该不等式将参数a分离,然后构造函数求解规范解答(1)f(x)xex2axx(ex2a)当a0时,由f(x
10、)0得x0得x0,f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增,f(x)有1个极值点;当0a0得x0,由f(x)0得ln(2a)x时,由f(x)0得xln(2a),由f(x)0得0x0且a时,f(x)有2个极值点;当a时,f(x)没有极值点(2)由f(x)exx3x得xexx3ax2x0.当x0时,exx2ax10,即a对任意的x0恒成立设g(x),则g(x).设h(x)exx1,则h(x)ex1.x0,h(x)0,h(x)在(0,)上单调递增,h(x)h(0)0,即exx1,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,g(x)g(1)e2,ae2,实数a的取值范围是(,e2.
11、| 规 律 方 法 |1对于含参数的函数极值、最值问题,要注意分类讨论思想的应用,注意函数的零点不一定是极值点2在闭区间上图象连续的函数一定存在最大值和最小值,在不是闭区间的情况下,函数在这个区间上的最大值和最小值可能都存在,也可能只存在一个,或既无最大值也无最小值;在一个区间上,如果函数只有一个极值点,则这个极值点就是最值点|练题点|1已知函数f(x)x3ln x(aR)(1)若x3是f(x)的一个极值点,求a的值及f(x)的单调区间;(2)当a2时,求f(x)在区间1,e上的最值解:函数f(x)的定义域为(0,)(1)f(x)1,由x3是函数f(x)的一个极值点,得f(3)110,解得a0
12、,此时f(x)1,x0.所以当x3时,f(x)0;当0x3时,f(x)0,f(x)1.所以当0x2时,f(x)0;当1x2时,f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,),单调递减区间为(1,2)又因为x1,e,所以f(x)在1,2)上单调递减,在(2,e上单调递增,所以f(x)在区间1,e上的最小值f(x)minf(2)13ln 2.又因为f(1)1,f(e)e3,f(e)f(1)e20,所以f(x)在区间1,e上的最大值f(x)maxf(1)1.2(2019福建福州模拟)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2
13、)求g(x)f(x)2x在区间1,e上的最小值h(a)解:(1)由已知得f(x)的定义域为(0,),f(x)2xa.因为x3是f(x)的极值点,所以f(3)0,解得a9,所以f(x),所以当0x3时,f(x)0;当x3时,f(x)0.所以x3是f(x)的极小值点,所以f(x)的单调递增区间为和(3,),单调递减区间为.(2)g(x)2.令g(x)0,得x1,x21.当1,即a2时,g(x)在1,e上为增函数,h(a)g(1)a1;当1e,即2a2e时,g(x)在上为减函数,在上为增函数,h(a)galn a2a;当e,即a2e时,g(x)在1,e上为减函数,h(a)g(e)(1e)ae22e.综上,h(a)