中值定理及导数应用习题课.pptx

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,拉格朗日中值定理,一、微分中值定理及其应用,1.,微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,微分中值定理的主要应用,(1),研究函数或导数的性态,(2),证明恒等式或不等式,(3),证明有关中值问题的结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,有关中值问题的解题方法,利用,逆向思维,设辅助函数,.,一般解题方法,:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2),若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3),若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数,.,多用,罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理,.,必须,多次应用,中值定理,.,(4),若已知条件中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,(5),若结论为不等式,要注意,适当,放大,或,缩小,的技巧,.,有时也可考虑,对导数用中值定理,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,设函数,在,内可导,且,证明,在,内有界,.,证,:,取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(,定数,),可见对任意,即得所证,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证,:,问题转化为证,设辅助函数,显然,在,0,1,上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,且,试证存在,证,:,欲证,因,f,(,x,),在,a,b,上满足拉氏中值定理条件,故有,将,代入,化简得,故有,即要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,设实数,满足下述等式,证明方程,在,(0,1),内至少有一,个实根,.,证,:,令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,f,(,x,),在,0,3,上连续,在,(0,3),内可导,且,分析,:,所给条件可写为,(03,考研,),试证必存在,想到找一点,c,使,证,:,因,f,(,x,),在,0,3,上连续,所以在,0,2,上连续,且在,0,2,上有最大值,M,与最小值,m,故,由,介值定理,至少存在一点,由,罗尔定理,知,必存在,例,6.,设函数,在,上二阶可导,且,证明,证,:,由泰勒公式得,两式相减得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数应用,1.,研究函数的性态,:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2.,解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3.,其他应用,:,求不定式极限,;,几何应用,;,相关变化率,;,证明不等式,;,研究方程实根等,.,4.,补充定理,(,见下页,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在,上具有,n,阶导数,且,则当,时,证,:,令,则,利用,在,处的,n,1,阶泰勒公式得,因此,时,定理,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的连续性及导函数,例,7.,填空题,(1),设函数,其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,单调减区间为,;,极小值点为,;,极大值点为,.,提示,:,的正负作,f,(,x,),的示意图,.,单调增区间为,;,.,在区间,上是凸弧,;,拐点为,提示,:,的正负作,f,(,x,),的示意图,.,形在区间,上是凹弧,;,则函数,f,(,x,),的图,(2),设函数,的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8.,证明,在,上单调增加,.,证,:,令,在,x,x,+1,上利用拉氏中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故当,x,0,时,从而,在,上单调增,.,得,例,9.,设,在,上可导,且,证明,f,(,x,),至多只有一个零点.,证,:,设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点,.,又因,因此,也,至多只有一个零点.,思考,:,若题中,改为,其它不变时,如何设辅助函数,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,10.,求数列,的最大项,.,证,:,设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值,.,又因,中的最大项,.,极大值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,列表判别,:,例,11.,证明,证,:,设,则,故,时,单调增加,从而,即,思考,:,证明,时,如何设辅助,函数更好,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示,:,例,12.,设,且在,上,存在,且单调,递减,证明对一切,有,证,:,设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,13.,证,:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用一阶泰勒公式,得,故原不等式成立,.,例,14.,证明当,x,0,时,证,:,令,则,法,1,由,在,处的二阶泰勒公式,得,故所证不等式成立,.,与,1,之间,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,法,2,列表判别,:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法,3,利用,极值第二判别法,.,故,也是最小值,因此当,时,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,15.,求,解法,1,利用中值定理求极限,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法,2,利用泰勒公式,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法,3,利用罗必塔法则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P180,5;7;8;10,(2),(3);,11,(1),;,17,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,