全国高中数学联赛试题及解析 苏教版6.doc

1986年全国高中数学联赛试题
第一试
1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)
⑴ 设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( )
A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z} B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z}
C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z} D．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z}
⑵ 设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么( )
A．M={纯虚数} B．M={实数} C．{实数} M {复数} D．M={复数}
⑶ 设实数a、b、c满足

那么，a的取值范围是( )
A．(－∞，+∞) B．(－∞，1]∪[9，+∞) C．(0，7) D．[1，9]
⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( )
A．11 B．12 C．21 D．28
⑹ 边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若
s=++，t=++，
则s与t的大小关系是
A．s>t B．s=t C．s<t D．不确定
2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：
本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上．
⑴ 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 ．
⑵ 已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程
f(f(f(x)))=x
的解的个数是 ．
⑶设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+…+f()的值等于 ；
⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程4－68´2+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 ．
第二试
1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足
ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)
求证：对于任何自然数n，
P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn
是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)
2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是
S=(EF+FD+DE）．
式中S是三角形ABC的面积．
3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得
⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；
⑵ 对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．
证明你设计的方法符合上述要求．
1986年全国高中数学联赛解答
第一试
1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)
⑴ 设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( )
A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z} B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z}
C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z} D．{x|(2n－1)π－θ<x<2nπ+θ，n∈Z}
解：－<θ<0，在(－π，0)内满足sinx<a的角为－π－θ<x<θ，由单位圆易得解为D．
⑵ 设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么( )
A．M={纯虚数} B．M={实数} C．{实数} M {复数} D．M={复数}
解：即(z－1)2－(z－1)(－1)=0，Þ(z－1)(z－)=0，Þz=1或z=，总之，z为实数．选B
⑶ 设实数a、b、c满足

那么，a的取值范围是( )
A．(－∞，+∞) B．(－∞，1]∪[9，+∞) C．(0，7) D．[1，9]
解：①×3+②：b2+c2－2bc+3a2－30a+27=0，Þ(b－c)2+3(a－1)(a－9)=0，Þ1≤a≤9．选D．
b2+c2+2bc－a2+2a－1=0，(b+c)2=(a－1)2，Þb+c=a－1，或b+c=－a+1．
⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A．
⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( )
A．11 B．12 C．21 D．28
解：首先，C7经过M中7个点，C6与C7至多2个公共点，故C6中至少另有4个M中的点，C5至少经过M中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点．
⑹ 边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若
s=++，t=++，
则s与t的大小关系是
A．s>t B．s=t C．s<t D．不确定
解：△=absinC=，由R=1，△=，知abc=1．且三角形不是等边三角形．
∴ ++≥++==++．(等号不成立)．选C．
2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：
本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上．
⑴ 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 ．
解：易得cosα==，于是椭圆长轴=13，短轴=12．所求和=25．
⑵ 已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程
f(f(f(x)))=x
的解的个数是 ．
解：f(f(x))=|1－2|1－2x||=
同样f(f(f(x)))的图象为8条线段，其斜率分别为±8，夹在y=0与y=1，x=0，x=1之内．它们各与线段y=x (0≤x≤1)有1个交点．故本题共计8解．
⑶ 设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+…+f()的值等于 ；
解 f(x)+f(1－x)= +=+=1． ⑴
以x=，，，…，代入⑴式，即得所求和=500．
⑷ 设x、y、z为非负实数，且满足方程4－68´2+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 ；
解：令2=t，则得，t2－68t+256=0，Þ(t－64)(t－4)=0，Þt=4，t=64．
=2Þ5x+9y+4z=4，Þ9(x+y+z)=4+4x+5z≥4，x+y+z≥；
4(x+y+z)=4－x－5y≤4，x+y+z≤1Þx+y+z∈[，1]；
=6Þ5x+9y+4z=36，Þ9(x+y+z)=36+4x+5z≥36，Þx+y+z≥4；
4(x+y+z)=36－x－5y≤36，Þx+y+z≤9．
故，所求最大值与最小值的乘积=´9=4．
第二试
1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足
ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)
求证：对于任何自然数n，
P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn
是一次多项式．
(本题应增加条件：a0≠a1)
证明：由已知，得ai+1－ai=ai－ai－1，Þ故{ai}是等差数列．设ai－ai－1=d≠0．则ak=a0+kd．
于是P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn
= a0C(1-x)n+(a0+d)Cx(1-x)n-1+(a0+2d)Cx2(1-x)n-2+…+(a0+(n－1)d)Cxn-1(1-x)+(a0+nd)Cxn
=a0[C(1-x)n+Cx(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+…+Cxn-1(1-x)+Cxn]
+d[Cx(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+…+(n－1)Cxn-1(1-x)+nCxn] (由kC=nC)
=a0(1－x+x)n+ndx[C(1-x)n-1+Cx(1-x)n-2+…+Cxn-2(1-x)+Cxn－1]
=a0+ndx(1－x+x)n－1=a0+ndx=a0+(an－a0)x．
此为一次多项式．证毕．
2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是
S=(EF+FD+DE)．
式中S是三角形ABC的面积．
证明 连OA，则由C、E、F、B四点共圆，得ÐAFE=ÐC，又在⊿OAB中，ÐOAF=(180°-2ÐC)/2=90°-ÐC，∴OA⊥EF．
∴ SOEAF=EF·=·EF，
同理，SOFBD=·DF，SODCE=·DE，故得S=(EF+FD+DE)．
反之，由S=(EF+FD+DE）．得OA⊥EF，OB⊥FD，OC⊥ED，否则S<(EF+FD+DE）．
过A作⊙O的切线AT，则∠AFE=∠TAF=∠ACB，ÞB、F、E、D共圆，
同理，A、F、D、C共圆，A、E、D、B共圆．Þ∠AFC=∠ADC，∠AEB=∠ADB．
∴ ∠AFC+∠AEB=∠ADC+∠ADB=180°．但∠BFC=∠BEC，即∠AFC=∠AEB=90°，于是F、E为垂足，同理D为垂足．故证．
3．(本题16分)平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得
⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；
⑵ 对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．
证明你设计的方法符合上述要求．
证明：设任一点的坐标为(x，y)，把x+y≡1(mod 4)的点染白，x+y≡3(mod 4)的点染黑，x+y≡0或2(mod4)的点染红．
显然，这样染色的点满足要求．
首先，每条平行于x轴的直线上都有三种颜色的点．即每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；其次，对于任一白点A(x1，y1)，任一红点B(x2，y2)，与任一黑点C(x3，y3)，当点D(x4，y4)与之组成平行四边形时，有x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4．而x1+y1+x3+y3≡0(mod 4)，于是x2+y2+x4+y4≡0(mod 4)，
故x4+y3≡0(当x2+y2≡0时)或2(当x2+y2≡2时)(mod 4)．即点D为红点．