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第3讲 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．函数f(x)＝2sin xcos x是( )．
A．最小正周期为2 π的奇函数
B．最小正周期为2 π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．
答案 C
2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为
( )．
A．0 B. C. D.
解析 据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．
答案 B
3．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ( )．
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
解析 ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2.∴函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.
答案 A
4．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为( )．
A．2π B. C．π D.
解析 依题意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小正周期为2π.
答案 A
5．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )．
A．[－1,1] B.
C. D.
解析 (数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
答案 C
6．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 由题意可知函数f(x)的周期T＝2×＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，将x＝代入可得φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝.
答案 A
二、填空题
7．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为________．
解析 f＝f＝f＝sin ＝.
答案
8．函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f(x)＝1＋，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(M－1)，所以M＋m＝2.
答案 2
9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________．
解析 f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|
＝
画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.
答案
10．下列命题中：
①α＝2kπ＋(k∈Z)是tan α＝的充分不必要条件；
②函数f(x)＝|2cos x－1|的最小正周期是π；
③在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，则△ABC为钝角三角形；
④若a＋b＝0，则函数y＝asin x－bcos x的图象的一条对称轴方程为x＝.
其中是真命题的序号为________．
解析 ①∵α＝2kπ＋(k∈Z)⇒tan α＝，
而tan α＝⇒/ α＝2kπ＋(k∈Z)，∴①正确．
②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|
＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠f(x)，∴②错误．
③∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B>0，
即cos(A＋B)>0，∵0<A＋B<π，∴0<A＋B<，
∴C为钝角，∴③正确．
④∵a＋b＝0，∴b＝－a，
y＝asin x－bcos x＝asin x＋acos x＝asin，
∴x＝是它的一条对称轴，∴④正确．
答案 ①③④
三、解答题
11. 已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期及值域；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解 (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，
则函数f(x)的最小正周期是π，
函数f(x)的值域是.
(2)依题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
则kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
12．已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解 (1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.
∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)．
∴函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1.
即函数f(x)在区间上的值域为.
13．已知函数f(x)＝coscos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
解 (1)∵f(x)＝coscos
＝·
＝cos2x－sin2x＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为＝π.
(2)由(1)知
h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)取得最大值.故h(x)取得最大值时，对应的x的集合为
.
14．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，又∵a >0，
∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
综上，g(x)的递增区间为(k∈Z)；递减区间为(k∈Z)．
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