2022版高考数学一轮复习-课时质量评价21-任意角、弧度制与任意角的三角函数新人教A版.doc

2022版高考数学一轮复习 课时质量评价21 任意角、弧度制与任意角的三角函数新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时质量评价21 任意角、弧度制与任意角的三角函数新人教A版

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姓名：

课时质量评价(二十一)
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B　解析：因为θ是第三象限角，所以是第二或第四象限角．因为＝－cos ，所以cos <0.所以是第二象限角．
2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是(　　)
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
C　解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称，所以角α与β的终边关于x轴对称．
3．(2020·百校联考高考考前冲刺(二))已知O为坐标原点，角α的终边经过点P(3，m)(m<0)，且sin α＝m，则sin 2α＝(　　)
A． B． C．－ D．－
C　解析：根据题意，得sin α＝＝m，解得m＝－1，所以P(3，－1)，所以sin α＝－，cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－.
4．(2020·北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　　)
A．3n B．6n
C．3n D．6n
A　解析：单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为＝，每条边长为2sin .
所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin .
单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan，其周长为12ntan .
所以2π＝＝6n，
则π＝3n.故选A．
5．(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy中，点P(，1)．将向量绕点O按逆时针方向旋转后，得到向量，则点Q的坐标是(　　)
A．(－，1) B．(－1，)
C．(－，1) D．(－1，)
D　解析：设以射线OP为终边的角为α，以射线OQ为终边的角为β，且β＝α＋.由题意可得sin α＝，cos α＝，结合三角函数的定义与诱导公式可得xQ＝2cos β＝2cos＝－2sin α＝－1，yQ＝2sin β＝2sin＝2cos α＝，即点Q的坐标为(－1，)．故选D．
6．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
　解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，则最小的正角为.
7．如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________，弦AB的长为________．

2　2sin 1　解析：由扇形面积公式S＝lr.又α＝，l＝2，可得S＝·＝1，所以α＝2.易得r＝1，结合图形知AB＝2rsin ＝2sin 1.
8．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
解：(方法一)设α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝＝|k|.
当k>0时，r＝k，
所以sin α＝＝－，＝＝，
所以10sin α＋＝－3＋3＝0；
当k<0时，r＝－k，
所以sin α＝＝，
＝＝－，
所以10sin α＋＝3－3＝0.
综上，10sin α＋＝0.
(方法二)依题意，tan α＝－3，
所以sin α＝－3cos α，
所以－30cos α＋＝.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以tan2α＋1＝，
所以cos2α＝＝，
所以－30cos2α＋3＝－30×＋3＝0，所以原式＝0.
9．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断tansincos的符号．
解：(1)因为sin α<0且tan α>0，
所以α是第三象限角，
故角α的集合为.
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，故kπ＋<<kπ＋，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，即是第四象限角，
综上，的终边在第二象限或第四象限．
(3)当是第二象限角时，
tan<0，sin>0，cos<0，
故tansincos>0；
当是第四象限角时，
tan<0，sin<0，cos>0，
故tansincos>0.
综上，tansincos取正号．
B组　新高考培优练
10．在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α<cos α<sin α，则点P所在的圆弧是(　　)

A． B． C． D．
C　解析：若点P在或 (不包含端点A，D)上，则角α的终边在第一象限，此时tan α－sin α＝tan α·(1－cos α)>0，与tan α<sin α矛盾，排除A，B．
若点P在(不包含端点G)上，则角α的终边在第三象限，此时tan α>0，cos α<0，与tan α<cos α矛盾，排除D．故选C．
11．(多选题)(2020·山东师范大学附中月考)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
AB　解析：因为角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，所以α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.
所以＝cos α>0，cos α－sin α>0，cos α·sin α<0，cos α＋sin α的符号不确定．故选AB．
12．意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6.9 cm，BC＝7.1 cm，AC＝12.6 cm.根据测量得到的结果推算，将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于区间(　　)

A． B． C． D．
B　解析：取AB＝BC≈7，设∠ABC＝2θ，则sin θ≈＝0.9∈.
∴θ∈，2θ∈.
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，则α＋2θ＝π.
∴α∈.故选B．
13．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝________.

　解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2.在Rt△POB中，PB＝rtan α，所以△POB的面积为r·rtan α.由题意得r·rtan α＝2×αr2，所以tan α＝2α，所以＝.
14．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动．当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．

S1＝S2　解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tm.根据切线的性质知OA⊥AP，所以S1＝tm·r－S扇形AOB，
S2＝tm·r－S扇形AOB，
所以S1＝S2恒成立．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数解析式．
解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)与角α终边相同的角β的集合为.
(3)若α∈，则S扇形OAB＝αr2＝α.而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α.
故弓形AB的面积S＝S扇形OAB－S△AOB＝α－sin α，α∈.