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2022高考数学一轮复习 高考大题专项三角函数与解三角形北师大版

2022高考数学一轮复习 高考大题专项三角函数与解三角形北师大版

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高考大题专项(二)　三角函数与解三角形
1.(2020北京海淀一模,16)已知函数f(x)=2cos2ω1x+sin ω2x.
(1)求f(0)的值;
(2)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在-π2,π6上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.

2.(2020山东潍坊二模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,A=π3.
(1)若B=π4,求b;
(2)求△ABC面积的最大值.

3.(2020江苏,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45°.

(1)求sin C的值;
(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值.

4.(2019全国1,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若2a+b=2c,求sin C.

5.(2020山东潍坊一模,17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin A+sin C),且m∥n.
(1)求C;
(2)若6c+3b=3a,求sin A.

6.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,S为△ABC的面积,sin(B+C)=2Sa2-c2.
(1)证明:A=2C;
(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求S的取值范围.

参考答案

高考大题专项(二)　三角函数与
解三角形
1.解(1)f(0)=2cos20+sin0=2.
(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为π.
f(x)=2cos2x+sin2x=(cos2x+1)+sin2x=222sin2x+22cos2x+1=2sin2x+π4+1.
因为x∈-π2,π6,
所以2x+π4∈-3π4,7π12.
所以-1≤sin2x+π4≤1.
所以1-2≤f(x)≤1+2.
当2x+π4=-π2,即x=-3π8时,f(x)在-π2,π6上取得最小值1-2.
方案二:选条件②.f(x)的一个周期为2π.
f(x)=2cos2x+sinx=2(1-sin2x)+sinx=-2sinx-142+178.
因为x∈-π2,π6,
所以sinx∈-1,12.
所以-1≤f(x)≤178.
当sinx=-1,即x=-π2时,f(x)在-π2,π6上取得最小值-1.
2.解(1)由正弦定理得b=a·sinBsinA=23·sinπ4sinπ3=22.
(2)因为△ABC的内角和A+B+C=π,A=π3,所以0<B<2π3.
因为b=asinAsinB=4sinB,所以S△ABC=12absinC=43sinBsin2π3-B=43sinB32cosB+12sinB=6sinBcosB+23sin2B=23sin2B-π6+3.因为0<B<2π3,所以-π6<2B-π6<7π6.当2B-π6=π2,即B=π3时,△ABC面积取得最大值33.
3.解(1)在△ABC中,因为a=3,c=2,B=45°,由余弦定理,得b2=9+2-2×3×2cos45°=5,所以b=5.
在△ABC中,由正弦定理,得5sin45°=2sinC,所以sinC=55.
(2)在△ADC中,因为cos∠ADC=-45,所以∠ADC为钝角,
而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,
所以∠C为锐角.
故cosC=1-sin2C=255,
则tanC=sinCcosC=12.
因为cos∠ADC=-45,
所以sin∠ADC=1-cos2∠ADC=35,tan∠ADC=sin∠ADCcos∠ADC=-34.
从而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-∠C)=-tan(∠ADC+∠C)
=-tan∠ADC+tanC1-tan∠ADC×tanC
=--34+121--34×12=211.
4.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.
因为0°<A<180°,所以A=60°.
(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,
即62+32cosC+12sinC=2sinC,
可得cos(C+60°)=-22.
由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=22,
故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=6+24.
5.解(1)因为m∥n,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)sinB,
由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,
所以a2+b2-c2=ab,
所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.
因为C∈(0,π),故C=π3.
(2)由(1)知B=2π3-A,由题设及正弦定理得6sinC+3sin2π3-A=3sinA,
即22+32cosA+12sinA=sinA,可得sinA-π3=22.
因为0<A<2π3,所以-π3<A-π3<π3,所以cosA-π3=22,故sinA=sinA-π3+π3=sinA-π3cosπ3+cosA-π3sinπ3=6+24.
6.(1)证明由sin(B+C)=2Sa2-c2,即sinA=2Sa2-c2,得sinA=bc·sinAa2-c2,
又sinA≠0,∴bc=a2-c2,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则bc=b2-2bccosA,
又b≠0,∴c=b-2c·cosA,由正弦定理得sinC=sinB-2sinC·cosA,
即sinC=sin(A+C)-2sinC·cosA=sin(A-C),
又0<A<π,0<C<π,∴A=2C.
(2)解∵A=2C,∴B=π-3C,
∴sinB=sin3C,
∵asinA=bsinB,且b=2,
∴a=2sin2Csin3C,
∴S=12ab·sinC=2sin2C·sinCsin(2C+C)=2sin2C·sinCsin2C·cosC+cos2C·sinC
=2tan2C·tanCtan2C+tanC=4tanC3-tan2C=43tanC-tanC,
∵△ABC为锐角三角形,则A∈0,π2,B∈0,π2,C∈0,π2,
即2C∈0,π2,π-3C∈0,π2,解得C∈π6,π4,∴tanC∈33,1,
∴S=43tanC-tanC为增函数,
∴S∈32,2.