2022年高考数学一轮复习热点难点精讲精析42数系的扩充与复数的引入.docx

2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：
4.2数系的扩充与复数的引入
一、复数的有关概念及复数的几何意义
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1、复数的分类
2、处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部〔假设复数为非标准的代数形式，那么应通过代数运算化为代数形式〕，然后根据定义解题。
方法提示：1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数的模长公式求解.
3．复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.
※例题解析※
〖例1〗当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i
(1) 纯虚数；〔2〕为实数；〔3〕对应的点在复平面内的第二象限内。
思路解析：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。
解答：根据复数的有关概念，转化为实部和虚局部别满足的条件求解。
〔1〕假设z为纯虚数，那么解得m=3
〔2〕假设z为实数，那么解得m=-1或m=-2
〔3〕假设z的对应点在第二象限，那么解得-1<m<1-或1+<m<3.
即〔1〕m=3时，z为纯虚数；
〔2〕m=-1或m=-2时，z为实数；
〔3〕-1<m<1-或1+<m<3时，z的对应点在第二象限内。
〖例2〗复数在复平面上对应的点位于( )
()第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
思路解析:化简z为代数形式，确定其实部、虚部.
解答:选.因为所以所以z对应的点位于第一象限.
二、复数相等
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1、a+bi=c+di.
2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。
注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。
※例题解析※
〖例〗集合M=｛〔a+3〕+〔b2-1〕i,8｝,集合N=｛3，〔a2-1〕+(b+2)｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b
思路解析：判断两集合元素的关系列方程组分别解方程组检验结果是否符合条件。
解答：
…………………………①
或…………………………………………②
或…………………………③
由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2
由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;
由③得,此方程组无整数解。
综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。
三、复数的代数运算
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1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
(2)记住以下结论，可提高运算速度：
①(1±i)2=±2i；
⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).
2、复数的四那么运算类似于多项式的四那么运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。
※例题解析※
〖例1〗z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，且|z2|＝求z2.
思路解析:可不设代数形式利用整体代换的思想求解.
z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
∵|z2|＝
∴|z2(5＋5i)|＝50，
∴z2(5＋5i)＝±50，
〖例2〗
解答：
注:复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.
四、复数加减法的几何意义
〖例〗如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3+2i，-2+4i，试求：
〔1〕表示的复数，表示的复数；〔2〕对角线所表示的复数。
思路解析：求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可。
解答：〔1〕=-，∴表示的复数为-3-2i.∵=,∴所表示的复数为-3-2i。
〔2〕=-，∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
注：①解决这类题目是利用复数a+bi(a,b∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法那么和三角形法那么进行求解。
②复数问题实数化是解决复数问题最根本也是最重要的思想方法，桥梁是设z=x+yi,依据是复数相等的充要条件。