2012年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

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2012年全国高中数学联赛一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是_____________. 6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 7．满足的所有正整数的和是_____________. 8．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数（1）若对任意，都有，求的取值范围；（2）若，且存在，使得，求的取值范围． 10．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列; （2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．（1）求证：为定值；（2）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹．三、（本题满分50分）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为求证：四、（本题满分50分）设，是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数的最大整数． [来源:学.科.网] 2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是．２．设的内角的对边分别为，且满足，则的值是 . 【答案】4 [来源:学&科&网Z&X&X&K] ３．设，则的最大值是 . 【答案】[来源:学&科&网] 【解析】不妨设则因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故 4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是 . 【答案】1[来源:Zxxk.Com] 【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1. 5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是． 6. 设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】７．满足的所有正整数的和是．【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得所以故满足的正整数的所有值分别为它们的和为. ８．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．９．（本小题满分１６分）已知函数（１）若对任意，都有，求的取值范围；（２）若，且存在，使得，求的取值范围．１０．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（１）当时，求所有满足条件的三项组成的数列; （２）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．１１．（本小题满分２０分）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．（１）求证：为定值；（２）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹．【解析】因为所以三点共线如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有 (定值) (2)设其中则. 因为所以由(1)的结论得所以从而故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 2012年全国高中数学联赛加试试题（卷）一、（本题满分４０分）[来源:学科网] 如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。证法一:令消去得由于这方程必有整数解;其中为方程的特解. 把最小的正整数解记为则,故使是的倍数．……40分证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组在区间上有解即存在使是的倍数．…………40分证法三:由于总存在使取使则存在使此时因而是的倍数．……………40分三、（本题满分５０分）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为求证：四、（本题满分５０分）设，ｎ是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数ｘ的最大整数．【解析】证法一:(1)对任意,有证法二:(1) 10

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