2022版高考数学一轮复习-课时质量评价48-双曲线新人教A版.doc

2022版高考数学一轮复习 课时质量评价48 双曲线新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时质量评价48 双曲线新人教A版

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姓名：

课时质量评价(四十八)
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．(2020·泸县第二中学高三月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
B　解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x.
因为两条渐近线互相垂直，所以－＝－1，得a＝b.因为双曲线的焦距为4，所以c＝2.
由c2＝a2＋b2得2a2＝8，解得a＝2，所以实轴长为2a＝4.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的顶点分别为A1，A2，以线段A1A2为直径的圆与直线ax＋by－2ab＝0相切，且双曲线C的焦距为4，则双曲线C的方程为(　　)
A．－y2＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1
A　解析：由题意知，圆的半径为a，圆心为(0,0)．设圆心到直线的距离为d，则d＝＝a，
所以a2＝3b2.
因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝，b＝1，
所以双曲线的方程为－y2＝1.
3．已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．－＝1(x<0) B．－＝1(x>0)
C．－＝1(x<0) D．－＝1(x>0)
A　解析：设动圆M的半径为r，由题意知，|MC1|＝r＋5，|MC2|＝r＋1，则|MC1|－|MC2|＝4<|C1C2|＝8，所以M点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝4，则b2＝12，所以动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x<0)．故选A．
4．(多选题)已知曲线C的方程为－＝1(k∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
AB　解析：对于A，当k＝8时，曲线C的方程为＋＝1，轨迹为椭圆，焦距为2c＝2＝4，A正确；
对于B，当k＝2时，曲线C的方程为－＝1，轨迹为双曲线，则a＝，c＝，所以离心率e＝＝，B正确；
对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解集为空集，所以不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C错误；
对于D，当k＝3时，曲线C的方程为－＝1，轨迹为双曲线，其渐近线方程为y＝±x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝＝＝≠3，
所以双曲线渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．
5．(2020·邢台市第二中学高三模拟)已知点A(0，－1)是抛物线x2＝2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|＝m|PA|.若双曲线C的中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为(　　)
A． B． C．＋1 D．＋1
C　解析：由点A在抛物线的准线上，得p＝2，故抛物线方程为x2＝4y，焦点坐标为F(0,1)．过点P作准线的垂线，垂足为N，如图所示，由抛物线定义可得|PN|＝|PF|.因为|PF|＝m|PA|，所以|PN|＝m|PA|，则＝m.当直线PA的斜率不存在时，m＝1.当直线PA的斜率存在时，设直线PA的倾斜角为α，则sin α＝m，当m取得最小值时，sin α最小，此时直线PA与抛物线相切．设直线PA的方程为y＝kx－1，代入抛物线方程得x2－4kx＋4＝0.由根的判别式Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，易得点P的坐标为(2,1)或(－2,1)．由题意可知，A，F是双曲线的两个焦点，所以|PA|－|PF|＝2－2＝2a，c＝1，所以双曲线的离心率为＝＋1.

6．(多选题)(2020·淄博市高三二模)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是(　　)
A．双曲线C的离心率为2
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
AC　解析：对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A选项正确，B选项错误；
设点P的坐标为(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C选项正确；
当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，
|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，
所以＝＝＝≤＝，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以的最大值为，D选项错误．
7．(2020·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
2　解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A的坐标为(a,0)．因为AB的斜率为3，所以＝3，即＝＝e＋1＝3，所以e＝2.
8．(2020·临沂市高三模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为____________．
x2－＝1　解析：由题意，圆F：(x－2)2＋y2＝3的圆心F(2,0)是双曲线C的右焦点，所以c＝2.
双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
因为双曲线C的渐近线与圆F相切，
所以圆心F(2,0)到直线y＝x的距离等于圆的半径，即＝，所以b2＝3a2.又c2＝a2＋b2＝4，所以a2＝1，b2＝3.所以双曲线C的方程为x2－＝1.
9．已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)的焦距为4，且它的渐近线与圆x2＋(y－m)2＝16有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形M，则几何图形M的面积为________．
16　解析：由双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，得－＝1，则c＝＝＝2，解得m＝4.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
圆x2＋(y－m)2＝16化为x2＋(y－4)2＝16，如图．

联立解得B(4,4)；
联立解得A(－4,4)．
所以几何图形M的面积为×8×4＝16.
10．(2021·黄冈中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
(1)解：因为e＝，所以双曲线的实轴、虚轴相等．
可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
因为双曲线过点(4，－)，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为－＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，
则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
因为点M在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2－3＝0，
所以·＝0.
(3)解：△F1MF2的底边|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±，
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，
所以S＝×4×＝6.
B组　新高考培优练
11．(2020·甘肃适应测试)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
D　解析：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.由余弦定理，得cos＝＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
12．已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点．若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A．[，＋] B．[2，＋1]
C．[2，＋] D．[，＋1]
D　解析：如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′.令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2.

由双曲线的定义可知r2－r1＝2a，①
因为点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，
所以|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，
所以r＋r＝4c2.②
由①②得r1r2＝2(c2－a2)，
又知S△MNF＝2S△MOF，
所以r1r2＝2×c2·sin 2β，
所以c2－a2＝c2·sin 2β，
所以e2＝.
又因为β∈，
所以sin 2β∈，
所以e2＝∈[2，(＋1)2]．
又e>1，所以e∈[，＋1]．
13．(2020·泉州模拟)已知椭圆M：＋＝1(a>0，b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
－1　2　解析：如图，设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A．

由题意可知A，因为点A在椭圆M上，所以＋＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2.因为b2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以e－8e＋4＝0，所以e＝4±2，所以e椭圆＝＋1(舍去)或 e椭圆＝－1，所以椭圆M的离心率为－1.因为双曲线的渐近线过点A，所以渐近线方程为y＝x，所以＝，故双曲线的离心率e双曲线＝＝2.
14．已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e－e＝________.若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.
0　3　解析：由题意得椭圆的半焦距满足c＝4－m，双曲线的半焦距满足c＝1＋n.
因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，
则4e－e＝4×－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.
不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，
则解得
所以|PF1|·|PF2|＝3.
15．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＝3，c2＝4.
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

所以k2≠且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)·(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
由·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
所以＞2，即＞0，
解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.