全国高中数学联赛试题及解析 苏教版6.doc

1986年全国高中数学联赛试题第一试1选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分) 设1a0，=arcsina，那么不等式sinxa的解集为( ) Ax|2n+x(2n+1)，nZ Bx|2nx(2n+1)+，nZ Cx|(2n1)+x2n，nZ Dx|2n+xt Bs=t Cst D不确定2填空题(本题满分28分，每小题7分)： 本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 已知f(x)=|12x|，x0，1，那么方程 f(f(f(x)=x的解的个数是 设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 ； 设x、y、z为非负实数，且满足方程4682+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 第二试1(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，满足 ai1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，)求证：对于任何自然数n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn是一次多项式(本题应增加条件：a0a1)2(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是ABC的三条高的充要条件是S=(EF+FD+DE）式中S是三角形ABC的面积 3平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； 对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形证明你设计的方法符合上述要求1986年全国高中数学联赛解答第一试1选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分) 设1a0，=arcsina，那么不等式sinxa的解集为( ) Ax|2n+x(2n+1)，nZ Bx|2nx(2n+1)+，nZ Cx|(2n1)+x2n，nZ Dx|(2n1)x2n+，nZ 解：0，在(，0)内满足sinxa的角为xt Bs=t Cst D不确定 解：=absinC=，由R=1，=，知abc=1且三角形不是等边三角形 +=+(等号不成立)选C2填空题(本题满分28分，每小题7分)： 本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 解：易得cos=，于是椭圆长轴=13，短轴=12所求和=25 已知f(x)=|12x|，x0，1，那么方程 f(f(f(x)=x的解的个数是 解：f(f(x)=|12|12x|=同样f(f(f(x)的图象为8条线段，其斜率分别为8，夹在y=0与y=1，x=0，x=1之内它们各与线段y=x (0x1)有1个交点故本题共计8解 设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 ；解 f(x)+f(1x)= +=+=1 以x=，代入式，即得所求和=500 设x、y、z为非负实数，且满足方程4682+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 ； 解：令2=t，则得，t268t+256=0，(t64)(t4)=0，t=4，t=64=25x+9y+4z=4，9(x+y+z)=4+4x+5z4，x+y+z；4(x+y+z)=4x5y4，x+y+z1x+y+z，1；=65x+9y+4z=36，9(x+y+z)=36+4x+5z36，x+y+z4； 4(x+y+z)=36x5y36，x+y+z9故，所求最大值与最小值的乘积=9=4第二试1(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，满足 ai1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，)求证：对于任何自然数n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn是一次多项式(本题应增加条件：a0a1)证明：由已知，得ai+1ai=aiai1，故ai是等差数列设aiai1=d0则ak=a0+kd于是P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn = a0C(1-x)n+(a0+d)Cx(1-x)n-1+(a0+2d)Cx2(1-x)n-2+(a0+(n1)d)Cxn-1(1-x)+(a0+nd)Cxn =a0C(1-x)n+Cx(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+Cxn-1(1-x)+Cxn +dCx(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+(n1)Cxn-1(1-x)+nCxn (由kC=nC) =a0(1x+x)n+ndxC(1-x)n-1+Cx(1-x)n-2+Cxn-2(1-x)+Cxn1 =a0+ndx(1x+x)n1=a0+ndx=a0+(ana0)x此为一次多项式证毕2(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是ABC的三条高的充要条件是S=(EF+FD+DE)式中S是三角形ABC的面积 证明 连OA，则由C、E、F、B四点共圆，得AFE=C，又在OAB中，OAF=(180-2C)/2=90-C，OAEF SOEAF=EF=EF，同理，SOFBD=DF，SODCE=DE，故得S=(EF+FD+DE)反之，由S=(EF+FD+DE）得OAEF，OBFD，OCED，否则S(EF+FD+DE）过A作O的切线AT，则AFE=TAF=ACB，B、F、E、D共圆，同理，A、F、D、C共圆，A、E、D、B共圆AFC=ADC，AEB=ADB AFC+AEB=ADC+ADB=180但BFC=BEC，即AFC=AEB=90，于是F、E为垂足，同理D为垂足故证3(本题16分)平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； 对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形证明你设计的方法符合上述要求证明：设任一点的坐标为(x，y)，把x+y1(mod 4)的点染白，x+y3(mod 4)的点染黑，x+y0或2(mod4)的点染红 显然，这样染色的点满足要求首先，每条平行于x轴的直线上都有三种颜色的点即每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；其次，对于任一白点A(x1，y1)，任一红点B(x2，y2)，与任一黑点C(x3，y3)，当点D(x4，y4)与之组成平行四边形时，有x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4而x1+y1+x3+y30(mod 4)，于是x2+y2+x4+y40(mod 4)，故x4+y30(当x2+y20时)或2(当x2+y22时)(mod 4)即点D为红点