2002年全国高中数学联赛试题及解答.doc

二零零二年全国高中数学联赛试卷一试题(2002年10月13日上午8：009：40)一选择题(本小题满分36分，每小题6分)：1函数f(x)=log(x22x3)的单调递增区间是 A(，1) B(，1) C(1，) D(3，) 2若实数x，y满足(x5)2(y12)2=142，则x2y2的最小值为 A2 B1 C D 3函数f(x)= A是偶函数但不是奇函数 B是奇函数但不是偶函数 C既是奇函数也是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 4直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有 A1个 B2个 C3个 D4个 5已知两个实数集合A=a1，a2，a3，a100，与B=b1，b2，b50，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，则这样的映射共有 AC BC CC DC 6由曲线x2=4y，x2=4y，x=4，x=4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2y216，x2(y2)24，x2(y2)24的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则 AV1=V2 BV1=V2 CV1=V2 DV1=2V2 二填空题(本题满分54分，每小题9分)7已知复数Z1、Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应的向量的夹角为60，则= ；8将二项式的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个；9如图，点P1、P2、，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1，Pi，Pj，Pk)(1ij1)，使得存在tR，只要x1，m，就有f(xt)x二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一在ABC中，BAC=60，ABAC，点O为ABC的外心，两条高BE、CF的交于点H，点M、N分别在线段BH与HF上，且满足BM=CN求的值二实数a，b，c和正数使得f(x)=x3ax2bxc有三个实根x1，x2，x3，且满足 x2x1=； x3(x1x2)求的最大值三在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？2002年全国高中数学联赛解答一试题(2002年10月13日上午8：009：40)一选择题(本小题满分36分，每小题6分)：1函数f(x)=log(x22x3)的单调递增区间是 A(，1) B(，1) C(1，) D(3，) 解：由x22x30，得x3在x(，1)时，u= x22x3单调减，f(x)单调增；在x(3，+)时，u= x22x3单调增，f(x)单调减故选A2若实数x，y满足(x5)2(y12)2=142，则x2y2的最小值为 A2 B1 C D 解：令x+5=14cos，y12=14sin，则x2+y2=196+28(5cos12sin)+169=365+364sin(+)1选B(亦可用几何意义解：圆上点到原点距离平方的最小值)3函数f(x)= A是偶函数但不是奇函数 B是奇函数但不是偶函数 C既是奇函数也是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 解：f(x)定义域为(，0)(0，+)；f(x)f(x)= +=x=0即f(x)是偶函数选A4直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有 A1个 B2个 C3个 D4个 解：直线与椭圆的交线长=5直线方程3x+4y12=0设点P(4cos，3sin) 点P与直线的距离d=， 当0时，d(1)，SABC6(1)3即此时没有三角形面积=3；当2时，d(+1)，SABC6(+1)即此时有2个三角形面积=3选B5已知两个实数集合A=a1，a2，a3，a100，与B=b1，b2，b50，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，则这样的映射共有 AC BC CC DC 解：不妨设b1b2b50，在a1，a2，a100的每两个数间有1个空档，共99个空档，其中任选49个空档插入1条竖杠， 把a1，a2，a100分成50段，从前向后的第i段中的数映射到bi，即满足要求共有C种插法，选D6由曲线x2=4y，x2=4y，x=4，x=4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2y216，x2(y2)24，x2(y2)24的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则 AV1=V2 BV1=V2 CV1=V2 DV1=2V2 解：作平面y=h(0h4)与图形交于一个圆环，圆环面积=(42x2)=(164h)；与图交得一个圆环，面积=(16h2)(4(h2)2)=(16h2(h2+4h)=(164h)说明该平面与两个旋转体截得的面积相等由祖暅原理知，V1=V2，选C二填空题(本题满分54分，每小题9分)7已知复数Z1、Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应的向量的夹角为60，则= ；解：由余弦定理知|Z1+Z2|=；|Z1Z2|=，=8将二项式的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个；解：前三项系数为1，n，n(n1)，于是得n=1+n(n1)，解得，n=8，和n=1(舍去)当n=8时，Tr+1=C()rx= C()rx，当r=0，4，8时x的指数为整数，共有3个9如图，点P1，P2，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1，Pi，Pj，Pk)(1ij2y，x2y，x24y2=4由对称性，只考虑x0，y0的情况令x=2sec，y=tan，(0)，u=xy=表示点(0，2)与点(cos，sin)连线的斜率，当直线与单位圆相切时，u最小为即所求最小值为(或用判别式法解)12使不等式sin2xacosxa21cosx对于一切xR恒成立的负数a的取值范围是 ；解：即(cosx)2a2+()2，若(1)2a2+()2，则a2+a20 a2或a1，但a1)，使得存在tR，只要x1，m，就有f(xt)x解：由f(x4)=f(2x)，知f(x)关于x=1对称于是=1b=2a此时，f(x)有最小值0， ab+c=0c=af(x)=ax2+2ax+a由 f(1)=4a1由 4a1 a=c=，b=f(x)= (x+1)2若对于x1，m，f(x+t)x0，f(1+t)1=(t+2)210，得4t0f(m+t)m0，m2+2(t1)m+(t+1)20解得(t1)2m(t1)+2m1t+29而当t=4时，f(x4)x=(x210x+9)= (x1)(x9)在x1，9时，恒有f(x4)x0成立 m的最大值为9二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一在ABC中，BAC=60，ABAC，点O为ABC的外心，两条高BE、CF的交于点H，点M、N分别在线段BH与HF上，且满足BM=CN求 的值解：记ACB=，连OB、OC，则BOC=BHC=120， B、O、H、C四点共圆设此圆的半径为R，则2R= =2RHM+NH=(BHBM)+(CNCH)=BHCH在BCH中，CBH=90HCB=90(120)=30，HM+NH=BHCH=2R(sin(30)sin(90)=2R(sincos30cossin30cos)=2Rsin(60)在OCH中，OH=2RsinHCO=2Rsin(3030)=2Rsin(60) =二实数a，b，c和正数使得f(x)=x3ax2bxc有三个实根x1，x2，x3，且满足 x2x1=； x3(x1x2)求的最大值解：设x1=m，x2=m，x3=mk (k)a=(x1x2x3)=(3mk)；b=x1x2x1x3x2x3=3m22mk2；c=x1x2x3=m3m2k2m2k则2a327c9ab=3(mk)327(m3m2k2m2k)9(3mk)(3m22mk2)=2k32k 令=t，则(2a3+27c9ab)=2t3+t取g(t)=2t3+t则g(t)=6t2+，g(t)=12t令g(t)=0，得t=，而当t=时g(t)0 当t=时，g(t)取得最大值g()=2()3+()=若取=1，此时得，k= 令a=0，得m=，代入b、c的表达式得b=，c=此时得f(x)=x3x+满足题意三在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？解：设各人上场时间分别为7t1，7t2，7t3，7t4，13t5，13t6，13t7，(ti为正整数)得方程 7(t1+t2+t3+t4)+13(t5+t6+t7)=903令t1+t2+t3+t4=x，t5+t6+t7=y，得方程7x+13y=270即求此方程满足4x38，3y20的整数解即6y4(mod 7)，3y2(mod 7)，y3(mod 7) y=3，10，17，相应的x=33，20，7t5+t6+t7=3的解只有1种，t5+t6+t7=10的解有C种，t5+t6+t7=17的解有C种；t1+t2+t3+t4=33的解有C种，t1+t2+t3+t4=20的解有C种，t1+t2+t3+t4=7的解有C种 共有1C+ CC+ CC=42244种