2022年湖南省株洲市中考数学试题(含答案).docx

绝密★启用前　
姓　　名

准考证号

株洲市2022年初中毕业学业考试
数学试题及解答
时量：120分钟　　总分值：100分
本卷须知：
1、答题前，请按要求在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。
2、答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效。
3、考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师。
选择题：答案为A　D　D　B　C　C　B　C
一、选择题〔每题有且只有一个正确答案，此题共8小题，每题3分，共24分〕
1、以下各数中，绝对值最大的数是
A、－3　　　　　　　　　B、－2　　　　　　　C、0　　　　　　　　D、1
2、取以下各数中的哪个数时，二次根式有意义
A、－2　　　　　　　　　B、0　　　　　　　　C、2　　　　　　　　D、4
解：此题变相考二次根式有意义的条件
3、以下说法错误的选项是
A、必然事件的概率为1
B、数据1、2、2、3的平均数是2
C、数据5、2、－3、0的极差是8
D、如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖
4、反比例函数的图象经过点〔2,3〕，那么以下四个点中，也在这个函数图象上的是
A、〔－6,1〕　　　　　B、〔1,6〕　　　　　　C、〔2，－3〕　　　　　　D、〔3，－2〕
解：此题主要考查反比例函数三种表达中的
5、以下几何何中，有一个几何体的主视图与俯视图形状不一样，这个几何体是
6、一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是
A、4　　　　　　　B、5　　　　　　　　C、6　　　　　　D、7
解：分析此题主要考查学生解一元一次不等式的能力及找特解的能力。
7、四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有以下四种选法，其中错误的选项是
A、选①②　　　　　B、选②③　　　　C、选①③　　　　D、选②④
解：分析此题主要考查学生由平行四边形判定要正方形的判定方法
答案：选B
8、在平面直角坐标系中，孔明做走棋游戏，其走法是：棋子从原点和，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步走1个单位……依此类推，第步的是：当能被3整除时，那么向上走1个单位；当被3除，余数是1时，那么向右走1个单位，当被3除，余数为2时，那么向右走2个单位，当他走完第100步时，棋子所处位置的坐标是：
A、〔66,34〕　　B、〔67,33〕　　C、〔100,33〕　　　D、〔99,34〕
解：此题主要考查学生对信息的分类
在1至100这100个数中：
〔1〕能被3整除的为33个，故向上走了33个单位

〔3〕被3除，余数为2的数有33个，故向右走了66个单位
故总共向右走了34＋66＝100个单位，向上走了33个单位。
答案选C
二、填空题〔此题共8小题，每题共3分，共24分〕
9、计算：＝
解：此题主要考查：同底数幂的乘法法那么。答案
10、根据教育部统计，参加2022年全国高等学校招生考试的考生约为9390000人，用科学记数法表示9390000是。

11、如图，点A、B、C、都在圆O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，
那么∠ACB的大小是
解：此题主要考查：同弧所对的圆心角与圆周角的大小关系
过程略　28°
12、某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级，绘制成如图的扇形统计图，那么图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为
解：此题主要考查扇形统计图中得到信息，即总人数为60÷20%＝300人，然后计算出A等级的百分比：90÷300×100%＝30%，再计算圆心角为：360°×30%＝108°
13、孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°〔不考虑身高因素〕，那么此塔高约为米〔结果保存整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，≈0.3640，tan70°≈2.7475〕
解：此题主要考查学生对三角函数的边角关系的运用能力。给出草图，要求AC，
14、分解因式：＝。
解：此题的目的主要是让学生用分组分解法。但也可以去括号后，进行因式分解〔利用配方或十字相乘〕
15、直线与相交点〔－2,0〕，且两直线与轴围成的三角形面积为4，那么＝
解：此题考查学生对点的坐标与它到两轴的距离的理解。
交点到y轴的距离为2，面积为4，故底边长为4，＝4
16、如果函数的图像经过平面直角坐标系的四个象限，那么的取值范围是
解法一：经过平面直角坐标系的四个象限
∴需满足以下两条件：
〔1〕它与轴有两个交点
即：
解之得：
由于，故抛物线的对称轴，给出草图。
〔2〕抛物线与轴的交点纵坐标＞0
即：
解之得：
综上可知：
解法二：经过平面直角坐标系的四个象限
∴需满足以下两条件：
〔1〕它与轴有两个交点
即：
解之得：
〔2〕方程的两根符号相反〔分居在原点的两侧，即一正，一负〕
即：
即：
解之得：
综上可知：
三、解答题〔本大题8小题，共52分〕
17、〔此题总分值4分〕计算：
18、〔此题总分值4分〕先化简，再求值：，其中
19、〔此题总分值6分〕我市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年〞，根据各县市区的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计前三行的数据都是正确的，后三行中有一个数据是错误的，请答复以下问题：
〔1〕统计表中＝，＝；
〔2〕统计表后三行中，哪一个数据是错误的正确的值是多少
〔3〕株洲市决定从炎陵县的4位“最有孝心的美少年〞任选两位作为市级形象代言人，A、B是炎陵县“最有孝心的美少年〞中的两位，问A、B同时入选的概率是多少
区域
频数
频率
炎陵县
4

茶陵县
5
0.125
攸县

0.15
醴陵市
8
0.2
株洲县
5
0.125
株洲城区
12
0.25
解：〔1〕由于前三行的数据都是正确的，应选择茶陵数据作为计算依据，求出总人数为：
5÷0.125＝40，故＝4÷40＝0.1；＝40×0.15＝6
〔2〕株洲城区的频率是错误的：12÷40＝0.3
〔3〕设炎陵县的4人，分别为A、B、C、D，画出树状图：
故P＝
20、〔此题总分值6分〕家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：

〔2〕他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；
〔3〕抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；
〔4〕下山用了1个小时。
根据上面信息，他作出如下方案：
〔1〕在山顶浏览1个小时；
〔2〕中午12：00回家吃中餐。
假设依据以上信息和方案登山游玩，请问孔明同学应该在什么时间从家里出发
解：分析此题信息量极大，不是常见的应用题，需要进行相关的整理。
由〔1〕得：V下＝〔V上＋1〕千米每小时
由〔2〕得：S上＋1＝S全〔S全表示到山顶的距离〕，T上＝2小时
由〔3〕得：S下＋2＝S全〔S全表示到山顶的距离〕
由〔4〕得：T下＝1小时
由上可知：：S下＋2＝S上＋1①
涉及公式：V＝ST
S上＝V上×T上＝V上×2；S下＝V下×T下＝V下×1＝〔V上＋1〕×1
代入①得：〔V上＋1〕×1＋2＝V上×2＋1

〔二〕计算方案所花费的时间：
T方案上＝S全÷V上＝小时
T方案下＝1小时
浏览1小时
总共用时＝＋1＋1＝小时＝4小时30分钟
〔三〕计算出发时间
12：00－4小时30分钟＝7：30
答：他应在7：30出发。
假设对〔3〕给的信息假设理解为：他在上山2小时的位置返回题目的解答如下：
解：
〔一〕计算：上，下山速度V上、V下及到山顶距离S全
由〔1〕得：V下＝〔V上＋1〕千米每小时
由〔2〕得：S上＋1＝S全〔S全表示到山顶的距离〕T上＝2小时
由〔3〕得：S下＋3＝S全〔S全表示到山顶的距离〕
由〔4〕得：T下＝1小时
由上可知：：S下＋3＝S上＋1①
涉及公式：V＝ST
S上＝V上×T上＝V上×2；S下＝V下×T下＝V下×1＝〔V上＋1〕×1
代入①得： 〔V上＋1〕×1＋3＝V上×2＋1
解得：V上＝3千米每小时，V下＝4千米每小时，S全＝7千米
〔二〕计算方案所花费的时间：
T方案上＝S全÷V上＝小时
T方案下＝1÷V下＋1＝小时
浏览1小时
总共用时＝＋1＋＝小时＝4小时35分钟
〔三〕计算出发时间
12：00－4小时35分钟＝7：25
答：他应在7：25出发。
21、〔此题总分值6分〕关于的一元二次方程，其中、、分别是△ABC的三边长。
〔1〕如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由
〔2〕如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
〔3〕如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
解：〔1〕利用一元二次方程解的意义，
将代入原方程得：
，即可得：
故△ABC是等腰三角形。
〔2〕考查一元二次方程的根与判别式的关系：
由可知：△＝
即：
可得：
故△ABC是直角三角形。
〔3〕考查等边三角形的三边相等，即
故原方程可化为：
解之得：
22〔此题总分值8分〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点〔AF＞BF〕
〔1〕求证：△ACE≌△AFE
〔2〕求tan∠CAE的值。
解：〔1〕考查学生对全等三角形的判定的运用
〔2〕考查学生对全等三角形的性质运用，三角函数的运用能力
设：BF＝，那么AF＝AC＝2，AB=3
由勾股定理可知：CB＝
在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠B=
在Rt△EFB中，∠EFB＝90°，tan∠B=
得到：EF＝
由〔1〕知：CE＝EF＝
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，tan∠CAE＝

23、〔此题总分值8分〕如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在圆O的上半圆上运动〔包含P、Q两点〕，以线段AB为边向上作等边三角形ABC，
〔1〕当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积〔图1〕
〔2〕设∠AOB＝α，当线段AB与圆O只有一个公共点〔即A点〕时，求α的范围〔如图2，直接写出答案〕

解：〔1〕如以下列图连结OA，
∵AB是圆O的切线
∴OA⊥BA，∠OAB≒90°
∵Rt△ABO中，OA＝1，OB＝2
∴AB＝
∴△ABC为边长为的等边三角形
∴∠ABE≒60°
过点A作AE⊥BC于点E
∵Rt△ABE中，AB＝，∠ABE≒60°
∴AE＝
∴S△ABC＝BC×AE＝××＝
〔2〕这一问主要考查学生对线段AB与圆O只有一个交点所在位置的理解：

然后随着A点靠近Q
点，∠AOB越来越小，最小时，就是A与Q重合，此时∠AOB≒0°
故0°∠AOB60°
〔3〕主要考查学生思路：垂径分弦、分弧，及弧与圆心角、圆周角的关系及相似的运用
连结AP，QM
∵AO⊥PM于点N
∴

∵∠MQP＝∠POM
∴∠AOP＝∠MQP
∴AO∥MQ
∵OQ＝QB
∴AM＝BM＝
∵△ABC为等边三角形
∴CM⊥AB
∵∠MQB＋∠MQP＝180°
∠PAB＋∠MQP＝180°
∴∠PAB＝∠MQB
在△BAP与△BQM中
∵∠PAB＝∠MQB
∠MBQ＝∠PBA
∴△BAP∽△BQM
∴
即：BA×BM＝BP×BQ
∴
∴BA=
∵Rt△BMC中，∠BMC＝90°，BM＝＝，AB＝
∴CM=
24、〔此题总分值10分〕抛物线和直线
〔1〕求证：无论取何实数值，抛物线与轴有两个不同的交点；
〔2〕抛物线与轴交于点A、B，直线与轴点C，设A、B、C三点的横坐标分别是、、，求的最大值；
〔3〕如果抛物线与与轴交于点A、B在原点的右边
，直线与轴点C在原点的左边，又抛物线、直线分别
交轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G〔如图〕，且
，求抛物线的解析式。

∵的判别式△＝

∴无论取何实数值，抛物线与轴有两个不同的交点
〔2〕主要考查学生对直线与抛物线与轴交点横坐标与方程的关系、根与系数的关系及二次函数的最大值的求法。
∵与轴点C的横坐标为：
与轴交于点A、B的横坐标为方程：的两个根
∴＝，
∴=
∴最大值为：
〔3〕此题考查了：从到比例式，然后再由比例式进行变形得到相似，然后得到平行，通过平行得比例式从而求解出函数解析式：
①证明：AD∥BE
∵
∴
∴
即：
∵∠GCA≒∠ECB，
∴△GCA∽△ECB
∴∠GAC≒∠EBC
∴AD∥BE
②证明△OAD∽△OBE
在△OAD与△OBE中
∵∠GAC≒∠EBC，∠DOA≒∠EOB
∴△OAD∽△OBE
∴
③利用根与系数的关系及函数关系建立方程
设的两根分别为与
那么可知：OA＝，OB＝
OD长度为与轴交点的纵坐标的长度；OE长度为：与轴交点的纵坐标
∵
∴〔方程一〕
根据根与系数的关系列出另两方程：
〔方程二〕
〔方程三〕
将方程一、二、三组成方程组。解之得：
∴抛物线的解析式为：
④方程的解法技巧：
将方程三代入方程一得：
∵由图可知，对称轴在轴的右边
∴
故得：
代入方程二从而解出：
将、代入方程三：即可得