高考数学一轮复习分层限时跟踪练3.doc

分层限时跟踪练(三十八)
(限时40分钟)

一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
【解析】　由异面直线的定义知D正确．
【答案】　D
2．给出下列命题，其中正确命题的个数是(　　)
①如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内；②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A、B、C；③若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　由公理1知①正确，由公理3知②不正确，③正确；三条直线两两相交于同一点时，三条直线不一定共面，④不正确；空间四边形也可能两组对边相等，⑤不正确．
【答案】　B
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是(　　)
A．①④ B．②④
C．①　　　 D．④
【解析】　借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.

【答案】　A
4．如图7­3­4所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)

图7­3­4
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
【解析】　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
【答案】　A
5.如图7­3­5，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是(　　)

图7­3­5
A.　　　　　　　 B.
C. D．2

【解析】　如图，取AC中点G，连FG、EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝＝＝.
【答案】　B
二、填空题
6．若直线a⊥b，且直线b∥平面α，则直线a与平面α的位置关系是 ．
【解析】　如图所示：

故a与α的位置关系是a⊂α、a∥α或a与α相交．
【答案】　a⊂α、a∥α或a与α相交
7．如图7­3­6所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是 ．

图7­3­6

【解析】　可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．
【答案】　①②③
8．如图7­3­7是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

图7­3­7
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是 ．
【解析】　还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线，且所成的角为90°，即DE与MN垂直．
【答案】　②③④
三、解答题
9．如图7­3­8，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．

图7­3­8
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
【解】　(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
10．如图7­3­9所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

图7­3­9
【解】　取AC中点F，连EF，BF，则EF∥DC，∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
∵DA＝1，BC＝，AB＝AC.
∴DC＝，∴EF＝.
在△BEF中，
BE＝BF＝＝，

由余弦定理得
cos∠BEF＝
＝
＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.

1．(2015·唐山模拟)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
【解析】　对于选项A，若过点P有直线n与l、m都平行，则l∥m，这与l、m异面矛盾．
对于选项B，可知过点P且与l、m都垂直的直线存在，且只有一条，即为过点P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．
对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．
对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．
【答案】　B
2．(2015·洛阳模拟)如图7­3­10所示，在空间四边形ABCD中，

图7­3­10
点E、H分别是边AB、AD的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则(　　)
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
【解析】　连接EH，FG，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．
【答案】　D
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有 条．

【解析】　法一　如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．
法二　在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．
【答案】　无数
4．如图7­3­11，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝ .

图7­3­11
【解析】　取CD的中点G，连接EG，FG，则易证CD⊥EG，CD⊥FG，所以CD⊥平面EFG.又AB∥CD，所以AB⊥平面EFG，所以AB⊥EF，所以正方体中上、下、前、后四个面所在平面与EF相交(左、右两个面所在平面与EF平行)，即n＝4.由CE在正方体的下底面所在平面内，知CE与上底面所在平面平行，故正方体中前、后、左、右四个面所在平面与CE相交，即m＝4.所以m＋n＝8.
【答案】　8
5．如图7­3­12，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

图7­3­12
(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，
求证：P、A、C三点共线．
【证明】　(1)∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P、A、C三点共线．
6．如图7­3­13，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

图7­3­13
(1)求四棱锥O­ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
【解】　(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，
所以，四棱锥O­ABCD的体积V＝×4×2＝.

(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，
则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，
由已知，可得DE＝，EM＝，MD＝，∵()2＋()2＝()2，
∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝.