2022高考数学一轮复习-第五章-平面向量、数系的扩充与复数的引入-5.3-平面向量的数量积与平面向.docx

2022高考数学一轮复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.3 平面向量的数量积与平面向量的应用学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.3 平面向量的数量积与平面向量的应用学案北师大版

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姓名：

5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.平面向量的数量积

定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b

续　表

投影
|a|cos θ叫作向量a在b方向上的投影,|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

2.向量数量积的运算律

交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
数乘结
合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)

3.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.

向量的有
关概念
几何表示
坐标表示
模
|a|=a·a
|a|=x12+y12
数量积
|a||b|cos θ
x1x2+y1y2
夹角
cos θ=a·b|a||b|
cos θ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
A(x1,y1),
B(x2,y2)
两点的距离
|AB|=|AB|
|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
a⊥b的充
要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与
|a||b|的关系
|a·b|≤
|a||b|
|x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y22

4.向量在平面几何中的应用
(1)要证AB=CD,可转化为证明AB2=CD2或|AB|=|CD|.
(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式AB=λCD成立即可.
(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证AB·CD=0.
(4)求夹角问题,利用夹角公式cos θ=a·b|a||b|.

1.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量,且有正有负.(　　)
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.(　　)
(3)若a·b=0,则必有a⊥b.(　　)
(4)(a·b)·c=a·(b·c).(　　)
(5)在△ABC中,若AB·BC<0,则△ABC为钝角三角形.(　　)
2.(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=(　　)

A.-3135 B.-1935 C.1735 D.1935
3.(2019全国2,理3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=(　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
4.(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　　. 
5.(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
平面向量数量积的运算

【例1】(1)(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是(　　)

A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
(2)(2020北京,13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AB+AC),则|PD|=　　　　　;PB·PD=　　　　　. 
思考求向量数量积的运算有几种形式?
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
对点训练1(1)(2020北京朝阳期中,7)在△ABC中,AB=4,AC=3,且|AB+AC|=|AB-AC|,则BC·CA=(　　)
A.-12 B.-9 C.9 D.12
(2)(2020北京海淀期中,14)在边长为2的正三角形ABC中,M是BC的中点,D是线段AM的中点.①若BD=xBA+yBC,则x+y=　　　　;②BD·BM=　　　　. 

考点
平面向量的模及应用

【例2】(1)(2020陕西二模,文3)已知向量a=(1,-1),b=(x,2),且a⊥b,则|a+b|的值为(　　)
A.2 B.7 C.22 D.10
(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为　　　　　. 
思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?
解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.
2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
对点训练2(1)(2020湖南衡阳高三一模,文5)若|a|=2,|b|=2,且(a-b)⊥a,则|a-b|=(　　)
A.22 B.2 C.0 D.2
(2)已知向量OA,OB满足|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为2,则|tOA-OB|(t∈R)的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.5 D.2

考点
平面向量数量积的应用(多考向探究)

考向1　求平面向量的夹角
【例3】(1)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
(2)(2020山西太原三模,文8)已知向量e1,e2是夹角为π3的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为(　　)
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
思考两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系?
考向2　求参数的值或范围
【例4】(2020河北5月模拟,理9)已知AB=(1,0),BC=(-2,2).若(λAB+μAC)⊥BC且|μAC|=10,则λ+μ的值为(　　)
A.42 B.±42 C.62 D.±62
思考两向量的垂直与其数量积有何关系?
考向3　在三角函数中的应用
【例5】(2020河南高三质检,17)已知向量a=(2sin x,-sin 2x),b=(-23sin x,2),函数f(x)=a·b+23+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的递减区间.
思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?

考向4　在解析几何中的应用
【例6】(2020全国3,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若AC·BC=1,则点C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?
解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.
2.若a,b为非零向量,cosθ=a·b|a||b|(夹角公式),则a⊥b⇔a·b=0.
3.求一向量在另一向量上的投影有两种方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的数量积求.
4.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.
5.向量在解析几何中的作用
(1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
对点训练3(1)(2020湖南长郡中学联考)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=233|a|,则向量a+b与a-b的夹角为　　　　　. 
(2)(2020山东模考卷,3)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=(　　)
A.3 B.2 C.-2 D.-3
(3)(2020福建师大附中段考,10)设圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则PA·PB的取值范围是(　　)
A.-8,12 B.-16,34 C.[-8,1] D.[-16,1]
(4)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-35.
①求sin A的值;
②若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.

1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a与b的夹角.

有关概念
向量表示
坐标表示
向量a的模
|a|==
|a|=
a与b的数量积
a·b=|a||b|cosθ
a·b=x1x2+y1y2
a与b共线的
充要条件
a∥b(b≠0)⇔a=λb
a∥b⇔x1y2-x2y1=0
非零向量a,b垂直
的充要条件
a⊥b⇔a·b=0
a⊥b⇔x1x2+y1y2=0
向量a与b的夹角
cosθ=
cosθ=

2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.

　　4.向量在三角函数中的应用
对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形等问题.
5.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.
6.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).

1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏向量共线的情况.
2.|a·b|≤|a||b|当且仅当a∥b时等号成立.
3.注意向量夹角和三角形内角的关系.

数学运算——平面向量与三角形的“四心”
1.平面向量与三角形的“重心”问题
【例1】已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)

A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
答案C
解析取AB的中点D,则2OD=OA+OB,
因为OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],
所以OP=13[2(1-λ)OD+(1+2λ)OC]=2(1-λ)3OD+1+2λ3OC,又因为2(1-λ)3+1+2λ3=1,
所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
2.平面向量与三角形的“垂心”问题
【例2】已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
答案B
解析因为OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC,所以AP=OP-OA=λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC.
所以BC·AP=BC·λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC=λAB·BC|AB|cosB+AC·BC|AC|cosC=λ(-|BC|+|BC|)=0.
所以BC⊥AP,则点P在边BC的高线上.故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
3.平面向量与三角形的“内心”问题
【例3】在△ABC中,AB=5,AC=6,cos A=15,O是△ABC的内心,若OP=xOB+yOC,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A.1063 B.1463 C.43 D.62
答案B
解析根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC的面积的2倍.
在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a=7.
设△ABC的内切圆的半径为r,则12bcsinA=12(a+b+c)r,解得r=263,
所以S△BOC=12×a×r=12×7×263=763.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC=1463.
4.平面向量与三角形的“外心”问题
【例4】已知在△ABC中,AB=1,BC=6,AC=2,点O为△ABC的外心,若AO=xAB+yAC,则有序实数对(x,y)为(　　)
A.45,35 B.35,45
C.-45,35 D.-35,45
答案A
解析取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则OM⊥AB,ON⊥AC,OM=AM-AO=12AB-(xAB+yAC)=12-xAB-yAC,ON=AN-AO=12AC-(xAB+yAC)=12-yAC-xAB,
由OM⊥AB,得12-xAB2-yAC·AB=0,①
由ON⊥AC,得12-yAC2-xAC·AB=0.②
又因为BC2=(AC-AB)2=AC2-2AC·AB+AB2,所以AC·AB=AC2+AB2-BC22=-12,③
把③代入①,②得1-2x+y=0,4+x-8y=0,解得x=45,y=35.故实数对(x,y)为45,35.

5.3　平面向量的数量积与
平面向量的应用
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.D　∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos<a,a+b>=a·(a+b)|a||a+b|=195×7=1935.
3.C　由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.5　由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.
5.22　由题意可知,a·b=|a||b|cos45°=22.∵ka-b与a垂直,∴(ka-b)·a=k|a|2-a·b=k-22=0,∴k=22.
关键能力·学案突破
例1

(1)A　(2)5　-1
(1)如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),∴AP·AB=2x+0×y=2x.
∵-1<x<3,∴AP·AB的取值范围为(-2,6),故选A.
(2)

以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),AP=12AB+AC=(2,1),则点P(2,1),∴PD=(-2,1),PB=(0,-1),
因此,|PD|=(-2)2+12=5,PB·PD=0×(-2)+1×(-1)=-1.
对点训练1(1)B　(2)34　1　(1)因为|AB+AC|=|AB-AC|,所以以AB,AC为邻边组成的四边形的对角线相等,所以该四边形为矩形.
故BC·CA=(AC-AB)·(-AC)=-AC2+AB·AC=-9+|AB||AC|cosA=-9+0=-9.
(2)如下图,BD=12(BA+BM)=12BA+12BC=12BA+14BC,所以x=12,y=14,x+y=34.
BD·BM=12BA+14BC·12BC=14BA·BC+18BC2=14×2×2×cos60°+18×4=12+12=1.

例2(1)D　(2)5　(1)由a⊥b,得a·b=x-2=0,解得x=2.所以a+b=(3,1),所以|a+b|=32+1=10.故选D.
(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),

设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以|PA+3PB|=25+(3b-4y)2(0≤y≤b),所以当y=34b时,|PA+3PB|取得最小值5.
对点训练2(1)D　(2)D　(1)∵|a|=2,|b|=2,(a-b)⊥a,
∴(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2,
∴|a-b|=a2-2a·b+b2=2-2×2+4=2.故选D.
(2)由于|OA|=|OB|=2,说明O点在AB的垂直平分线上.当C是AB的中点时,|OC|取最小值,最小值为2,此时OA与OC的夹角为45°,OB与OC的夹角为45°,
∴OA与OB的夹角为90°,∴|tOA-OB|2=OB2+t2OA2-2tOA·OB=4t2+4(t∈R),当t=0时,4t2+4的最小值是4,
即|tOA-OB|的最小值是2.故选D.
例3(1)B　(2)C　(1)因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,
则cosθ=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,
所以a与b的夹角为π3,故选B.
(2)根据条件,∵|e1|=|e2|=1,e1·e2=12,∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6e12+e1·e2+2e22=-6+12+2=-72,a2=4e12+4e1·e2+e22=7,
b2=9e12-12e1·e2+4e22=7.
∴cos<a,b>=a·b|a||b|=-727·7=-12,∴a与b的夹角为2π3.
例4B　因为AB=(1,0),BC=(-2,2),所以AC=AB+BC=(-1,2),由|μAC|=10,得5|μ|=10,所以|μ|=2.因为(λAB+μAC)⊥BC,所以(λAB+μAC)·BC=0,即λAB·BC+μAC·BC=0,即-2λ+6μ=0,所以λ=3μ,所以λ+μ=4μ=±42.故选B.
例5解(1)因为a=(2sinx,-sin2x),b=(-23sinx,2),所以a·b=-43sin2x-2sin2x=-43·1-cos2x2-2sin2x=23cos2x-2sin2x-23.所以f(x)=23cos2x-2sin2x+1=4cos2x+π6+1,故函数f(x)的最小正周期是T=2π2=π.
(2)由f(x)=4cos2x+π6+1,得2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),所以函数f(x)的递减区间为kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z).
例6A　以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),由AC·BC=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.
对点训练3(1)π3　(2)A　(3)C　(1)由|a+b|=|a-b|,得a⊥b,则a·b=0,
将|a+b|=233|a|两边平方,得a2+b2+2a·b=43a2,所以b2=13a2.
设a+b与a-b的夹角为θ,所以cosθ=(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=a2-b2233|a|·233|a|=23a243a2=12.又因为θ∈[0,π],所以θ=π3.
(2)因为a=(1,1),b=(-1,3),所以a-λb=(1+λ,1-3λ).又因为(a-λb)⊥c,c=(2,1),所以2(1+λ)+(1-3λ)=0,即2+2λ+1-3λ=0,解得λ=3.
(3)

圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则PA·PB=
|PA||PB|cos∠APB,当三点A,P,B共线,两个向量方向相反时,数量积取得最小值为2×4×(-1)=-8.当∠BPN=60°,∠APB=60°时,
PA·PB=|PA||PB|cos∠APB=1×2×12=1.则PA·PB的取值范围是[-8,1].
(4)解①由m·n=-35,
得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35,所以cosA=-35.
因为0<A<π,
所以sinA=1-cos2A=45.
②由正弦定理得asinA=bsinB,
则sinB=bsinAa=5×4542=22,
因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=π4.
由余弦定理得(42)2=52+c2-2×5c×-35,解得c=1,c=-7(舍去),
故向量BA在BC方向上的投影为
|BA|cosB=ccosB=1×22=22.