全国高中数学联赛试题及解析 苏教版10.doc

1990年全国高中数学联赛
第一试
(10月14日上午8∶00—10∶00)
一．选择题(本题满分30分，每小题5分)
1．设α∈(，),则(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是
A．(cosa)cosa<(sina)cosa<(cosa)sina
B．(cosa)cosa<(cosa)sina <(sina)cosa
C．(sina)cosa<(cosa)cosa<(cosa)sina
D．(cosa)sina <(cosa)cosa<(sina)cosa
2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1|
3．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( )
A．在线段MN内部 B．在线段F1M内部或在线段NF2内部
C．点M或点N D．不能确定的
4．点集{(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy}中元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．多于2
5．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( )
A．2－1989 B．－1 C．1 D．以上答案都不对
6．已知椭圆+=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )
二．填空题(本题满分30分，每小题5分)
1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 ．
2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是 ．
3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 ．
4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．
5．设n=1990，则
(1－3C+32C－33C+…+3994C－3995C= ．
6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．
三．(本题满分20分)
已知a，b均为正整数，且a>b，sinθ=，(其中0<θ<)，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．
四．n2个正数排成n行n列
a11 a12 a13 a14 ……a1n
a21 a22 a23 a24 ……a2n
a31 a32 a33 a34 ……a3n
a41 a42 a43 a44 ……a4n
……………………………………
an1 an2 an3 an4 ……ann

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+……+ann．
五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．
第二试
(10月14日上午10∶30—12∶30)
一．(本题满分35分)
四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．
O
O
A
B
C
D
P
1
O
O
O
2
3
4
F

二．(本题满分35分)
设 E={1，2，3，……，200}，
G={a1，a2，……，a100}E．
且G具有下列两条性质：
⑴ 对任何1≤i<j≤100，恒有
ai+aj≠201；
⑵ ai=10080．
试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．
三．(本题满分35分)
某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为Ci=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．
1990年全国高中数学联赛(解答)
第一试
一．选择题(本题满分30分，每小题5分)
1．设α∈(，),则(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是
A．(cosa)cosa<(sina)cosa<(cosa)sina
B．(cosa)cosa<(cosa)sina <(sina)cosa
C．(sina)cosa<(cosa)cosa<(cosa)sina
D．(cosa)sina <(cosa)cosa<(sina)cosa (1990年全国高中数学联赛)
解：α∈(，)Þ0<cosα<sinα<1，
∴ (cosa)cosa<(sina)cosa；(cosa)sina<(cosa)cosa；选D．
2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1|
解 设x∈[－2,－1],则x+4∈[2,3],于是f(x+4)=x+4，但f(x)= f(x+4)=x+4 (x∈[－2,－1])，
又设x∈[－1,0)，则－x∈(0,1],故f(－x)=－x+2，由f(x)= f(－x)=－x+2 (x∈[－1，0).
f(x)=3－|x+1|=故选C．
3．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( )
A．在线段MN内部 B．在线段F1M内部或在线段NF2内部
C．点M或点N D．不能确定的
解：设内切圆在三边上切点分别为D、E、F，当P在右支上时，PF1－PF2=2a．
但PF1－PF2=F1D－F2D=2a，即D与N重合，当P在左支上时，D与M重合．故选C．
4．点集{(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy}中元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．多于2
解：x3+y3+=xy>0．但x3+y3+≥3=xy，等号当且仅当x3=y3=时，即x=，y=时成立．故选B．
5．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( )
A．2－1989 B．－1 C．1 D．以上答案都不对
解：=ω或ω2，其中ω=cos120°+isin120°．1+ω+ω2=0．且ω3=1．
若=ω，则得()1990+()1990=－1．若=ω2，则得()1990+()1990=－1．选B．
6．已知椭圆+=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )
解：+=1，由a2>b2，故得<1<+=，1<b<．+=1Þ<1，a2>5．故选C．
二．填空题(本题满分30分，每小题5分)
1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 ．
解：ab≤()2=1，从而anbn≤1，故 + = ≥1．等号当且仅当a=b=1时成立．即所求最小值=1．
2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是 ．
解：点P在单位圆上，sin(2t－60°)=cos(150°－2t)，cos(2t－60°)=sin(150°－2t).当t由15°变到45°时，点P沿单位圆从(－，)运动到(,)．线段AP扫过的面积=扇形面积=π．
3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 ．
解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2≤x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)．等号当且仅当x=y=z时成立．故n=3．
4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．
解 线段OAn的方程为y=x(0≤x≤n)，故f(n)等于该线段内的格点数．
若n=3k(k∈N+)，则得y=x (0≤x≤n)(k∈N*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时f(n)=2；
若n=3k±1(k∈N+)时，则由于n与n+3互质，故OAn内没有格点，此时f(n)=0．
∴ f(1)+f(2)+…+f(1990)=2[]=1326．
5．设n=1990，则
(1－3C+32C－33C+…+3994C－3995C= ．
解：取(－+i)1990展开的实部即为此式．而(－+i)1990=－+i．故原式=－．
6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．
解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8+9－1个位子中选择7个位子，得C=C种选法．
7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C∙7!∙25!种排列方法．
三．(本题满分20分)
已知a，b均为正整数，且a>b，sinθ=，(其中0<θ<)，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．
证明：由sinθ=，得cosθ=．记An=(a2+b2)ncosnθ．
当a、b均为正整数时，A1=2ab 、B1=a2－b2均为整数．
A2=4ab(a2－b2)，B2=2(a2－b2)2－(a2+b2)2也为整数．
若Ak=(a2+b2)ksinkθ、Bk=(a2+b2)kcoskθ均为整数，
则Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)θ=(a2+b2)k+1sinkθcosθ+(a2+b2)coskθsinθ=Ak∙B1+A1Bk为整数．
Bk+1=(a2+b2)k+1cos(k+1)θ=(a2+b2)k+1coskθcosθ－(a2+b2)k+1sinkθsinθ=BkB1－AkA1为整数．
由数学归纳原理知对于一切n∈N*，An、Bn为整数．
四．n2个正数排成n行n列
a11 a12 a13 a14 ……a1n
a21 a22 a23 a24 ……a2n
a31 a32 a33 a34 ……a3n
a41 a42 a43 a44 ……a4n
……………………………………
an1 an2 an3 an4 ……ann

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=，a43=，
求a11+a22+……+ann．(1990年全国高中数学联赛)
分析 由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比．
解 设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q．
∴ a44=2a43－a42=．
由a44=a24∙q2，得，
q=.
∴ a12=a42∙q－3=1．
∴ d= = ，
∴ a1k=a12+(k－2)d=k(k=1，2，3，…，n)
∴ akk=a1kqk－1=k·()k－1=()k·k．
令Sn= a11+a22+…+ann．
则 S－S=－=+－
= + －－ =1－.
∴ S=2－．
五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．
解：取AD、BC中点E、F，则ME⊥AD，AB⊥MA，AB⊥AD，ÞAB⊥平面MAD，
∴ 平面MAD⊥平面ABC． ∴ ME⊥平面ABC．
∴ 平面MEF⊥平面ABC．
∵ EF∥AB，故EF⊥平面MAD，∴ 平面MEF⊥平面MAD．
∵ BC⊥EF，BC⊥ME，∴ BC⊥平面MEF，
∴平面MEF⊥平面MBC．
设AB=a，则ME= ，MF=．a+≥2，≥2．
取△MEF的内切圆圆心O，作OP⊥EF、OQ⊥ME，OR⊥MF，由于平面MEF与平面MAD、ABC、MBC均垂直，则OP、OQ、OR分别与平面ABC、MAD、MBC垂直．从而以此内切圆半径为半径的球与平面MAD、ABC、MBC都相切， 设此球的半径为r，则
∴ r=(a+－)≤≤=－1．等号当且仅当a=，即a=时成立．
作QH⊥MA，由于OQ∥AB，故OQ∥平面MAB，故球心O与平面MAB的距离=QH，
当AB=，ME=，MA=，MQ=－(－1)=1．
∵ △MQH∽△MAE，∴=，QH===>－1．
即O与平面MAB的距离>r，同理O与平面MCD的距离>r．故球O是放入此棱锥的最大球．
∴ 所求的最大球半径=－1．
第二试
(10月14日上午10∶30—12∶30)
一．(本题满分35分)
四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．
证明 ∵O为⊿ABC的外心，∴ OA=OB．
∵ O1为⊿PAB的外心，∴O1A=O1B．
∴ OO1⊥AB．
作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交于点F，连DE，则Ð1=Ð2=Ð3，ÐEPD=ÐBPF，
∴ ÐPFB=ÐEDP=90°．
∴ PO3⊥AB，即OO1∥PO3．
同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形．
∴ O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点．
同理，O2O4过PO中点．
∴ OP、O1O3、O2O4三直线共点．
二．(本题满分35分)
设 E={1，2，3，……，200}，
G={a1，a2，……，a100}E．
且G具有下列两条性质：
⑴ 对任何1≤i<j≤100，恒有
ai+aj≠201；
⑵ ai=10080．
试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．
证明：⑴取100个集合：{ai，bi}：ai=i，bi=201－i(i=1，2，…，100)，于是每个集合中至多能取出1个数．于是至多可以选出00个数．现要求选出100个数，故每个集合恰选出1个数．
把这100个集合分成两类：① {4k+1，200－4k}；② {4k－1，202－4k}．每类都有50个集合．
设第①类选出m个奇数，50－m个偶数，第②类中选出n个奇数，50－n个偶数．
于是1∙m+0∙(50－m)+(－1)∙n+2∙(50－n)≡10080≡0(mod 4)．即m－3n≡0(mod 4)，即m+n≡0(mod 4)
∴ G中的奇数的个数是4的倍数．
⑵ 设选出的100个数为x1，x2，…，x100，于是未选出的100个数为201－x1，201－x2，…，201－x100．
故x1+x2+…+x100=10080．
∴ x12+x22+…+x1002+(201－x1)2+(201－x2)2+…+(201－x100)2
=2(x12+x22+…+x1002)－2×201×(x1+x2+…+x100)+100×2012
=2(x12+x22+…+x1002)－2×201×10080+100×2012
=12+22+32+…+2002．
∴ x12+x22+…+x1002=[(12+22+32+…+2002)+2×201×10080－100×2012]
=[×200×201×401+201×20160－20100×201]
=×[100×67×401+201×60]=1349380．为定值．
三．(本题满分35分)
某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为Ci=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．
解：首先，199>39×5，故每排至少可坐5所学校的学生．
1990=199×10，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只要坐在10排就够了．
现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学校的学生接下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行．这样一个空位都不留，则坐10排，这些学生就全部坐完．这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学生全部从原坐处起来，坐到第11、12排去．由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行开头、……第九行末尾与第十行开头这9处发生，故需要调整的学校不超过10所，于是第11、12行至多各坐5所学校的学生，就可全部坐完．这说明12行保证够坐．
其次证明，11行不能保证就此学生按条件全部入坐：199=6×33+1．1990=34×58+18．
取59所学校，其中58所学校34人，1所学校18人．则对前58所学校的学生，每排只能坐5所学校而不能坐6所学校．故11排只能坐其中55所学校的学生．即11排不够坐．
综上可知，最少要安排12横排才能保证全部学生都能坐下．