浙江省考试院高考数学测试卷.doc

综合卷检测试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{y ｜ y＝2x，x∈R｝，则 R A＝
A． B． （－∞，0］ C．(0，＋∞) D．R
2．已知a，b是实数,则“｜ a＋b |＝| a |＋| b |”是“ab＞0”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若函数f （x） (x∈R)是奇函数，函数g （x) （x∈R）是偶函数,则
A．函数f [g（x）]是奇函数 B．函数g [f(x）］是奇函数
C．函数f （x）g(x）是奇函数 D．函数f （x)＋g（x)是奇函数
4．设函数f （x）＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f (x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则
A．x1＞－1 B．x2＜0 C．x2＞0 D．x3＞2
5．如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC，AD⊥DC．若｜|＝a，||＝b，则＝
A
B
C
D
(第6题图)
A．b2－a2 B．a2－b2
C．a2＋b2 D．ab
6．设数列{an}．
A．若＝4n，n∈N＊，则{an}为等比数列
B．若anan+2＝，n∈N＊，则｛an｝为等比数列
C．若aman＝2m+n，m，n∈N*,则{an｝为等比数列
D．若anan+3＝an+1an+2，n∈N＊,则｛an｝为等比数列
7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是

侧视图
正视图
俯视图
1
3
2
侧视图
正视图
俯视图
2
3
1
侧视图
正视图
俯视图
1
3
2
侧视图
正视图
俯视图
2
3
1

A． B． C． D．
8．若整数x，y满足不等式组 则2x＋y的最大值是
A．11 B．23 C．26 D．30
x
y
O
A
B
F1
F2
(第9题图)
9．如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A,B两点．若 | AB | : | BF2 | : ｜ AF2 |＝3：4 : 5,则双曲线的离心率为
A． B．
O
x
y
1
1
－1
－1
O
x
y
1
1
－1
－1
O
x
y
1
1
－1
－1
O
x
y
1
1
－1
－1
A
B
C
O
x
y
1
1
－1
－1
(第10题图)
C．2 D．
10．如图，函数y＝f (x)的图象为折线ABC,设f 1 (x)＝f (x)，
f n+1 （x)＝f [f n（x)］，n∈N*，则函数y＝f 4 (x）的图象为

A． B．

C． D．

非选择题部分 （共100分)
注意事项:
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图,可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共7小题,每小题4分，共28分。
n＝12, i＝1
n＝3n＋1
开 始
n是奇数?
输出i
结 束
是
否
n＝
n＝1?
是
否
n
2
i＝i＋1
(第14题图)
11．已知i是虚数单位，a∈R．若复数的虚部为1，则a＝ ．
12．设公差不为零的等差数列｛an}的前n项和为Sn．若
a22＋a32＝a42＋a52，则S6＝ ．
13．若（n为正偶数）的展开式中第5项的二
项式系数最大,则第5项是 ．
14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．
15．在△ABC中，内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知C＝2A，cos A＝，b＝5，则△ABC的面积为
．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
(第17题图)

16．在△ABC中,B（10,0）,直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)2＝25相切,切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为 ．
17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1,AD＝2．若存在各棱长均相等的四面体P1P2P3P4，其中P1，P2,P3，P4分别在棱AB,A1B1,C1D1，CD所在的直线上，则此长方体的体积为 ．
三、解答题:本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．(本题满分14分） 已知函数f （x）＝3 sin2 ax＋sin ax cos ax＋2 cos2 ax的周期为π，其中a＞0．
（Ⅰ） 求a的值；
(Ⅱ） 求f （x）的值域．

19．(本题满分14分） 已知A，B,C，D，E，F是边长为1的正六边形的6个顶点，在顶点取自A,B，C，D，E,F的所有三角形中，随机（等可能)取一个三角形．设随机变量X为取出三角形的面积．
（Ⅰ) 求概率P ( X＝）；
（Ⅱ) 求数学期望E （ X )．

A
E
F
D
B
C
(第20题图)
20．(本题满分15分） 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形,ADEF为梯形， AF∥DE,AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2．
（Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小；
(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．

(第21题图)
O
B
A
x
y
x＝－
2
1
M
F1
F2
P
Q
21．(本题满分15分） 如图，F1，F2是离心率为的椭圆
C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 ： 3．设A，B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
(Ⅰ） 求椭圆C的方程;
(Ⅱ） 求的取值范围．

22．（本题满分14分) 已知函数f (x)＝x3＋（1－a）x2－3ax＋1,a＞0．
(Ⅰ） 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈［0，p］时，有－1≤f （x)≤1；
（Ⅱ） 设(Ⅰ）中的p的最大值为g（a)，求g（a）的最大值．

数学测试题（理科）答案及评分参考
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1．B 2．B 3．C 4．C 5．A
6．C 7．D 8．B 9．A 10．D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
11．2 12．0 13．x6 14．10
15． 16．（0，15) 或 （－8，－1） 17．4
三、解答题:本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．本题主要考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。
(Ⅰ） 由题意得
f （x）＝（1－cos 2ax）＋sin 2ax＋(1＋cos 2ax)
＝sin 2ax－cos 2ax＋
＝sin (2ax－）＋．
因为f （x）的周期为π,a＞0，所以
a＝1．
………… 7分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得
f （x)＝sin （2x－)＋，
所以f （x)的值域为[，］．
………… 14分
19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。
(Ⅰ) 由题意得取出的三角形的面积是的概率
P （ X＝)＝＝．
………… 7分
(Ⅱ） 随机变量X的分布列为

X

P

所以 E （ X )＝×＋×＋×＝．
………… 14分
20．本题主要考查空间点、线、面位置关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
A
E
F
D
B
C
(第20题图)
H

G

Q

(Ⅰ） 延长AD，FE交于Q．
因为ABCD是矩形,所以
BC∥AD，
所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得
∠AQF＝30°．
………… 7分
（Ⅱ) 方法一：
设AB＝x．取AF的中点G．由题意得
DG⊥AF．
因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以
AB⊥平面ADEF，
所以
AB⊥DG．
所以
DG⊥平面ABF．
过G作GH⊥BF，垂足为H,连结DH，则DH⊥BF，
所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．
在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得
DG＝．
在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝,得
＝，
所以
GH＝．
在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得
DH＝．
因为cos∠DHG＝＝，得
x＝，
所以
AB＝．
………… 15分
方法二：设AB＝x．
以F为原点,AF，FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则
F（0，0，0)，A（－2,0，0），E(，0,0)，D(－1，，0)，B（－2，0,x)，
所以
＝(1，－，0)，＝（2,0，－x)．
因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝（0，1,0)．
设＝（x1，y1，z1）为平面BFD的法向量，则
A
E
F
D
B
C
(第20题图)
x
z
y

所以，可取＝(，1，)．
因为cos<，>＝＝,得
x＝，
所以
AB＝．
………… 15分
21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分.
O
B
A
x
y
x＝－
2
1
(第21题图)
M
F1
F2
（Ⅰ） 设F2（c，0)，则
＝，
所以
c＝1．
因为离心率e＝，所以
a＝．
所以椭圆C的方程为
． ………… 6分
（Ⅱ） 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P（，0)、Q（，0)
．
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（－，m） (m≠0），A(x1，y1）,B(x2,y2）．
由 得
（x1＋x2)＋2（y1＋y2)＝0，
则
－1＋4mk＝0，
故
k＝．
此时，直线PQ斜率为,PQ的直线方程为
．
即 ．
联立 消去y，整理得
．
所以
，．
于是
（x1－1）（x2－1）＋y1y2

．
令t＝1＋32m2，1＜t＜29,则
．
又1＜t＜29,所以
．
综上,的取值范围为[，）．
………… 15分
22．本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分14分.
（Ⅰ） 由于 f ′(x）＝3x2＋3（1－a）x－3a＝3(x＋1）（x－a),且a＞0,
故f （x）在[0，a]上单调递减，在［a，＋∞)上单调递增．
又
f （0）＝1， f (a)＝－a3－a2＋1＝(1－a）（a＋2） 2－1．
当f (a）≥－1时，取p＝a．
此时,当x∈［0，p］时有－1≤f (x）≤1成立．
当f (a)＜－1时，由于f (0）＋1＝2＞0,f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a）使得f （p）＋1＝0．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f （x)≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈［0，p］时，有－1≤f (x)≤1．
………… 7分
（Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在［0，＋∞)上的最小值为f (a）．
当0＜a≤1时，f （a)≥－1,则g(a)是方程f (p）＝1满足p＞a的实根，
即2p2+3（1－a）p－6a＝0满足p＞a的实根，所以
g(a)＝．
又g(a）在（0，1]上单调递增，故
g（a)max＝g（1)＝．
当a＞1时，f (a）＜－1．
由于f （0)＝1,f （1)＝（1－a）－1＜－1，故
[0，p］Ì [0，1]．
此时,g（a)≤1．
综上所述,g（a）的最大值为．
………… 14分