2022版高考数学一轮复习-课时质量评价62-离散型随机变量的分布列及数字特征新人教A版.doc

2022版高考数学一轮复习 课时质量评价62 离散型随机变量的分布列及数字特征新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时质量评价62 离散型随机变量的分布列及数字特征新人教A版

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姓名：

课时质量评价(六十二)
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5
C　解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
2．(2020·南宁二中高三月考)已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X.若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
A　解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，
解得p>或p<.
由p∈(0,1)可得p∈.故选A．
3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X.已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)
A． B． C． D．
B　解析：由题意可得，X～B.
又E(X)＝＝3，所以m＝2，
则X～B，故D(X)＝5××＝.
4．(2020·浙江重点高中联考)已知0<a<1，随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
(1－a)2
2a(1－a)
a2
若E(X)＝D(X)，则实数a的值为(　　)
A． B． C． D．
D　解析：(方法一)由随机变量X的分布列及数学期望和方差的计算公式可知，E(X)＝－(1－a)2＋a2＝2a－1，D(X)＝(－1－2a＋1)2(1－a)2＋(－2a＋1)2×2a(1－a)＋(1－2a＋1)2a2＝2a(1－a)．因为E(X)＝D(X)，所以2a－1＝2a(1－a)，得a＝.故选D．
(方法二)令Y＝X＋1，则X＝Y－1，随机变量Y的分布列为
Y
0
1
2
P
(1－a)2
2a(1－a)
a2
由二项分布的有关知识可知，Y～B(2，a)，
所以E(Y)＝2a，D(Y)＝2a(1－a)，
所以E(X)＝E(Y－1)＝E(Y)－1＝2a－1，
D(X)＝D(Y－1)＝D(Y)＝2a(1－a)．
又E(X)＝D(X)，所以2a－1＝2a(1－a)，得a＝.故选D．
5．(2020·红桥区高三一模)已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球．若2个球颜色不同则中奖，否则不中奖．设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，则ξ的期望为(　　)
A． B． C． D．
A　解析：由题意可知，每次摸球中奖的概率p＝1－＝，则ξ～B.
因此，ξ的期望为E(ξ)＝3×＝.故选A．
6．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支．设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)
A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6
B　解析：由题意可知，X可以为3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.
7．(2020·福建高三模拟)勤洗手、常通风、戴口罩是切断某些传染病传播的有效手段．经调查，某疫情期间，某小区居民人人养成了出门戴口罩的好习惯．选择佩戴一次性医用口罩的概率为p，每人是否选择佩戴一次性医用口罩是相互独立的．现随机抽取5位该小区居民，其中选择佩戴一次性医用口罩的人数为X，且P(X＝2)<P(X＝3)，D(X)＝1.2，则p的值为________．
　解析：因为D(X)＝1.2，所以5p(1－p)＝1.2，解得p＝或p＝.
因为P(X＝2)<P(X＝3)，所以Cp2(1－p)3<Cp3(1－p)2，解得p>，所以p＝.
8．2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率为________．
　解析：由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95,82)，
所以P(ξ＞95)＝，
故所求概率p＝C×＝.
9．(2020·大港一中高三二模)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班．现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为________；设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为________．
　　解析：设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，
则P(A)＝＝.
由题意知随机变量X的所有可能值为0,1,2,3，
且P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

所以随机变量X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．(2021·青岛二中月考)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：min)进行调查，将收集的数据分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六组，并作出频率分布直方图(如图)．将日均课外体育锻炼时间不低于40 min的学生评价为“课外体育达标”．

(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关．

课外体育不达标
课外体育达标
总计
男
60

女

110
总计

(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层随机抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查．记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解：(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.020＋0.005)×10]＝50，
则“课外体育不达标”人数为150，
所以列联表如下：

课外体育不达标
课外体育达标
总计
男
60
30
90
女
90
20
110
总计
150
50
200
所以χ2＝＝≈6.061<6.635.
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“课外体育达标”与性别有关．
(2)采用分层随机抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意可知，ξ的所有可能取值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P

故ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
B组　新高考培优练
11．(多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝
AB　解析：因为随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，
E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝×＋×＝.
在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；
在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝4，故B正确；
在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C错误；
在D中，D(X)＝，故D错误．
故选AB．
12．(多选题)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览．已知该游客游览A景点概率为，游览B，C和D景点的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，则(ABD)
A．游客至多游览一个景点的概率为
B．P(X＝2)＝
C．P(X＝4)＝
D．E(X)＝
13．(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则(　　)
A．抽取2次后停止取球的概率为
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数ξ的期望为2
D．取球次数ξ的方差为
BD　解析：设取球次数为ξ，可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝.
对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P(ξ＝2)＝，A选项错误；
对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝，B选项正确；
对于C选项，取球次数ξ的期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝，C选项错误；
对于D选项，取球次数ξ的方差为D(ξ)＝×＋×＋×＝，D选项正确．故选BD．
14．(2020·四川南充高三模拟)为弘扬新时代的中国女排精神．甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制(即某队先赢三局则获胜，比赛随即结束)．若两队的竞技水平和比赛状态相当，且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是________．
　解析：因为两队的竞技水平和比赛状态相当，所以每场比赛甲赢或乙赢的概率都是0.5.
设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ，则ξ的可能取值为3,4,5.
P(ξ＝3)＝C×＋C＝，
P(ξ＝4)＝C×××＋C×××＝，
P(ξ＝5)＝C×××＝，
所以ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P

E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝.
15．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7 000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；
方案二：交纳延保金10 000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．
某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
解：(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝××2＝，
P(X＝2)＝×＋××2＝，
P(X＝3)＝××2＋××2＝，
P(X＝4)＝×＋××2＝，
P(X＝5)＝××2＝，
P(X＝6)＝×＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P

(2)选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为
Y1
7 000
9 000
11 000
13 000
15 000
P

E(Y1)＝×7 000＋×9 000＋×11 000＋×13 000＋×15 000＝10 720(元)．
选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为
Y2
10 000
11 000
12 000
P

E(Y2)＝×10 000＋×11 000＋×12 000＝10 420(元)．
因为E(Y1)＞E(Y2)，所以该医院选择延保方案二较合算．