2012年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

2012年全国高中数学联赛一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分把答案填在题中的横线上1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是_.6.设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.7满足的所有正整数的和是_.8某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第1周使用种密码，那么第7周也使用种密码的概率是_.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤9（本小题满分16分）已知函数（1）若对任意，都有，求的取值范围；（2）若，且存在，使得，求的取值范围10（本小题满分分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由11（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且（1）求证：为定值；（2）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹三、（本题满分50分）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为求证：四、（本题满分50分）设，是正整数证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于这里，表示不超过实数的最大整数来源:学.科.网2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分把答案填在题中的横线上 设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 设的内角的对边分别为，且满足，则的值是 .【答案】4来源:学&科&网Z&X&X&K设，则的最大值是 .【答案】来源:学&科&网【解析】不妨设则因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故4.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 .【答案】1来源:Zxxk.Com【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.5设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 6. 设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】满足的所有正整数的和是 【答案】33【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得所以故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第周使用种密码，那么第周也使用种密码的概率是 （用最简分数表示）二、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤（本小题满分分）已知函数（）若对任意，都有，求的取值范围；（）若，且存在，使得，求的取值范围（本小题满分分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由（本小题满分分）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且（）求证：为定值；（）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹【解析】因为所以三点共线如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有(定值)(2)设其中则.因为所以由(1)的结论得所以从而故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为2012年全国高中数学联赛加试试题（卷）一、（本题满分分）来源:学科网如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。证法一:令消去得由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.把最小的正整数解记为则,故使是的倍数40分证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组在区间上有解即存在使是的倍数40分证法三:由于总存在使取使则存在使此时因而是的倍数40分三、（本题满分分）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为求证：四、（本题满分分）设，是正整数证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于这里，表示不超过实数的最大整数【解析】证法一:(1)对任意,有证法二:(1) 10