资源描述
三角函数的图象与性质
课时作业
1．y＝|cosx|的一个单调递增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D．
答案 D
解析 作出y＝|cosx|的图象(如图)．易知是y＝|cosx|的一个单调递增区间．应选D.
2．(2022·石家庄模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
3．(2022·福州模拟)以下函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案 A
解析 对于A，注意到y＝sin＝cos2x的周期为π，且在上是减函数．应选A.
4．(2022·厦门模拟)函数y＝sin＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )
A. B．
C. D．
答案 B
解析 对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z.当k＝1时，x＝，y＝1.应选B.
5．函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝对称，那么实数a的值为( )
A．－ B．－
C. D．
答案 B
解析 由题意知f(0)＝f，即a＝sin＋acos，即a＝sin＋acos，∴a＝－－a，即a＝－.
6．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，那么f的值是( )
A．0 B．
C．1 D．
答案 D
解析 由条件可知，f(x)的周期是.由＝，得ω＝4，所以f＝tan＝tan＝.
7．(2022·桂林模拟)假设函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，那么φ＝( )
A. B．
C. D．
答案 C
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，即直线x＝0为其对称轴．∴＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝3kπ＋(k∈Z)，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝.应选C.
8．函数y＝sin的一个单调递增区间为( )
A. B．
C. D．
答案 A
解析 y＝sin＝－sin，
故由2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
因此，函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．
9．(2022·武汉调研)函数f(x)＝sin(x∈R)，以下结论错误的选项是( )
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)在区间上是增函数
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
答案 D
解析 f(x)＝sin＝－cos2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确，由函数y＝cosx的单调性知C正确．函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数x≠，所以D错误．应选D.
10．函数f(x)＝sin，其中x∈，假设f(x)的值域是，那么实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．
答案 D
解析 ∵x∈，∴x＋∈.
∵f(x)＝sin的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a＋≤，解得a∈.应选D.
11．如果|x|≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是( )
A. B．－
C．－1 D．
答案 D
解析 因为|x|≤，所以－≤sinx≤，函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋1＝－2＋，当sinx＝－时，有最小值，f(x)min＝－＝.
12．(2022·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
答案 C
解析 ①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，①正确．
②中，当x∈时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误．
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．
④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，
当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故④正确．
综上，①④正确．应选C.
13．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为________．
答案
解析 依题意得3cos＝0，＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)，所以|φ|的最小值是.
14．函数y＝2sin－1，x∈的值域为________，并且取最大值时x的值为________．
答案 [－1,1]
解析 ∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈[0,1]，∴y∈[－1,1]．
当2x＋＝时，即x＝时y取得最大值1.
15．(2022·秦皇岛模拟)函数f(x)＝cos，其中x∈，假设f(x)的值域是，那么m的最大值是________．
答案
解析 由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，
∵f＝cos＝－，且f＝cosπ＝－1，
∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，解得≤m≤，即m的最大值是.
16．(2022·朝阳区模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)，假设f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，那么f(x)的最小正周期为________．
答案 π
解析 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，
那么·>－，且函数的图象关于直线x＝＝对称，且一个对称点为，可得0<ω<3且－＝·，求得ω＝2，∴f(x)的最小正周期为＝π.
17．函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解 (1)∵f(x)＝sinωx－cosωx＝sin，且T＝＝π，∴ω＝2.
于是f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
注意到x∈，∴令k＝0，
得函数f(x)在上的单调递增区间为，
同理，其单调递减区间为.
18．f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间上是否存在f(x)图象的对称轴？如果存在，求出其对称轴．假设不存在，请说明理由．
解 (1)由T＝2知＝2，解得ω＝π.
又当x＝时f(x)max＝2，∴A＝2.
且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)＝2sin＝2sin.
(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝k＋(k∈Z)．
由≤k＋≤.得≤k≤，又k∈Z，∴k＝5.
故在上存在f(x)图象的对称轴，其方程为x＝.
19．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称．
(1)求φ，ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)x∈，求f(x)的最大值与最小值．
解 (1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，那么φ＝，即f(x)＝cosωx.
因为图象关于点M对称，
所以ω×＝＋kπ，k∈Z，且0<ω<1，所以ω＝.
(2)由(1)得f(x)＝cosx，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(3)因为x∈，所以x∈，
当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，
当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0.
20．函数f(x)＝2sinxcosx＋cos＋cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值；
(3)求函数f(x)在区间上的单调区间．
解 (1)∵f(x)＝2sinxcosx＋cos＋cos＝sin2x＋cos2xcos＋sin2xsin＋cos2xcos－sin2xsin＝sin2x＋cos2x＝2＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin＝2.
(2)∵≤x≤π，∴≤2x＋≤，
∴－2≤f(x)≤ ，
当2x＋＝时，x＝，
此时f(x)min＝f＝－2，
当2x＋＝时，x＝π，
此时f(x)max＝f(π)＝.
(3)∵≤x≤π，∴≤2x＋≤，
由正弦函数图象知，
当≤2x＋≤时，
即≤x≤时，f(x)单调递减，
当≤2x＋≤时，
即≤x≤π时，f(x)单调递增．
故f(x)在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为.
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