2022版高考数学一轮复习-24-三角函数的性质与图像训练新人教B版.doc

2022版高考数学一轮复习 24 三角函数的性质与图像训练新人教B版

2022版高考数学一轮复习 24 三角函数的性质与图像训练新人教B版

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二十四　三角函数的性质与图像
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
B　解析：由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，
得－<x<＋(k∈Z)，
所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
A　解析：因为0≤x≤9.所以－≤x－≤，所以sin∈.所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.
3．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点对称，那么|φ|的最小值为
(　　)
A. B.
C. D.
A　解析：由题意得3cos＝
3cos＝3cos＝0，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
所以φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得|φ|的最小值为.
4．同时满足f(x＋π)＝f(x)与f ＝f 的函数f(x)的解析式可以是
(　　)
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x
D　解析：由题意得所求函数的周期为π，且图像关于直线x＝对称．
f(x)＝cos 2x的周期为π，而f ＝0不是最值，所以图像不关于直线x＝对称．
f(x)＝tan x的周期为π，但图像不关于直线x＝对称．
f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．
f(x)＝sin 2x的周期为π，且f ＝1为最大值，所以D项满足条件．故选D.
5．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是
(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
A　解析：作出函数f(x)＝|cos 2x|的图像如图所示．

由图像可知f(x)＝|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减．f(x)＝cos |x|的周期为2π；f(x)＝sin |x|不是周期函数．故选A.
6．函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为________．
3　解析：因为0≤x≤π，所以≤3x＋≤.由题意可知3x＋＝，3x＋＝，或3x＋＝，解得x＝，或，故有3个零点．
7．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)与直线y＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x＝是f(x)图像的一条对称轴，则φ＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
　，k∈Z　解析：由题意，得A＝3，T＝π，
所以ω＝2，
所以f(x)＝3sin(2x＋φ)．
又f ＝3或f ＝－3，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.
因为|φ|＜，
所以φ＝，
所以f(x)＝3sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
8．若x＝是函数f(x)＝sin(x∈R)的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f(x)的最小正周期为________．
π　解析：依题意知f＝·sin＝0，即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z.又因为0＜ω＜10，所以0＜8k＋2＜10，得－＜k＜1.而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，所以f(x)＝sin，最小正周期为π.
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图像过点，求f(x)的单调递增区间．
解：因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π.
所以ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．
所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)．
展开整理，得sin 2xcos φ＝0.
上式对任意x∈R都成立，
所以cos φ＝0.因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)因为f(x)的图像过点，
所以sin＝，
即sin＝.
又因为0＜φ＜，所以＜＋φ<π.
所以＋φ＝，所以φ＝.所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[0，π]，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解：(1)若a＝－1，则f(x)＝－·sin＋b－1.
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤.
所以－≤sin≤1.
依题意知a≠0.
当a>0时，
解得a＝3－3，b＝5；
当a<0时，
解得a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
B组　新高考培优练
11．(多选题)已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，则下列说法正确的是(　　)
A．若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2
B．f(x)的最小正周期是2π
C．f(x)在区间上递增
D．f(x)的图像关于直线x＝对称
CD　解析：f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故A错误；f(x)的最小正周期为π，故B错误；当x∈时，2x∈，故C正确；因为f ＝sin ＝－，故f(x)的图像关于直线x＝对称，故D正确．
12．(2021·衡水中学调研)直线y＝a与函数f(x)＝tan(ω>0)的图像的相邻两个交点的距离为2π.若f(x)在(－m，m)(m>0)上单调递增，则m的取值范围是
(　　)
A. B.
C. D.
B　解析：因为直线y＝a与函数f(x)的图像的相邻两个交点的距离为一个周期，所以ω＝，所以f(x)＝tan.
由kπ－<x＋<kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)在上单调递增，故(－m，m)⊆，解得0<m≤.故选B.
13．重庆被誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图像)相结合．已知拱桥部分长552 m，两端引桥各有190 m，主桁最高处距离桥面89.5 m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是(　　)

A．y＝0.45cosx B．y＝4.5cosx
C．y＝0.9cosx D．y＝9cosx
A　解析：设主桁部分对应的余弦函数为f(x)＝Acos wx，
可得周期T＝552＋190×2＝932，即w＝＝.
又由2A＝89.5，得A＝.所以f(x)＝cosx.
按1∶100的比例等比变换，可得f(x)＝cosx，对比选项，可得与函数y＝0.45cosx相似．故选A.
14．已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图像的一条对称轴为直线x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则ω＝________；函数f(x)的零点是________．
　x＝或x＝－，k∈Z　解析：由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图像的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝k＋.又ω∈(1,2)，所以ω＝，所以函数f(x)＝2sin＋1.令f(x)＝0，即sin＝－，所以x－＝2kπ－或2kπ－，k∈Z，解得x＝或x＝－，k∈Z，即函数f(x)的零点为x＝或x＝－，k∈Z.
15．设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：
①f(x)的最小正周期为π；
②f(x)在区间上单调递增；
③f(x)的图像关于点对称；
④f(x)的图像关于直线x＝对称．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式)________．(用到的论断都用序号表示)
①④⇒②③或①③⇒②④　解析：若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)．同时，若f(x)的图像关于直线x＝对称，则sin＝±1.又－＜φ＜，所以2×＋φ＝，所以φ＝，此时f(x)＝sin，②③成立．故①④⇒②③.若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)．同时，若f(x)的图像关于点对称，则2×＋φ＝kπ，k∈Z.又－＜φ＜，所以φ＝，此时f(x)＝sin，②④成立．故①③⇒②④.
16．已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求函数y＝f(x)图像的对称轴方程；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
解：(1)f(x)＝a·b＋＝(sin x，cos x)·(cos x，－cos x)＋＝sin x·cos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
即函数y＝f(x)图像的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝对称，
则x1＋x2＝，
所以cos(x1－x2)
＝cos
＝cos
＝cos
＝sin＝f(x1)＝.