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2022版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第四讲 三角函数的图象与性质学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第四讲 三角函数的图象与性质学案新人教版

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第四讲　三角函数的图象与性质

知识梳理·双基自测

知识点一　周期函数的定义及周期的概念
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.
(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.
知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质
　函数
性质
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域
{x|x∈R}
{x|x∈R}
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
__{y|－1≤y≤1}__
__{y|－1≤y≤1}__
__R__
单调性
在____，k∈Z上递增；在____，k∈Z上递减
在__[(2k－1)π，2kπ]__，k∈Z上递增；在__[2kπ，(2k＋1)π]__，k∈Z上递减
在kπ，，k∈Z上递增
最值
x＝__＋2kπ(k∈Z)__时，ymax＝1；x＝__－＋2kπ(k∈Z)__时，ymin＝－1
x＝__2kπ(k∈Z)__时，ymax＝1；x＝__π＋2kπ(k∈Z)__时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
__奇__
__偶__
__奇__
对称性
对称
中心
__(kπ，0)，k∈Z__
__，k∈Z__
__，k∈Z__
对称轴
__x＝kπ＋，k∈Z__
__x＝kπ，k∈Z__
无对称轴
最小正周期
__2π__
__2π__
__π__

1．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、____、__(π，0)__、____、__(2π，0)__.
函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、____、__(π，－1)__、____、__(2π，1)__.
2．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
3．对于y＝tan x不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数．

题组一　走出误区
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在第一象限是增函数．(　×　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(3)y＝sin |x|是周期为π的函数．(　×　)
(4)y＝cos x，x∈(0,4π)不是周期函数．(　×　)
(5)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)
(6)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修4P45T3改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域为.
3．(必修4P40T4改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　B　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
[解析]　函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B．
4．(必修4P38T3改编)函数y＝3－2cos的最大值为__5__，此时x＝__＋2kπ(k∈Z)__.
[解析]　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
题组三　走向高考
5．(2020·天津，8,5分)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　B　)
A．① B．①③
C．②③ D．①②③
[解析]　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝2π，①正确；易知f＝sin ＝1，f＝sin＝sin ＝<1，②错误；把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的是函数y＝sin的图象，③正确．综上，①③正确，②错误．故选B．
6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　A　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin |x|
[解析]　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos |x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin |x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A．

考点突破·互动探究
考点一　三角函数的定义域、值域——自主练透
例1 (1)(理)函数y＝lgsin x＋的定义域为____.
(文)函数y＝的定义域为(　B　)
A．
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
(2)(理)函数y＝3－2cos，x∈的值域为__[1,4]__.
(文)函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是__(－2,1]__.
(3)函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值分别为__，__.
[解析]　(1)(理)要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
所以2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.
所以函数的定义域为
(文)由2sin x－1≥0，得sin x≥，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故选B．
(2)(理)因为≤x≤，所以0≤2x－≤，
所以－≤cos≤1，
所以1≤3－2cos≤4.
所以函数的值域为[1,4]．
(文)∵x∈，∴sin x∈，
∴y＝－2sin x－1值域为(－2,1]．
(3)令t＝sin x，因为|x|≤，
所以t∈.
所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
所以当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.
所以函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.

名师点拨
三角函数定义域、值域的求解策略
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
考点二　三角函数的单调性——师生共研
例2 (1)求下列函数的单调区间：
①y＝cos的单调递减区间；
②y＝3tan的单调区间；
③y＝－的单调递减区间．
(2)(2021·洛阳模拟)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　A　)
A． B．
C． D．(0,2]
[解析]　(1)①∵y＝cos＝cos，
∴由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
即所求单调递减区间为(k∈Z)．
②y＝3tan＝－3tan，
由kπ－<－<kπ＋，解得4kπ－π<x<4kπ＋π(k∈Z)．
∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．
③画图知单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由<x<π得ω＋<ωx＋<πω＋，由题意知⊆，
所以，解得≤ω≤.故选A．
[答案]　(1)①(k∈Z)
②(k∈Z)
③(k∈Z)
(2)A

名师点拨
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求三角函数单调区间的两种方法：①代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
〔变式训练1〕
(1)(2020·山东泰安第二次段考)函数f(x)＝3sin的一个单调递增区间是(　D　)
A． B．
C． D．
(2)(2018· 课标全国Ⅱ，10)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则实数a的最大值是(　C　)
A． B．
C． D．π
[解析]　(1)f(x)＝3sin＝3cos＝3cos.令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的增区间为，k∈Z.令k＝0,1，可得选项D正确，故选D．
(2)本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cos x－sin x＝cos.因为f(x)在[0，a]上是减函数，所以解得0<a≤.故a的最大值是，故选C．
考点三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究
角度1　周期性
例3 求下列函数的周期：
(1)y＝2sin；
(2)y＝3；
(3)y＝|tan x|；
(4)y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1.
[解析]　(1)∵y＝2sin，
∴T＝＝3π，即y＝2sin的周期为3π.
(2)画图知y＝|cos x|的周期是y＝cos x的周期的一半，∴y＝3的最小正周期是y＝3cos的最小正周期的一半，即T＝×＝.
(3)画出y＝|tan x|的图象．
如图所示．

由图象易知T＝π.
∴y＝|tan x|的图象与y＝tan x的周期相同.
(4)y＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
[答案]　(1)3π　(2)　(3)π　(4)π
角度2　奇偶性
例4 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，θ∈是偶函数，则θ的值为(　B　)
A．0 B．
C． D．
[解析]　因为f(x)＝2sin是偶函数，所以＋θ＝＋kπ，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又因为θ∈，故θ＝.
角度3　对称性
例5 已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　D　)
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
[解析]　由T＝π知ω＝＝＝2，
所以函数f(x)＝sin.
函数f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；
函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－＋(k∈Z)．故选D．

名师点拨
(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝或T＝求解．
(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．
①∵y＝sin x的对称中心是(kπ，0)，(k∈Z)，
∴y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x＝，故对称中心为(k∈Z)．
②∵y＝sin x的对称轴是x＝kπ＋，k∈Z，
∴ωx＋φ＝kπ＋解出x＝，即x＝为函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程．
③函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
(4)注意y＝tan x的对称中心为(k∈Z)．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f(x)＝的最小正周期为(　C　)
A． B．
C．π D．2π
(2)(角度2)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　D　)
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin 2x＋cos 2x
D．y＝sin＋cos
(3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是__－__.
[解析]　(1)本题考查三角函数的周期．
解法一：f(x)的定义域为.
f(x)＝＝sin x·cos x＝sin 2x，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
解法二：f(x＋π)＝＝＝f(x)，
∴π是f(x)的周期．
f＝，
而tan＝＝＝－，
∴f＝－≠f(x)，
∴不是f(x)的周期，
∴也不是f(x)的周期．故选C．
(2)y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意．y＝cos＝－sin x是T＝4π的奇函数，不符合题意，同理C不是奇函数，D为y＝sin 2x，故选D．
(3)由题意可得sin＝±1，所以＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.故填－.

名师讲坛·素养提升
三角函数的值域与最值
例6 (1)函数y＝的值域为____.
(2)(理)函数f(x)＝2sin xsin，当x∈时，函数f(x)的值域为____.
(文)函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)的值域为__[－2,2]__.
(3)函数y＝的值域为____.
(4)(理)若x是三角形的最小内角，则函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的最小值是(　A　)
A．－＋ B．＋
C．1 D．
[解析]　(1)解法一：y＝＝2＋，
由于－1≤sin x≤1，所以－5≤≤－，
∴函数的值域为.
解法二：由y＝，解得sin x＝，
∵－1≤sin x≤1，
∴－1≤≤1，解得－3≤y≤，
∴函数的值域为.
(2)(理)f(x)＝2sin x＝sin2x＋sin xcos x＝＋＝sin＋，
∵x∈，∴2x－∈，
∴sin∈.
∴f(x)∈.
(文)f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin (2x＋)，值域为[－2,2]．
(3)解法一：由y＝得sin x－ycos x＝3y－1，
∴sin(x＋φ)＝
其中sin φ＝，cos φ＝.
∴≤1，解得0≤y≤.
解法二：可理解为点P(－cos x，－sin x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cos x，－sin x)在单位圆上，如图所示．

故t＝满足kCA≤t≤kCB，设过点C(3,1)的直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由原点到直线的距离不大于半径1，得≤1，解得0≤k≤.从而值域为.
(4)(理)由条件知0<x≤，
令t＝sin x＋cos x＝sin，
又0<x≤，∴<x＋≤，得1<t≤；
又t2＝1＋2sin xcos x，得sin xcos x＝，
得y＝t－＝－(t－1)2＋1，则－＋≤y<1，
所以函数的最小值为－＋.故选A．

名师点拨
求三角函数值域或最值的方法
(1)y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的值域为[－|a|＋b，|a|＋b]．
(2)y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为关于cos x的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可．
(3)y＝asin2x＋bsin xcos x＋c·cos2xy＝Asin 2x＋Bcos 2xy＝sin(2x＋φ)，再利用sin(2x＋φ)的有界性求解，注意2x＋φ的取值范围．
(4)y＝可反解出sin x＝f(y)(或cos x＝f(y))由正、余弦函数的有界性(|f(y)|≤1)求解；y＝可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x＋φ)＝利用三角函数的有界性求解．
(5)y＝f(sin x±cos x，sin x·cos x)常用换元法，令t＝sin x±cos x＝sin(x±)，则cos xsin x＝，可化为关于t的二次函数在某区间上的值域或最值．
〔变式训练3〕
(1)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是__1__.
(2)(理)(2021·黑龙江宜春二中月考)函数y＝的最大值是(　D　)
A．－1 B．－－1
C．1－ D．1＋
(文)(2020·黑龙江宜春二中月考)函数y＝2＋sin x＋cos x的最大值是(　B　)
A．－2 B．＋2
C．2－ D．－2－
(3)(2021·云南调研)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域是____.
[解析]　(1)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos x∈[0,1]，
因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
(2)(理)y＝，
∵2－≤2＋sin≤2＋，
∴y≤＝1＋，故选D．
(文)y＝2＋sin ，
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝2＋，故选B．
(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝1－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1，当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为.